山西省怀仁市2021-2022学年高一上学期期中考试数学（理）试题含答案

怀仁市2021-2022学年高一上学期期中考试

数学Ⅰ卷

（考试时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若集合，下列关系式中成立的为（    ）

A． B． C． D．

2．命题“，都有”的否定是（    ）

A．不存在， B．，

C．， D．，

3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ）

A． B． C． D．

4．函数的定义域为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

6．下列命题中，真命题是（    ）

A．，  B．，

C．若，，则 D．是的充分不必要条件

7．与表示同一函数的是（    ）

A．   B．，

C．， D．，

8．我们从这个商标中抽象出一个图象如下图，其对应函数可能是（    ）

A．  B．

C．  D．

9．若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．对于任意的，函数的图象恒过定点，则此定点坐标是______。

14．已知，则的最小值为______。

15．计算：______。

16．在下列命题中，正确的命题有______。（填写正确的序号）

①若，则的最小值是6；

②如果不等式的解集是，那么恒成立；

③设x，，且，则的最小值是；

④对于任意，恒成立，则t的取值范围是．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题10分）已知二次函数，非空集合．

（1）当时，二次函数的最小值为，最大值为3，求实数的取值范围；

（2）当______时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值．

在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

18．（本小题12分）已知集合，集合．

（1）当时，求；；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19．（本小题12分）已知函数是定义在上的偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断并用定义法证明函数在上的单调性．

20．（本小题12分）已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．

21．（本小题12分）已知函数是定义在上的奇函数，且函数是定义在上的偶函数．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求的取值范围。

22．（本小题12分）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．

（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?

（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．

2021上学期期中高一教学质量调研测试  数学Ⅰ卷答案

一、选择题（60分）

二、填空题（20分）

13．  14．8

15．  16．②③④．

三、简答题（共70分）

17．（本小题10分）【解析】（1）作出二次函数的图象如图所示，

当，二次函数的最小值为，最大值为3，则的取值范围为

（2）选择方案①，

由图像可知，当时，，此时，

，此时．

选择方案②，

当时，，此时或，

，此时．

选择方案③，

当时，，此时，

，此时．

18．（本小题12分）【解析】

（1）当时，，．

；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，

则

∵，集合，

∴，解得.

∴实数的取值范围是．

19．（本小题12分）【解析】

（1）因为函数是上的偶函数，

所以，即对任意实数恒成立，

所以即对任意实数恒成立，

所以；

（2）由（1）得，此函数在上为减函数，

证明：任取，，且，

则．

因为，，且，所以，，．

所以，即，

所以函数在上为减函数．

20．（本小题12分）【解析】（1）当时，由，得；

当时，由，得，

综上所述，不等式的解集为．

（2）函数有三个零点，即方程有三个不同实数根，

等价于函数与函数的图像有三个不同的交点，如图所示，

由图可知，，解得或，

所以实数的取值范围为．

21．（本小题12分）【解析】（1）∵是定义在上的偶函数，∴，即，∵是定义在上的奇函数，∴，∴，∴；

（2）由（1）知，，得，

即，令，，则，解得，∴，

令，，

在，为减函数，所以的取值范围为。

22．（本小题12分）

【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的人均投入为万元，则，解得，因为所以调整后的技术人员的人数最多75人。

（2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得，

②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有，整理得故有，因为当且仅当时等号成立所以。又因为，当时，取的最大值7，所以，所以，所以，即存在这样的满足条件。