人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优质ppt课件

课题名

用空间向量研究夹角问题

课型

新授课

教学目标

1.学习用空间向量对应相关线段，求向量之间的夹角，达到数学运算核心素养的一级要求；

2.学习用空间向量求直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，达到数学建模核心素养的二级要求；

3.在具体问题中感悟建立空间直角坐标系的基本策略.

教学重难点

重点：以空间向量为工具求线线角、线面角、面面角；

难点：借助于平面法向量求二面角的大小

为了更好地突破难点，在素养篇里配备了问题3，引导学生分四步突破难点：

第一步，建立空间直角坐标系；

第二步，确定相关点的坐标和相关向量的坐标；

第三步，求相关平面的法向量；

第四步，利用公式计算出两个法向量的夹角.

第五步，明确平面与平面夹角的余弦值.

教学环节

教学过程

课堂导入

刻画空间点线面之间的位置关系，有两个重要的度量，一是距离，二是角度.

    上一个课时我们以向量为工具研究了距离，这一节课，我们以向量为工具来研究角度.

    空间角主要有直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角.

课

程

学

习

一、基本计算公式

(1)空间直线与直线所成的角

  如图，a,b分别为直线l1，l2的方向向量，记l1与l2所成的角为θ，则

  cosθ = |a•b|/|a||b|

思考：

  θ就是a,b所成的角吗？为什么？             

练习：

   如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 边长为2，

E、F分别为棱BC、D’C’的中点. 求直线DF与

直线A’E所成角的余弦值.  

(2)空间直线与平面所成的角

如图，a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量；记l与α所成的角为θ，则    sinθ=|cos<a,n>|=|a•n|/|a||n|

练习：

如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 边长为2. 点E是棱BC中点，

求直线DE与平面A’DC’所成角的正弦值.                                                   

(3)空间平面与平面的夹角

如图，平面α与平面β相交所形成的交角中，不大于直角的角称为α与β的夹角.

    记α与β所成的角为θ， 若n1，n2分别为α与β的法向量；

则    cosθ = |cos<n1, n2>|=|n1•n2|/|n1||n2| 

练习：

如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 边长为2. 点E是棱BC中点，

求平面A’DE与平面C’DE的夹角的余弦值.  

二、核心素养提升

  问题1：

1.如图，正四面体A-BCD中，E、F分别为BC 、AD

的中点，求直线AE、CF夹角的余弦值.

问题2：

如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A、B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2√17，求平面α与平面β的夹角.

问题3：

3. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA、CB、CC1两两互相垂直，CB=2CA=2CC1= 4 ，E是CB的中点，M是线段EC1上的动点.  当直线AB1与平面ACM所成角的正弦值为√15/6时，求线段B1M的长度.   .

三、思维方法训练

建系“选址”策略

 用向量坐标解决几何问题的前提是建立空间直角坐标系.

坐标系位置选得好，点的坐标易确定，数据也便于处理.

       具体问题中，选哪儿为坐标原点建系合适呢？

让我们以以正四面体A-BCD为例 .

(E、F分别为棱BC 、AD的中点)

策略一，利用线线垂直、线面垂直或面面垂直；

策略二，利用几何体的对称性；

策略三，相关点尽量落在坐标轴或坐标平面上.

.

练习：

 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,

    ∠CBA=∠DBC=120°. 求：

 （1）直线AD与直线BC所成角的大小；

 （2）直线AD与平面BCD所成角的大小；

 （3）平面ABD与平面BDC的夹角的余弦值.

课堂

小结

一、本节课新知识回顾（由师生共同完成）

二、本节课核心素养方法回顾

三、本节课用到的数学思想方法回顾

板书设计

教学反思