2021-2022学年广西钦州市第四中学高二下学期3月月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年广西钦州市第四中学高二下学期3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．设复数（其中为i虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】设，得到的值以3为周期出现，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】设，则，，，

可得的值以3为周期呈周期性出现，所以，

所以，在复平面内对应的点在第二象限.

故选：B.

2．的三个顶点所对应的复数分别为中，点O为所在平面内一点，对应复数z，满足，则（    ）

A． B． C．6 D．10

【答案】B

【分析】由复数的几何意义得O为的外心，从而根据三角形外心性质及平面向量数量积的几何意义即可求解.

【详解】解：，

由复数的几何意义知O到A，B，C三点的距离相等，即O为的外心，

过O作交于点，作交AC于点，

因为O为的外心，所以，分别为与AC的中点，

，

由平面向量数量积的几何意义知

，

,

.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：由复数的几何意义得出O为的外心，根据外心的性质及平面向量数量积的几何意义是本题解题的关键.

3．已知i是虚数单位，，则复数z所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的运算法则求解复数，即得.

【详解】由，

得，

复数z所对应的点位于在第一象限，

故选：A.

4．若复数满足，则的模为（    ）

A．5 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】由，

所以，

故选：A

5．复数(为虚数单位)在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先利用复数的除法和复数的乘方化简复数z，再利用复数的几何意义求解.

【详解】.由题知，复数，

则其在复平面内所对应的点为，

所以该点位于第一象限，

故选：A.

6．若复数满足(为虚数单位)，复数的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复数相等，应用复数的除法求，由共轭复数的概念写出的共轭复数.

【详解】由已知得：，

∴复数的共轭复数为，

故选：B.

7．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.

【详解】，在复平面内对应的点为，

，在复平面内对应的点为，

所以两点之间的距离为.

故选：C

8．1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题设定义的欧拉公式写出的三角形式，由复数的几何性质写出的三角形式，进而求，即可知其虚部.

【详解】由题意知：，而，

∴，即虚部为.

故选：C.

9．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】，然后算出即可得答案.

【详解】

所以其对应的点为，在第一象限

故选：A

10．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数运算首先求出，再根据只有实数可以比较大小可得关于的方程和不等式，进而解得的值，代入可得结果.

【详解】，∴，

∵，∴，解得，

∴，∴.

故选：B.

11．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】设,代入方程得整理得，在结合方程有实数根得，进而分和两种情况求解即可.

【详解】设,因为,所以,

所以将代入方程整理

，

因为关于的方程有实根，

所以

所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；

当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.

综上，或.

故这样的复数的个数为个.

故选：C

【点睛】本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设，进而根据题意得，即，进而求解.

12．下列关于复数的命题中（其中 为虚数单位），说法正确的是（    ）

A．若关于x的方程有实根，则

B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限

C．，（为虚数单位，），若，则

D．是关于x的方程的一个根，其中p､q为实数，则

【答案】D

【分析】直角利用复数的运算，复数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，设方程的实数根为，代入方程可得，

所以，解得，所以A不正确；

对于B中，复数，可得，

则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以B不正确；

对于C中，复数，，

当时，可知当时 ，因为虚数不能比较大小，所以C不正确；

对于D中，是关于x的方程的一个根，

根据复数方程的性质，可得也是方程的根，

可得，解得，所以D正确.

故选：D.

二、填空题

13．设为虚数单位，在复平面上，复数对应的点位于第____________象限.

【答案】一

【分析】化简复数，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意，复数，

可复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故答案为：一

14．若且，则的最小值为_______．

【答案】3

【分析】根据复数模的几何意义，表示圆心且半径为1的圆，是该圆到的距离，应用数形结合即可确定最小值.

【详解】表示圆心为，半径为1的圆，而表示圆上的点到的距离，

∴最小值为圆心到点的距离减1，即最小值为，

如图所示．

故答案为：3．

15．已知为虚数单位，复数为实数，则__________．

【答案】

【分析】利用复数的乘法化简复数，由已知条件求出参数的值，即可得出复数.

【详解】且，

，可得，因此，.

故答案为：.

16．若是虚数单位，复数满足，则___________.

【答案】

【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.

【详解】由题意，复数满足，则,

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

三、解答题

17．在①；②复平面上表示的点在直线上；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：

已知复数，，（为虚数单位），满足______________．若，求：

（1）复数的模；

（2）复数（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】选择见解析；（1）1；（2）．

【分析】（1）分别选择①②③，根据复数的运算法则，求得，可得，进而求得复数，得到复数的模；

（2）由（1）得到，结合复数的运算法则，即可求解.

【详解】（1）若选①：由，又由，可得；

若选②：由，

又由复平面上表示的点在直线上，可得，

即，解得；

若选③：由，

可得，解得，

综上可得，复数．

又由，所以．

（2）由（1）知，，可得．

18．已知关于的方程

（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；

（2）用反证法证明：对任意，方程无纯虚数根.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）设方程的实数根为，得到，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求解；

（2）假设方程有纯虚数根，设为，得到，化简得到方程，结合判别式和一元二次方程的性质，即可求解.

【详解】（1）设方程的实数根为，则，

即，所以，解得，

又因为为锐角，所以.

（2）假设方程有纯虚数根，可设为，

则，即，可得，

即，可得方程，

所以为虚数，这与矛盾，

故假设不成立，所以结论成立，即对任意，方程无纯虚数根.

19．已知复数满足

（1）求的共轭复数；

（2）复数满足，求在复平面内对应点的集合所表示的图形面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由复数的运算法则，化简得，结合共轭复数的概念，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，根据复数的几何意义，得到在复平面内对应点的集合为圆环，结合圆的面积公式，即可求解.

【详解】（1）由复数满足，

所以.

（2）由（1）可得，且，可得，

所以在复平面内对应点的集合所表示外半径为，内半径为的圆环，

所以面积为.

20．已知复数，设

（1）求复数；

（2）若复数z满足，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据计算出，把带入即可计算出.

（2）设复数，满足，即可计算出.从而得出.

【详解】解：（1），

.

（2）设复数(其中).

由，得，

所以，解得.

由，得，

所以，解得.

所以，.