山西省怀仁市2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

怀仁市2021-2022学年高二上学期期中考试

理科数学

（考试时间120分钟，满分150分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．过两点，的直线的倾斜角为60°，则y的值为（    ）

A．-9    B．-3    C．5    D．6

2．过点且与直线垂直的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

3．已知圆的方程为则下列选项不正确的是（    ）

A．关于点对称      B．关于直线对称

C．关于直线对称   D．关于直线对称

4．如果向量，，共面，则实数m的值是（    ）

A．-1    B．1    C．-5    D．5

5．若平面，且平面α的一个法向量为，则平面β的法向量可以是（    ）

A．  B．   C．   D．

6．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）

A．    B．1    C．    D．

8．如图在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱且，则（    ）

A．   B．    C．    D．

9．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

10．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与曲线C的右支交于A，B两点，则的周长的最小值为（    ）

A．   B．    C．   D．

11．已知椭圆，直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得，则离心率e的取值范围为（    ）

A．   B．   C．   D．

12．已知，是双曲线的左、右焦点，0是坐标原点，过作E的一条渐近线的垂线，垂足为P．若．则双曲线的离心率为（    ）

A．    B．    C．2    D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线l的方向向量为，若点为直线l外一点，，为直线l上一点，则P到直线l的距离为______．

14．若方程所表示的曲线为C，给出下列命题：

①若C为椭圆，则实数t的取值范围为；②若C为双曲线，则实数t的取值范围为；③曲线C不可能是圆；④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则实数t的取值范围为；其中真命题的序号为______．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

15．若中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为______．

16．已知点，，若圆上存在不同的两点P，Q，使得，且，则m的取值范围是______．

三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题10分）（1）已知椭圆C的两焦点分别为，，且经过点，求椭圆C的标准方程．

（2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程．

18．（本小题12分）已知直线l经过点．

（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；

（2）若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．

19．（本小题12分）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点．

（1）求证：平面PCD；

（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．

20．（本小题12分）已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线交于A，B两点，______，求m的值．

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

21．（本小题12分）如图，直三棱柱中，点D是棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，，在棱AC上是否存在点M，使二面角的大小为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题12分）已知定圆，动圆M过点，且和圆A相切．

（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；

（2）设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，点．若P、Q、N三点不共线，且．证明：动直线PQ经过定点．

参考答案

2021—2022学年上学期期中高二数学理科答案

一．选择题（60分）

二．填空题（20分）

13．

14．②④

15．

16．

三．解答题（本大题共70分）

17．（本小题10分）【解析】：（1）设椭圆C的标准方程为

则

∴又∴∴椭圆C的标准方程为

（2）设双曲线的方程为（且），

因为焦点为，因此，则∴

∴所求双曲线的方程为

18．（本小题12分）【解析】（1）当直线l的斜率不存在时，直线l方程为，满足原点到直线l的距离为2，

当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即，

于是得，解得，

直线l的方程为，即，

综上，直线l的方程为或

（2）设直线l与直线交于点，与直线交于点

因AB被点P平分，即，，则，，

因，则，解得，，

即，直线l的斜率是，直线l方程为，

即，所以直线l的方程为：

19．（本小题12分）【解析】（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，．

，，，

，所以，，

由于，所以平面PCD

（2），，，

设平面PMC的法向量为，则，

令，则，，所以．

设直线与平面PMC所成角为，则

所以

20．（本小题12分）【解析】（1）设圆心坐标为，半径为r．

由圆C的圆心在直线上，知：．

又∵圆C与y轴相切于点，∴，，则．

∴圆C的圆心坐标为，则圆C的方程为

（2）如果选择条件①：，而，

∴圆心C到直线l的距离，则，解得或

如果选择条件②：，而，

∴圆心C到直线l的距离，则，解得或

21．（本小题12分）【解析】（1）证明：连接，交于点O，则O为中点，连接OD，又D是棱的中点，∴

∵平面，平面，

∴平面

（2）解：由已知，，则AB，AC，两两垂直

以A为原点，如图建立空间直角坐标系

则，，，，

设

则，，

设平面的法向量为，

则

∴取平面的一个法向量．

设平面的法向量为，

则

∴取平面的一个法向量．

∴，得或

∵，∴

∴存在点M，此时，二面角的大小为45°．

22．（本小题12分）【解析】：（1）圆A的圆心为，半径．设动圆M的半径为，依题意有．由，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故，

即．所以动点M的轨迹E是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，

其方程为

（2）设直线l的方程为，联立消去y得，

，

设，，

则，

于是，

由知．

即

，得，．

故动直线l的方程为，过定点