2023届云南省云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（五）数学试题含解析

2023届云南省云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（五）数学试题

一、单选题

1．在如图所示的复平面内，复数对应的点为 ，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数运算法则即可.

【详解】由图可知，

则，

故选:A．

2．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得对数函数的值域求得，解一元二次不等式求得集合，由此求得.

【详解】当时，，

所以集合，

所以，

，解得，

所以，

所以

故选：B

3．已知等差数列的前3项和为27，，则（    ）

A．31 B．32 C．33 D．34

【答案】C

【分析】根据已知条件求得和公差，从而求得.

【详解】设等差数列的公差为，

由题意，，

解得，，

所以．

故选：C

4．已知，满足，，，则，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求得，根据向量的夹角公式求得，的夹角.

【详解】因为，所以，

则，

由于，所以.

故选：B

5．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（    ）种不同的编码．

A．120 B．60 C．40 D．10

【答案】D

【分析】本题转化为排列问题，即3个分别相同的元素与2个分别相同的元素排成一列的总数问题.

【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数．

故选：D

6．如图，为了测量一建筑物AB的高，测量者在建筑物底部B点所在的水平面上选取两个观测点C，D，在C点和D点测得A点的仰角分别为30°和60°，并且测得m，，则建筑物AB的高度为（    ）．

A．m B．m C．m D．m

【答案】D

【分析】利用余弦定理列方程，化简求得的高.

【详解】由，，设，

在、中，，，

所以，，

在中，由余弦定理，

即，

解得或（舍去），

所以建筑物的高度AB为．

故选：D

7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥底面为矩形，且，，高为2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】如图1，设棱台为，

如图2，该棱台外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为，下底面中心为，

则由题意，，，，

当O在下方时，设，

则在中，有：（1），

在中，有：（2），

联立（1）、（2）得，，

所以刍童外接球的表面积为．

同理，当O在中间时，设，

则有，，解得，不满足题意，舍去．

综上所述：当刍童外接球的表面积为．

故选：C

8．连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若的图象是一条连续不断的曲线，，的导函数都存在，且的导函数也都存在．若，使得，且在的左、右附近，异号，则称点为曲线的拐点，根据上述定义，若是函数唯一的拐点，则实数k的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，无变号零点，利用导数判断的单调性求得其最值，即可求得参数的范围.

【详解】，，

，

因为是唯一的拐点，所以是唯一的变号零点，

即无变号零点，即无变号零点，

设，，，，，，

所以，时，，当时，，，

故，满足题意.

故选：B．

二、多选题

9．已知函数，则（    ）．

A． B．最小正周期为

C．为的一个对称中心 D．在上单调递增

【答案】BCD

【详解】对A选项代入计算即可，对B选项利用结论正切函数最小正周期为，对B选项代入检验即可，对D选项利用整体代换法，求出的范围，再利用正切函数的单调性即可判断.

，A错误；

的最小正周期为，B正确；

当时，，所以为的一个对称中心，C正确；

当时，，因为在上单调递增，D正确．

故选：BCD．

10．如图．四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，且，记四面体，，的体积为，，，则下列说法正确的是（    ）．

A． B．

C．，，成等差数列 D．

【答案】AD

【分析】利用棱锥的体积计算公式，结合线面垂直的判定定理，分别求得，即可判断和选择.

【详解】连接，如下所示：

因为面，故点到平面的距离为；

又四边形为矩形，，面面，故，

又面，故面，故点到面的距离为；

同理可得：面，故点到面的距离为；

不妨设，

则，

，

，

，

因此，．

故选：AD．

11．已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为D，直线BD交椭圆于另一点M，则下列说法正确的是（    ）．

A．若D为椭圆的一个焦点时，则的周长为

B．若，则的面积为

C．直线BM的斜率为

D．

【答案】ABD

【分析】根据为焦点，求得坐标，结合椭圆定义，即可求得判断A的正误；联立直线方程和椭圆方程，结合三角形面积公式即可判断B的正误；根据斜率的计算公式，即可直接判断C的正误；根据斜率关系，结合C中所得结论，即可判断D的正误.

【详解】对A：如图，由对称性，不妨设D为椭圆的左焦点，

则，故易得，则，则，

又因为，所以的周长为，故A正确；

对B：由，解得，不妨设，，，

则，，所以．故B正确；

对C：设，，则，所以，C错误；

对D：设，则，，则，

又点M和点A在椭圆C上，①，②，①－②得，

因为，则，得，

∴，∴，所以，D正确．

故选：ABD．

12．已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（    ）．

A．

B．若，则

C．为偶函数

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据题意运用特殊值检验方法，排除法即可解决.

【详解】令，则，解得或，故A错误；

令，，所以，

令，，则，解得，故B正确；

当时，令，则有，

所以，，

当，令，则有，

所以，所以，所以为奇函数，

综上，为奇函数，故C错误；

令，则，

所以，故D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．曲线的一条切线斜率为1，则该切线方程为______．

【答案】

【分析】设切点，根据切点处的导函数值与斜率相等即可解决.

【详解】设切点为，

因为，

所以由题意，则，

所以切点为，

所以切线方程为．

故答案为：.

14．在的展开式中，的系数为8，则实数的值为______．

【答案】2

【分析】根据展开式的通项求某项的系数即可.

【详解】的展开式的通项为，

令，解得，

所以系数是，解得．

故答案为：2.

15．设的面积为S，，已知，，则函数的值域为______．

【答案】

【分析】由向量数量积公式和三角形面积公式得到，求出，三角恒等变换化简得到，结合的范围，结合正弦函数图象求出值域.

【详解】由题意，，

所以，所以，

，

因为，所以，

所以当，即时，取得最小值，最小值为；

当，即时，取得最大值，最大值为；

故.

故答案为：

16．在概率论发展的过程中，通过构造试验推翻或验证某些结论是统计学家们常用的方法，若事件A，B，C满足，，同时成立，则称事件A，B，C两两独立，现有一个正六面体，六个面分别标有1到6的六个数，随机抛掷该六面体一次，观察与地面接触的面上的数字，得到样本空间，若，，则可以构造C＝______（填一个满足条件的即可），使得成立时，但不满足事件A，B，C两两独立

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间.

【详解】元素1或2有且仅有一个属于C，剩余的3，4，5，6中任选两个属于C，都满足条件要求．

因为，，，，

若不满足事件A，B，C两两独立，只需构造事件C

使得和至少有一个成立．

设事件C包含的基本事件个数为N（且），（且），

当成立时，有，得，

所以或．

（1）若，则，，

成立，

此时，，，；

，，，，

又因为，所以事件A，B，C两两独立，不满足要求．

（2）若，则，

因为，，所以必有且、且两种情况．

当且时，，，，

所以，，

所以若事件A，B，C两两独立，则存在事件C使得且，

此时，，不符合题意，

所以A，B，C不可能两两独立．

所以构造集合C使得，且均满足题意，

满足要求的C为：、、、、、．

当且时，同理符合要求的集合C为：、、、、、．

故答案为：（答案不唯一）

四、解答题

17．的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积为，，，已知，．

(1)求角B；

(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，判断三角形是否存在？若存在，求出三角形面积，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用三角形的面积公式列方程，结合余弦定理求得.

（2）选①，结合正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得三角形的面积.选②，利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，得出矛盾，由此说明理由.选③，利用余弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式求得三角形的面积.

【详解】（1）设内切圆半径为r，

因为，所以，

化简得：，

所以，

因为，所以．

（2）若选择①，因为，所以，

由（1）知，，

所以，所以，解得，

所以存在且唯一，面积．

若选择②，，所以，

由（1）知，，

所以，整理得，b无解，故不存在．

若选择③，因为，

所以．

由（1）知，，

所以，整理得，解得或，

经检验，或，满足题意，

所以存在两个．

当时，的面积，

当时，的面积．

18．研究表明，季节变化引起的光照强度会影响人群的情绪，其主要原因是光照可以控制褪黑素的分泌，干扰正常的生物节律，进而间接参与情绪的调节，为了探究光照强度是否也会影响其它动物褪黑索的分泌，科研人员将200只小白鼠置于光照条件下，控制光照时长，将光照时长按，，，，，分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．试验发现，共有130只小白鼠褪黑素分泌正常，其中光照时长不小于8小时的有90只褪黑素分泌正常．

(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，能否认为褪黑素分泌与光照时长不小于8小时有关联？（单位：只）

(2)以样本中的频率估计概率，计算光照小于8小时的条件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率．

参考公式：（其中为样本容量）．

参考数据：

【答案】(1)表格见解析，可以认为褪黑素分泌与光照时长不小于8小时有关联；

(2).

【分析】（1）先计算出光照小于8小时的共有50只，不小于8小时的有150只，结合褪黑素分泌正常的有130只，其中光照时长不小于8小时有90只，填写列联表，计算卡方，与3.841比较后得到结论；

（2）由条件概率公式计算光照小于8小时的条件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率．

【详解】（1）（只）

由题意，光照小于8小时的有50只，不小于8小时的有150只，

褪黑素分泌正常的有130只，其中光照时长不小于8小时有90只，小于8小时有40只，

故列联表如下：

零假设为：褪黑素分泌与光照时长不小于8小时无关联．

根据列联表中数据，得，

根据的独立性检验，认为褪黑素分泌与光照时长不小于8小时有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．

（2）令事件A＝“小白鼠光照小于8小时”，事件B＝“小白鼠褪黑素分泌不正常”，

则，

故光照小于8小时的条件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率为．

19．如图，直三棱柱的体积为，，与交于点D，E为BC中点．

(1)求证：//平面；

(2)若，，求直线与平面DEC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）通过正//，即可由线线平行证明线面平行；

（2）结合已知条件，通过证明线面垂直，求得的长度；再以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求得结果.

【详解】（1）证明：连接，如图，

因为为直三棱柱，与交于点D，所以D为中点，

又因为E为BC中点，所以，面，而平面，

所以//平面．

（2）由题意，

因为，，所以．

又因为，，面，所以平面，

又面，所以，由，得，

又面面，故，

故以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，

则，，，，，，

，，，

设平面DEC的法向量为，

则，令，得为平面DEC的一个法向量，

则，

所以直线与平面DEC所成角的正弦值为．

20．已知数列满足：，．

(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；

(2)数列，求满足的最大正整数n．

【答案】(1)证明见解析，

(2)13

【分析】（1）法一：化简已知条件得到，从而证得为等差数列，并求得.法二：先猜想，然后利用数学归纳法进行证明，再结合等差数列的定义证得为等差数列.

（2）利用分组求和法求得，结合函数的单调性求得正确答案.

【详解】（1）法一：①，得②，

②－①，得，即，

所以数列是等差数列，

又，∴，，公差，所以．

法二：令时，，，，

令时，，猜想．

下面数学归纳法证明：

①当时，，，，

②假设当时，，

则当时，，

解得，所以成立．

综上所述，时，．

，所以数列是等差数列.

（2），

所以，

即

因为在上单调递增，

，，

所以满足条件的最大正整数为13．

21．已知点A为双曲线的右顶点，在双曲线上，，的内切圆为．

(1)求曲线和的方程；

(2)已知，过D作的两条切线分别交于，两点，证明：直线与相切．

【答案】(1)，：；

(2)证明见解析.

【分析】(1)将B的坐标代入双曲线方程即可求双曲线方程；设出圆心坐标，根据几何关系求出圆的圆心和半径即可求圆的方程．

(2)设出圆的切线方程，利用点到直线距离等于半径求出切线斜率满足的方程，再将切线方程与双曲线方程联立求出点的纵坐标即可作答．

【详解】（1）由题知，

∵在双曲线上，∴，解得，

∴双曲线．

由对称性知，的圆心在x正半轴上，设的圆心，半径为，则，

AB所在直线方程为，即，

则，则，解得，，

∴的方程为．

（2）依题意，过D且与圆M相切的直线斜率存在，设切线方程为，即，

则有，即．

设，，设切线的斜率为，切线的斜率为，

则、是方程的两个实根．

由得：，①

∵过点D的的切线与双曲线交于两点，

∴，且，

∵点在上，故2是方程①的一个根，是方程①的另外一个根；

则根据韦达定理得，解得，

而，于是得，

同理，，

因此直线的方程为，

∵的圆心到直线的距离为1，

∴直线与相切．

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是注意到在双曲线上，联立切线方程和双曲线方程后，借助韦达定理的两根之积可快速求出和的横坐标.求出切线斜率满足的方程，从而求出和的纵坐标.

22．已知，．

(1)证明：时，；

(2)设的导函数为，求曲线与曲线的交点个数．

【答案】(1)证明见解析

(2)曲线与曲线的有2个交点．

【分析】（1）首先对函数求导，构造函数，，证明两个函数单调递增，得到常用的一个放缩，即可证明，则得到.

（2）设，，根据（1）的结论结合零点存在定理即可证明在上有唯一零点，对于时，利用导函数证明在上单调递减，再次使用零点存在定理证明在上存在唯一零点，综合则有两个交点.

【详解】（1）证明：，，

当时，设，，

则，，

，

所以，，

所以，，

所以，

所以在上单调递增，所以，

所以．

（2），，

设，

，，

①当时，由（1）知，

所以在上单调递增，

又因为，，

所以在上有唯一零点，

所以曲线与曲线在上有一个交点．

②当时，，，

设，，则，

所以在上单调递增，

所以，所以，

所以在上单调递减，

，，

所以在上有唯一零点，

所以曲线与曲线在上有一个交点．

综上所述，曲线与曲线的有2个交点．

【点睛】结论点睛：常见的一些放缩不等式：

①(仅当取等号)

②(仅当取等号)

③(仅当取等号)

④(仅当取等号)；

⑤(仅当取等号)；

本题在第一问证明导函数大于等于0时，采用了第一条的放缩，从而证明原函数的单调性.