2021-2022学年广西南宁市宾阳县宾阳中学高二3月月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年广西南宁市宾阳县宾阳中学高二3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（       ）

A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒

【答案】C

【解析】根据导数的物理意义可求得结果.

【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是在时的导数值，

因为，所以物体在3秒末的瞬时速度是米/秒.

故选：C

2．函数y=x2㏑x的单调递减区间为（       ）

A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）

【答案】B

【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B

考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域

3．函数在区间上的最小值是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由已知，令得（舍去），当时，，当时，，因此在上函数只有一个极小值点，也是最小值点，所以．故选A．

【解析】导数与函数的最值．

【名师点睛】(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上 必 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x) 不一定 有最大值与最小值.

(2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:

①求f(x)在(a,b)内的 极 值;

②将f(x)的各 极 值与 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

4．已知函数，则等于（        ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】求出函数的导数后可求导数值.

【详解】∵，

∴，

∴.

故选：C.

5．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（       ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【详解】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b

又因为在x=1处有极值

∴a+b=6

∵a＞0，b＞0

∴

当且仅当a=b=3时取等号

所以ab的最大值等于9

故选D

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

6．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)

A．900元 B．840元

C．818元 D．816元

【答案】D

【分析】设箱底一边的长度为，箱子的总造价为元，得到关于的函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到答案．

【详解】设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，

根据题意，得＝15×＋12×2＝240＋72 (x>0)，

72.

令0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．

当0<x<4时， <0；当x>4时， >0.

故当x＝4时， 有最小值816.

因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．

故选D.

【点睛】本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中认真审题，得到造价关于的函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2）

∴f′（x）|x=4= e2，

∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），

令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），

令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），

∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.

故选D．

8．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

9．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．

10．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

范围是（　　）

A．[0,) B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以，选A.

【解析】导数的几何意义、正切函数的值域.

11．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（       ）

A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）

【答案】C

【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则a的范围是______．

【答案】

【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.

【详解】由题意可得：，

若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，

即：，整理可得：整理可得：，

据此可知的取值范围是或.

【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

14．已知函数f(x)=exlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(1)的值为__________．

【答案】

【分析】根据导数的运算法则求出导函数，然后可得

【详解】由函数的解析式可得：，则．

故答案为：．

15．关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________．

【答案】(—4，0).

【详解】试题分析：，因为关于x的方程有三个不同的实数解，所以有三个不同的实数解，，，令，则；令，则；，所以.

【解析】三次函数的零点问题.

16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．

【答案】

【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.

【解析】导数的几何意义

【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．

注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．

三、解答题

17．已知曲线

(1)求曲线在点处的切线方程．

(2)求曲线过点的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得函数的导数，得到曲线在点处的切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（2）设切线坐标为，得出切线的方程为，根据点在切线上，列出方程求得的值，代入即可求解.

【详解】(1)由题意，函数，可得，

所以，即曲线在点处的切线的斜率为，

所以所求切线方程为，即.

(2)解：设切点坐标为，则切线的斜率为，

所以切线的方程为，

因为点在切线上，可得，解得，

所以所求切线的方程为，即.

18．已知函数为常数，e=2.71828…，曲线在点处的切线与x轴平行.

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 单调递增区间是，单调递减区间是

【详解】试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间

试题解析：（I） ，

由已知，，

（II）由（I）知，.

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，，

当时，从而.

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.

【解析】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义

19．某车间生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该车间制造电子元件的过程中，次品率与日产量的函数关系是：．

（1）写出该车间的日盈利额（元）与日产量（件）之间的函数关系式；

（2）为使日盈利额最大，该车间的日产量应定为多少件？

【答案】（1）；（2）当时，最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．

【详解】试题分析：（1）)由题意可知次品率P＝日产次品数÷日产量，每天生产x件，次品数为xP，正品数为x(1－P)，即可写出函数；（2）利用导数求导，令导数为0，即可求出函数的最值.

试题解析：

(1)由题意可知次品率P＝日产次品数÷日产量，每天生产x件，次品数为xP，

正品数为x(1－P)．

因为次品率P＝，当每天生产x件时，

有x·件次品，有x件正品，

所以T＝200x－100x·

＝25·.

(2)T′＝－25·，

由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)

当0<x<16时，T′>0；当x>16时，T′<0；

所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．

20．已知函数在点处取得极值.

(1)求的值；

(2)若有极大值，求在上的最小值．

【答案】(1) ;(2) .

【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．

（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．

【详解】解：因.故

由于在点x=2处取得极值c-16.

故有即化简得解得a=1，b=-12.

（2）由（1）知；

.

令，得，.

当时，，故在上为增函数；

当时，，故在上为减函数；

当时，，故在上为增函数.

由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.

由题设条件知16+c=28，得c=12.

此时，，，因此在上的最小值为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．已知.

(1)讨论的单调性；

(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.

【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.

【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.

22．已知函数．

(1)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

(2)若在时恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出导函数，由题意可得在上恒成立，从而可求出的取值范围，

（2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可

【详解】(1)由，得，

因为在区间上是增函数，

所在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为在上为增函数，

所以满足题意只需，得，

所以的取值范围为

(2)因为

所以 即在时恒成立，

令 ，，则，

所以在上递减，

所以，

所以，

所以的取值范围为