云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（五）文理科数学试题

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，故选A．

2．，故选C．

3．由题，即，反之，由推不出，例如，故选A．

4．，故选A．

5．依题意，命题“，使得”是假命题，则该命题的否定“”是真命题，所以，故选B．

6．根据所述规则，表示的二进制下的数为011001，其表示的十进制下的数为，故选D．

7．，，设设直线，联立得，，当时，三角形面积的最小值为，故选D．

8．由图知是函数的两个相邻的零点，设的最小正周期为，所以则所以故①正确；是函数单调增区间上的一个零点，所以由于所以则所以②正确，⑤正确；所以不是函数的极值点，故③错误；因为是函数的对称轴，而所以函数在区间上不单调，故④错误，故选C.

9．因为3，15，21是等差数列中的项，所以它们的差6，12和18应是的整数倍，故6是的整数倍，而，9不能被6整除，所以或时，30都不是数列中的项，所以命题错误，对于命题，因为是等差数列，由得，，所以当为偶数，例如当时，存在满足条件.故命题正确，故选B．

10．函数由于

    故关于对称且所以故选A．

11．，

    ，，解得，，由余弦定理可得，，取的中点，连接，，可得，，，，，所以，所以，内切球半径

    ，故选B．

12．与关于直线对称，所以函数与的图象上恰好存在唯一一对关于直线对称的点等价于函数与恰好存在唯一交点，，，设，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，，当时，，当时，，如图1所示，故或满足条件，故选B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．．

14．由题，设个单位时间时，累计细菌的数目为，则

    ，由，得，解得正整数，故至少需要10个单位时间．

15．设，，所以点的轨迹方程为．

16．在中，由余弦定理得

    则根据正弦定理有所以；设则在中，由正弦定理得

    在中，由正弦定理得则

    由于则则当时，有最小值，最小值为

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

   （1）证明：由题得，，

设数列的前项和为，则，

据此，

上述两式相减得，经检验，当时，也成立，

所以，即，

所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．  …………………………………（6分）

   （2）解：由（1）可得，

则，将此式两边同时乘以3，

得3，

上述两式错位相减得，，

化简得，          ………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）由容斥原理可得，．……………………（3分）

   （2）由（1）及题意得，，      ………………………………（6分）

    因为男生比女生多1人，所以男生5人、女生4人，

    设这5名男生分别为：，这4名女生分别为：，

    从这5名男生和4名女生中各随机选出1人，有

    共20种选法，

    其中男生甲被选中且女生乙未被选中的选法有3种，

    故所求概率．          ………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

   （1）证明：选①：如图2，连接，，

    因为四边形是菱形，

所以；

因为分别是棱的中点，

所以，则；

，

所以平面，平面，

故．                 ………………………………………………………（6分）

选②：如图3，连接，，交于点，

平面平面，且两平面的交线为；

因为四边形是菱形，所以；

因为分别是棱的中点，

所以，则，平面，

所以平面，平面，

故．         …………………………………………………………………（6分）

   （2）解：四边形是菱形，，为，中点，

    平分，则平分，

    为中点.

    因为，所以；

由（1）知，，

所以平面，即平面；

如图3，连接交于点，连接，

因为平面，

所以点在平面的投影点是点，

则为所求的线面角；在中，，，.

在中，，，.

又，故，

所以．       ………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）函数的定义域为，

设，，

所以在上单调递减．     ………………………………………………（4分）

   （2）由（1）得在上单调递减，

当时，，

当时，，

所以存在使得，即，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

令

所以在上单调递增，所以解得

令

所以在上单调递增，，故．

    ………………………………………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

   （1）解：设，由题意得，化简得，

所以曲线的方程为．      ………………………………………………（4分）

   （2）证明：设

设直线，且，

联立得，  ……………………………（6分）

由韦达定理可得，，

由，解得，

由，解得，

故点在以为直径的圆上．      ………………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）曲线的极坐标方程为即

所以曲线的直角坐标方程为．……………………………………………（5分）

  （2）直线l的参数方程可以标准化为，

联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程得

由韦达定理知

根据的几何意义知

所以．            ………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（1）当时，

则的解集为．   ………………………………………………（5分）

   （2）不等式恒成立，即

易知函数的最小值只可能是或则

解得，解得

所以．      ………………………………………………（10分）