2021-2022学年广西南宁市宾阳中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（Word解析版）

2021-2022学年广西南宁市宾阳中学高一（下）月考数学试卷（3月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知，则复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量、满足，，且，，那么(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在复平面内，，两点对应的复数分别是，，则向量对应的复数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知向量，满足，，，，，，，则动点的运动路径的总长为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是(    )

A.
B. 复数的共轭复数为
C. 复平面内表示复数的点位于第一象限
D. 复数是方程的一个根

10. 在中，角、、的对边分别为，，，若，，则使此三角形有两解的的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知向量，，设与的夹角为，则(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

12. 已知中，，，，为中点．下列结论正确的是(    )

A.
B. 的面积为
C.
D. 在的外接圆上，则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，，且是虚数单位，则______．
14. 已知，是单位向量，且，则______．
15. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，且，则的最大值为______．
16. 在中，，，，为线段上一点，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，，均为复数，在复平面内，对应的点的坐标为，对应的向量坐标为，且其中为虚数单位．
    求；
    求
18. 设平面向量，
    求证：；
    若向量与的模相等，求角的值．
19. 如图，甲船处，乙船在处的南偏东方向，距有海里并以海里时的速度沿南偏西方向航行，若甲船以海里时的速度航行．
    求甲船用多少小时能尽快追上乙船；
    设甲船航行的方向为南偏东，求的正弦值．

20. 如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，．
    
    用，表示和；
    求向量与夹角的余弦值．
21. 已知的外接圆的半径为，角，，的对边分别为，，，又向量，，且．
    求角；
    求的面积的最大值，并求此时的周长．
22. 如图，四边形中，，，．
    若，求的面积．
    若，求长度的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了共轭复数的概念以及复数代数形式的乘法运算，需要熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，结合共轭复数的概念以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．

【解答】

解：，
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
直接利用向量的数量积转化求解即可．
【解答】
解：向量、满足，，且，，
那么．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算，复数的模，考查了计算能力，属于基础题．
根据复数的运算可得，再根据模长公式求解即可．

【解答】

解：，
，
，
则．
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
根据题意，求出的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，向量，，则，
若，则，
则，
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
由内角和为求得，再由正弦定理即可求得．

【解答】

解：由三角形内角和可得，
由正弦定理可得，则，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，两点对应的复数分别是，，
，，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何含义，以及向量的减法法则，即可求解．
本题主要考查了复数的几何含义，以及向量的减法法则，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由及正弦定理得：，
可得：，
因为在中，，
所以．
又，
所以．
在中，，由余弦定理得，
所以，可得，
由，得，
所以在中，由余弦定理可得．
故选：．
运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式化简可得角的值，再由余弦定理可得的值，利用余弦定理可求的值，由得的值，进而在中，由余弦定理可得的值．
本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查向量的运算，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，，则，
如图，

当，时，点的运动路径为线段，依次类推，
当时，点的运动路径为平行四边形的四条边，
由余弦定理得；
．
动点的运动路径的总长为．
故选：．
由题意画出图形，可得点的运动路径为平行四边形的四条边，再由余弦定理求解．
本题考查数量积的性质及运算，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
复平面内表示复数的点位于第二象，
把代入，
因此只有AD正确．
故选：．
利用复数的运算法则化简，再利用模的计算公式、几何意义等即可判断出正误．
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由正弦定理以及可得：，
三角形有两解；
故．
的取值范围是．
故选：．
利用正弦定理结合已知条件能求出的取值范围，进而求得结论．
本题考查的知识点是正弦定理，难度不大，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：向量，，
由，可得，故A正确；
若，则，，故B正确；
当时，，，故C错误；
，由与垂直可得，解得，故D正确．
故选：．
直接根据向量共线以及垂直即可判断，再把的值代入即可判断．
本题主要考查向量的数量积的应用，考查向量的基础知识，属于中档题目．
 

12.【答案】 

【解析】解：在三角形中，由余弦定理，
，故，故A正确；B错误；
在中，由余弦定理得：，
，故C正确；
，，，，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故D正确．
故选：．
利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，根据面积公式计算三角形的面积，设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值．
本题考查了正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：是虚数单位，
，，
则，．
故答案为：．
利用复数相等即可得出结论．
本题考查了复数相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是单位向量，且，
，
，
．
故答案为：．
根据已知条件求得，进而求解结论．
本题主要考查数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，，
可得，
所以，即，
所以或，
因为，所以，
由正弦定理，可得：，，
则，其中，
则的最大值为．
故答案为：．
由正弦定理整理条件可求得，再由正弦定理可将转化为，其中，由正弦函数的性质即可求得的取值范围．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减运算，考查向量的模的求法，以及二次函数的最值求法，考查转化思想和坐标法的运用，以及运算能力，属于中档题．
以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，求得，，的坐标，即有直线的方程，设，求得，的坐标，再由向量的平方即为模的平方，转化为二次函数的最值，即可求得的最小值．

【解答】

解：以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，

可得，，，
则直线的方程为，
设，则，，
，，
则

，
由，
可得的最小值为．
故答案为：．

17.【答案】解：由题意知，
解方程，得，
化简得．
由题意知，则，
所以． 

【解析】由题意写出，再解关于的方程即可；
由题意写出，化简，求模长即可．
本题考查了复数的四则运算，复数与点、向量的一一对应关系，以及复数的模长等知识点，也考查了转化为化归、数形结合的数学方法，考查了数学运算、逻辑推理、直观想象的数学素养．
 

18.【答案】证明：平面向量，，
，，
；
即：；
解：向量与的模相等，
，
可得，即，可得，
，
或． 

【解析】根据已知条件求得两个向量的模长，进而得到结论，
根据模长相等求得，进而得到结论．
本题主要考查向量数量积的应用，考查计算能力，属于中档题目．
 

19.【答案】解：设用，甲船能追上乙船，且在处相遇．
设，，
在中，，，，
，由余弦定理可得，
，即，；
由得：海里，海里
根据正弦定理，得，，
． 

【解析】直接利用方向角的定义，余弦定理的应用求出结果．
由正弦定理可求得，，从而可求的正弦值．
本题考查的知识要点：方向角的定义，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．
 

20.【答案】解：以为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，．

，，，，
设，则，解得，，
．
设，则，解得，，
．
由知，，．
，．
故向量与夹角的余弦值为． 

【解析】本题考查平面向量的基本定理和数量积运算，遇到规则图形建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
以为原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，逐一写出、、、、的坐标；设，，可列出关于、、和的方程，解之即可；
由知，，，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．
 

21.【答案】解：，
，
且，由正弦定理得：，
化简得：，
由余弦定理：，
，
，
．
，当且仅当时取“”，
，
，此时，为正三角形，此时三角形的周长为． 

【解析】由已知结合向量数量积的性质及正弦定理及余弦定理进行化简即可求解，进而可求；
由已知结合余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形的面积公式可求．
本题主要考查了和差角公式、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
 

22.【答案】解：在中，易知，
所以，所以．
因为，，，
所以，
设，则，
又在中，
，
因为，故，
所以，
所以，
故即为所求． 

【解析】先在中，由余弦定理求得，进而求其正弦值，最后利用面积公式求解；
结合勾股定理得，然后利用三角函数的定义用表示，最后在中利用余弦定理用表示出，最后借助于三角函数值域的求法解决问题．
本题综合考查了平面向量的数量积与解三角形问题，属于中档题．