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2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学（文）试题（解析版）
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2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合A，求得，再去求即可解决.【详解】因为，所以，则.故选：C.2．设，则“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由可得，解得，因为，因此，“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.3．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出，再求出共轭复数，判断出在第一象限.【详解】，则，对应的点在第一象限.故选：A.4．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲丙戊乙丁 D．甲乙丙丁戊【答案】C【分析】根据只有一人会德语，不能用德语交谈，结合条件进行分析，进而即得.【详解】由题可知只有一人会德语，不能用德语交谈，故会德语的法国人戊两边只能做法国人乙和会说法语的英国人丙，日本人丁应坐在法国人乙和中国人甲之间，这样邻座的两人都能互相交谈，所以这五位代表的座位顺序应为甲丙戊乙丁.故选：C.5．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数的值为A．37.3 B．38 C．39 D．39.5【答案】C【分析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值．【详解】根据题意可得：,，根据回归方程过中心点可得：，解得：；故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题．6．设，则的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7．设函数,则（ ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（ ）A．128 B．64 C．16 D．32【答案】C【分析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C9．已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出命题和命题的真假，结合复合命题的真假即可得结果.【详解】当时，命题显然为真；当时，命题显然为假，为真，所以为真，故选：C.10．函数的图像大致为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时， ，所以，排除D.故选：B.11．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.12．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（ ）A． B．13 C．3 D．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B二、填空题13．已知幂函数在上单调递减，则___________.【答案】【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意，解得或，若，则函数为，在上递增，不合题意．若，则函数为，满足题意．故答案为：．14．若已知函数，则函数在处的切线方程为______.【答案】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，因此，所求切线的方程为，即.故答案为：.15．将正整数排成如表，则在表中第行第个数是________.【答案】【分析】由数表中每行的最后一个数，得到第行的最后一个数是，再由，进而求得第行第个数.【详解】由数表可得每行的最后一个数分别是，可归纳出第行的最后一个数是，又因为，所以第行第个数为.故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了数表数列的应用，其中解答中根据数表中的数据，得出数字的排布规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．已知下面四个命题：①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③命题P：存在，使得，则：任意，都有；④若P且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题有____________________．【答案】①②③.【分析】①“或”的否定为“且”； ②时，一也成立；③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；④命题，中只要有一个为假命题，“且”为假命题．【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题；对于②时，一也成立，所以“”是“一”的充分不必要条件，故②是真命题；对于③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题“；对于④命题，中只要有一个为假命题，“且”为假命题，故④是假命题，故答案为：①②③.三、解答题17．已知，命题，命题.(1)若，若“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）将代入，解不等式，可分别求出命题，命题对应的的取值范围，结合已知可得与一真一假，分真假时和假真时，两种情况讨论，综合讨论结果可得答案；（2）根据充要条件判定的集合法，可得，是，的真子集，根据真子集的定义构造关于的不等式组，解不等式组可得答案．【详解】（1）解：当时，，，即，由“或”为真命题，“且”为假命题，可得与一真一假， 真假时，由，此不等式组无解，假真时，由，解得，或，实数的取值范围为，，；（2）解：是的充分条件不必要条件，，是，的真子集，（等号不同时取） ，解得，实数的取值范围为，．18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：，.参考数据：.【答案】（1）；（2）49.【分析】（1）由表中的数据,根据最小二乘法和公式，求得b，a的值，得到回归直线方程；（2）令x=9，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知：，，所以，，所以所求回归直线方程为.（2）当x=9时，（人）.19．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．【详解】（1）平均数．前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率．（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．【点睛】本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：， 【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．21．已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) (2) 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．试题解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22．已知函数．当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求得取值范围．【答案】(1) .(2) .【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；（2）已知在区间（0，1）上是增函数，即在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【详解】（1）当时，，所以，由得，或，故所求的单调递增区间为.（2）由，∵在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，∵（当且仅当时取等号），所以，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力． 零件数（个）2345加工时间（分钟）26 4954月份12345违章驾驶员人数1201051009085超过不超过第一种生产方式第二种生产方式超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合A，求得，再去求即可解决.【详解】因为，所以，则.故选：C.2．设，则“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由可得，解得，因为，因此，“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.3．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出，再求出共轭复数，判断出在第一象限.【详解】，则，对应的点在第一象限.故选：A.4．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲丙戊乙丁 D．甲乙丙丁戊【答案】C【分析】根据只有一人会德语，不能用德语交谈，结合条件进行分析，进而即得.【详解】由题可知只有一人会德语，不能用德语交谈，故会德语的法国人戊两边只能做法国人乙和会说法语的英国人丙，日本人丁应坐在法国人乙和中国人甲之间，这样邻座的两人都能互相交谈，所以这五位代表的座位顺序应为甲丙戊乙丁.故选：C.5．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数的值为A．37.3 B．38 C．39 D．39.5【答案】C【分析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值．【详解】根据题意可得：,，根据回归方程过中心点可得：，解得：；故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题．6．设，则的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7．设函数,则（ ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（ ）A．128 B．64 C．16 D．32【答案】C【分析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C9．已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出命题和命题的真假，结合复合命题的真假即可得结果.【详解】当时，命题显然为真；当时，命题显然为假，为真，所以为真，故选：C.10．函数的图像大致为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时， ，所以，排除D.故选：B.11．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.12．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（ ）A． B．13 C．3 D．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B二、填空题13．已知幂函数在上单调递减，则___________.【答案】【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意，解得或，若，则函数为，在上递增，不合题意．若，则函数为，满足题意．故答案为：．14．若已知函数，则函数在处的切线方程为______.【答案】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，因此，所求切线的方程为，即.故答案为：.15．将正整数排成如表，则在表中第行第个数是________.【答案】【分析】由数表中每行的最后一个数，得到第行的最后一个数是，再由，进而求得第行第个数.【详解】由数表可得每行的最后一个数分别是，可归纳出第行的最后一个数是，又因为，所以第行第个数为.故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了数表数列的应用，其中解答中根据数表中的数据，得出数字的排布规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．已知下面四个命题：①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③命题P：存在，使得，则：任意，都有；④若P且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题有____________________．【答案】①②③.【分析】①“或”的否定为“且”； ②时，一也成立；③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；④命题，中只要有一个为假命题，“且”为假命题．【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题；对于②时，一也成立，所以“”是“一”的充分不必要条件，故②是真命题；对于③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题“；对于④命题，中只要有一个为假命题，“且”为假命题，故④是假命题，故答案为：①②③.三、解答题17．已知，命题，命题.(1)若，若“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）将代入，解不等式，可分别求出命题，命题对应的的取值范围，结合已知可得与一真一假，分真假时和假真时，两种情况讨论，综合讨论结果可得答案；（2）根据充要条件判定的集合法，可得，是，的真子集，根据真子集的定义构造关于的不等式组，解不等式组可得答案．【详解】（1）解：当时，，，即，由“或”为真命题，“且”为假命题，可得与一真一假， 真假时，由，此不等式组无解，假真时，由，解得，或，实数的取值范围为，，；（2）解：是的充分条件不必要条件，，是，的真子集，（等号不同时取） ，解得，实数的取值范围为，．18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：，.参考数据：.【答案】（1）；（2）49.【分析】（1）由表中的数据,根据最小二乘法和公式，求得b，a的值，得到回归直线方程；（2）令x=9，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知：，，所以，，所以所求回归直线方程为.（2）当x=9时，（人）.19．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．【详解】（1）平均数．前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率．（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．【点睛】本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：， 【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．21．已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) (2) 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．试题解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22．已知函数．当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求得取值范围．【答案】(1) .(2) .【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；（2）已知在区间（0，1）上是增函数，即在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【详解】（1）当时，，所以，由得，或，故所求的单调递增区间为.（2）由，∵在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，∵（当且仅当时取等号），所以，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力． 零件数（个）2345加工时间（分钟）26 4954月份12345违章驾驶员人数1201051009085超过不超过第一种生产方式第二种生产方式超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515
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