2022朔州怀仁一中校高二下学期期中数学（理）试题含答案

怀仁一中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试

数学试题（理科）

（时间：120分钟  满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在的展开式中，第二项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由二项式的展开式的通项公式可得答案.

【详解】，第二项是，即．

故选：A．

2. 袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.

【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.

故选：B.

3. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（    ）

A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】可以用样本的方差估计总体的方差，方差越小，分蘖越整齐.

【详解】解：已知样本方差：，

由此估计，乙种水稻的方差约为，甲种水稻的方差约为.

因为

所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

故选：B.

4. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（    ）

A. 10种 B. 21种 C. 24种 D. 36种

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用分类加法计数原理计算即可.

【详解】根据分类加法计数原理得：

不同的选法共有（种）．

故选：A．

5. 某人家里有3个卧室1个大门，共有4把钥匙，其中仅有一把能打开大门，但他忘记是哪把钥匙．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第四次才能打开门的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】题意相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率,根据古典概率可得答案.

【详解】由题意知，此人第一、二、三次不能打开门，第四次打开门，

相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率.

因此他第四次才能打开门的概率为．

故选：C

6. 某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.

【详解】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．

故选：D

7. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项错误的是（    ）

附：若随机变量X服从正态分布，则．

A. 若红玫瑰日销量的范围在的概率是0.6827，则红玫瑰日销量的平均数约为250

B. 红玫瑰日销量比白玫瑰日销量更集中

C. 白玫瑰日销量比红玫瑰日销量更集中

D. 白玫瑰日销量的范围在的概率约为0.34135

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质一一判断可得；

【详解】解：对于选项A，由日销量的范围在的概率是，所以，则，故A正确；

对于选项B，C，利用越小越集中，30小于40，故红玫瑰日销量比白玫瑰日销量更集中，即B正确，C不正确；

对于选项D，，故D正确．

故选：C．

8. 已知，则（        ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】设，利用赋值法可得出，即可得解.

【详解】设，则，

，故.

故选：B.

9. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先求得该产品能销售的概率，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.

【详解】由题意得该产品能销售的概率为，

易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，

设表示一箱产品中可以销售的件数，则，

所以，

所以，，

，

故，

，

故选：B．

10. 从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：成立，题中的式子表示的是从装有个球中取出个球的不同取法数，从而得到选项.

详解：在中，从第一项到最后一项分别表示：

从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有个球中取出个球的不同取法数，故选A.

点睛：该题考查的是有关球的取法问题，涉及到的是有关组合数的性质，认真分析题中式子的关系，最后求得结果.

11. 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，分别求出其概率，再由全概率公式求解即可.

【详解】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有，，，，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为.

故选：A.

12. 设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也均为0.2，若记、分别为、的方差，则（　　）

A. >

B. =

C. <

D. 与的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关

【12题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据随机变量、的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答.

【详解】由随机变量、的取值情况，它们的期望分别为：，

，即，

，

同理，

而

，

所以有.

故选：A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若，且，则用排列数符号表示为__________．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】逆用排列数公式可得结果.

【详解】从到一共有个数相乘，

相邻30个自然数相乘，且最大的自然数是，所以用排列数符号表示为．

故答案为：

14. 的展开式中的系数为_________．

【14题答案】

【答案】4

【解析】

【分析】将代数式变形为，写出展开式的通项，

令的指数为，求得参数的值，代入通项即可求解.

【详解】由展开式的通项为，

令，得展开式中的系数为.

由展开式的通项为，

令，得展开式中的系数为.

所以的展开式中的系数为.

故答案为：.

15. 昆明市的市花为云南山茶花，又名滇山茶，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D（单位：厘米）作为样本，通过数据分析得到，若将的植株建档重点监测，则10000株滇山茶中建档的约有______株．（结果取整数）

（附：若，则，）

【15题答案】

【答案】228

【解析】

【分析】由，根据正态分布求出其概率，从而得出答案.

【详解】由题意知，，

故，所以10000株滇山茶中建档的约有228株．

故答案为：228

16. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都．比赛结束时恰好打了6局的概率为______．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】求出比赛结束时恰好打了6局，甲获胜概率和乙获胜的概率，相加即为结果.

【详解】比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，

恰好打了6局，乙获胜的概率为，

所以比赛结束时恰好打了6局的概率为．

故答案为：

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.

（1）求取到次品的概率；

（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：

【解析】

【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.

（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.

【小问1详解】

取到次品的概率为

【小问2详解】

若取到的是次品，则：

此次品由甲车间生产的概率为：.

此次品由乙车间生产的概率为：.

此次品由丙车间生产的概率为：.

19. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．

（1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？

（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？

【19题答案】

【答案】（1）24种    （2）21种

【解析】

【分析】（1）由题意得甲、乙两人其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，即可求解；

（2）甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，结合组合数公式和分类加法计数原理，即可求解．

【小问1详解】

解：若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有（种），

故甲、乙下地铁的方案共有24种.

【小问2详解】

若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁情形有两类：

第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有（种）；          

第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：

①甲站下，乙下地铁方式有种；

②甲站下，乙下地铁方式有种；

③甲站下，乙只能从下地铁，共有1种方式，

共有（种），

依据分类加法计数原理，得（种），

故甲比乙先下地铁的方案共有21种．

21. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．

（1）求的值；

（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．

【21题答案】

【答案】（1）7；    （2）﹒

【解析】

【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为列出关于m的方程，解方程即可求得m；

(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.

【小问1详解】

展开式的通项为，

∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，

，即．

【小问2详解】

展开式共有8项，由(1)可得当为整数，即时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为．

23. 一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.

（1）求，的分布列；

（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.

【23题答案】

【答案】（1）答案见解析；（2）均值相等，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）由题意，，分别服从二项分布和超几何分布，利用对应概率公式计算概率，列出分布列即可；

（2）利用二项分布和超几何分布的期望公式计算对应的期望，即得解

【详解】（1）随机变量的可能取值为0，1，2，

且，

，，

.

因此的分布列为

随机变量的可能取值为0，1，2，且服从参数为10，3，2的超几何分布，

，，.

因此的分布列为

（2）由（1）知，方法一中，方法二中，因此，

所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.

24. 自2021年秋季学期以来，义务段教育全面落实“双减”工作．为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了100名教育工作者的答卷（满分：100分），统计得分情况后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）若这100名教育工作者的答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；

（2）若以这100名教育工作者的答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分，记为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数，试求的分布列，数学期望和方差．

参考数据：，，，．

【24题答案】

【答案】（1）0.8186   

（2）分布列见解析，，

【解析】

【分析】（1）先根据频率分布直方图求出均值和方差，再结合正态分布计算概率即可；

（2）按照二项分布列出分布列，根据公式计算期望和方差即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，

，

，

所以，，所以．

因为，则，，

所以

；

【小问2详解】

从这100名教育工作者中任意选取1名，其答卷得分不低于70分且低于90分的概率为．

由题意知，，则，，

，，

所以的分布列为

所以，．

26. 已知一种动物患某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病.多只该种动物化验时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验．

（1）求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率．

（2）现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案，

方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组化验；

方案三：混合在一起化验．

请问：哪一种方案最合适（即化验次数的均值最小）？

【26题答案】

【答案】（1）0.19   

（2）方案三混合在一起化验最合适

【解析】

【分析】（1）先求解2只该种动物的混合血样呈阴性的概率，再用对立事件求概率公式求解；（2）分别求出三种方案的化验次数的均值，进而作出判断.

【小问1详解】

设为2只该种动物中血液呈阳性的数量，则，

这2只动物中只要有一只动物的血样呈阳性，则它们的混合血样呈阳性，

所以所求的概率为．

即2只该种动物的混合血样呈阳性的概率为0.19．

【小问2详解】

方案一：4只动物都得化验，所需化验次数为4．

方案二：设所需化验的次数为X，则X的所有可能取值为2，4，6，

，，

，所以．

方案三：设所需化验次数为Y，则Y的所有可能取值为1，5，

由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为，

所以，，

所以．因为，所以混合在一起化验最合适．