2021-2022学年山东省济宁市微山县八年级（下）第一次调研数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济宁市微山县八年级（下）第一次调研数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列的式子一定是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 给出下列命题：
   在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为；
   三角形的三边、、满足，则；
   中，若：：：：，则是直角三角形；
   中，若 ：：：：，则这个三角形是直角三角形．
   其中，正确命题的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 在一块平地上，张大爷家屋前米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面米处折断倒下，量得倒下部分的长是米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答

A. 一定不会 B. 可能会
C. 一定会 D. 以上答案都不对

7. 如图所示，将矩形沿向上折叠，使点落在边上的处，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 对于任意的正数、定义运算为：，计算的结果为

A.  B.  C.  D.

9. 四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：

；；；

从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有

A. 种 B.  C. 种 D. 种

10. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于若，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11. 在实数范围内分解因式：_____________．
12. 已知、、是的三边长，且满足关系式，则的形状为______．
13. 如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若，则三角尺的最长边长为______ ．
    
    
     

14. 观察下面几组勾股数，并寻找规律：
    ，，；
    ，，；
    ，，；
    ，，；
    请你根据规律写出第组勾股数是______ ．
15. 如图，在中，、、、分别为、、、的中点，若，，则四边形的周长是______．
    
    
    
     

16. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则矩形的面积为______ ．

17. 如图，在平面直角坐标系中有一被称为的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

18. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ；
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知：如图，四边形，，，，，且求四边形的面积．
     

20. 如图，分别以的直角边及斜边向外作等边三角形及等边三角形，已知，于点，连接．
    求证：；
    求证：四边形是平行四边形．

21. “为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段上限速，为了检测来往车辆是否超速，交警在旁设立了观测点若某次从观测点测得一汽车从点到达点行驶了秒钟，已知，，．
    求观测点到公路的距离；
    请你判断该汽车是否超速？参考数据：，
    
    
    
    
    
    
     
22. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
    阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．

按照下面的解法，试化简：．
实数，在数轴上的位置如图所示，化简．；已知，，为的三边长，化简：．

23. 阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或构造全等的目的．
    小明在学完作辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
    如图所示，在四边形中，，、分别是、的中点，，，求的长．
    解：取的中点，连接、
    、、分别是、、的中点，，．
    ．
    ，，
    ，，
    ，
    是等边三角形，
    请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
    如图，在四边形中，，分别是，的中点．
    若，，，，求的长；
    若，求证：．

24. 如图，平行四边形的顶点为坐标原点，点在轴正半轴上，，，，点从点出发沿方向，以的速度向点运动；点从点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
    求点，的坐标结果用根号表示
    从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形；
    在点，运动的过程中，四边形有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；
    在点、运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、当时，，无意义，故本选项错误；
B、当时，无意义；故本选项错误；
C、，符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当时，，无意义；故本选项错误；
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项作出判断即可．
本题考查了二次根式的定义．一般形如的代数式叫做二次根式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解：、，不能构成直角三角形，故A错误；
B、，能构成直角三角形，故B正确；
C、，不能构成直角三角形，故C错误；
D、，不能构成直角三角形，故D错误．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：，
，，
，
故选：．
先估算出的范围，求出、的值，再代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为或，故本选项错误；
三角形的三边、、满足，则，故本选项错误；
中，若：：：：，则是直角三角形，故本选项正确；
中，若 ：：：：，则这个三角形是直角三直角三角形，故本选项正确．
其中，正确命题的个数为个；
故选B．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图所示，米，米，根据勾股定理得，米米．
故选A．
由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出的长即可解答．
考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：将矩形沿向上折叠，使点落在边上的处，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，，
，
故选：．
先利用定义的新运算将化简，再进行计算即可．
本题考查实数中的新定义运算，解题的关键是利用题干的新定义运算将所求式子转化为实数计算．
 

9.【答案】
 

【解析】解：组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
可证明≌，进而得到，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
可证明≌，进而得到，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
有种可能使四边形为平行四边形．
故选：．
根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
垂直平分，
，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
故选：．
连接，由平行四边形的性质可得，，再由线段垂直平分线的性质得，然后由勾股定理的逆定理证出，则，最后由勾股定理即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理等知识，正确作出辅助线证得是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平方差公式分解因式，把写成的平方是利用平方差公式的关键．把写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【解答】
解：
故答案为  

12.【答案】等腰直角三角形
 

【解析】解：，
，且，
，且，
则为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为，两非负数同时为，可得出，且，利用勾股定理的逆定理可得出为直角，进而确定出三角形为等腰直角三角形．
此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据题意，知是等腰直角三角形，即可求得的长，再根据的直角三角形的性质进行求解．
此题综合运用了等腰直角三角形的性质和的直角三角形性质，解答本题的关键是根据解直角三角形的知识得出、的长度，难度一般．
【解答】
解：，，，
又，
，
在直角三角形中，，
设，则．
根据勾股定理，得，
解得：，则斜边长是．
故答案为：．  

14.【答案】，，
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了数字规律题，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．
根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个数是：，第三个数是：根据这个规律即可解答．
【解答】

解：观察前组数据的规律可知：第一个数是；第二个数是：；第三个数是：，
所以第组勾股数是，，．
故答案为，，．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到，同理得到，，，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】
解：、分别为、的中点，
，
同理可得，，，，
四边形的周长，
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点，
所以，四边形是正方形，
边长，
所以，，，
因此，矩形的面积为．
故答案是：．
延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：观察，发现规律：，，，，，，，，，
，，，，，，，
，

故答案为：
根据正方形的性质找出部分点的坐标，由坐标的变化找出变化规律“，，，，，，，”，依此规律即可得出结论．
本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解题的关键是找出点的变化规律“，，，，，，，”本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标变化找出变化规律是关键．
 

18.【答案】解：原式

；
原式

；
原式




；
原式

；
把代入中，
原式．
 

【解析】应用二次根式的加减运算法则进行求解即可得出答案；
应用二次根式的乘除混合运算法则进行求解即可得出答案；
应用积的乘方，零指数幂的运算法则进行求解即可得出答案；
应用分式化简的运算法则进行求解，再把的值代入进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算及零指数幂，熟练掌握分式的化简求值，二次根式的混合运算及零指数幂的运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：连接．
，，，
，
在中，，
是直角三角形，
，
，
．
故四边形的面积为．
 

【解析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，，
，，，
，，
，，
在和中

≌，
；


是等边三角形，
，，
由的结论得，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】根据等边三角形的性质得出，，，求出，，根据推出≌即可；
根据等边三角形的性质得出，，求出，再求出，根据平行四边形的判定得出即可．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
 

21.【答案】解：过作，垂足为，如图所示：
，，
，
即观测点到公路的距离为；
该汽车没有超速．理由如下：
米，
，
，
，
车速为．
千米小时，
又，
该汽车没有超速．
 

【解析】根据题意结合锐角三角函数关系得出即可；
汽车、的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用；熟练掌握解直角三角形，得出的长是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：隐含条件，
解得：，
，
原式

．
，
原式

．
，，为的三边长，
，，，，
原式

．
 

【解析】由二次根式的非负性和题干中提供的思路得出，从而得出，即可求解；
由数轴上，的关系依次化简即可；三角形三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
本题考查二次根式的乘除法和化简，三角形三边关系，实数与数轴简单应用，解题的关键是利用题干信息得出题干中的隐含信息，利用隐含信息进行化简．
 

23.【答案】解：取的中点，连接、如图，

，分别是、的中点，，，
，且，，且．
又，，
，，
，
在直角中，由勾股定理得到：，
即；
证明：如图，取的中点，连接、．
，分别是、的中点，
，且，，且．
，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】取的中点，利用三角形中位线定理可以求得、的长度，然后利用勾股定理来求的长度；
如图，取的中点，连接、用三角形中位线定理可以求得、的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

24.【答案】解：过作于，过作于，
，
，
，
在中，，
点坐标是，
四边形是平行四边形，
，，
，过作，
平行线之间的距离相等，
≌，
，
，
点坐标是；

设从运动开始，经过秒，四边形是平行四边形，
，
解得：，
故运动开始，经过秒，四边形是平行四边形；

四边形能成为直角梯形．
设经过秒钟，四边形是直角梯形，
如图所示，四边形是矩形则有，
，
解得：，
故经过秒钟，四边形是直角梯形；

不能成为菱形，
如果四边形菱形，则，
，
，
则的运动时间是：秒，
这时
，
四边形不能成为菱形．
 

【解析】过作于，过作于，根据直角三角形的性质算出的长，再利用勾股定理即可求出的长，从而得到点坐标；根据平行线间的距离相等可知，再证明≌，从而得到的长，即可得到点坐标；
根据平行四边形的性质可知，设时间为秒，表示出、的长，可得到方程，解方程即可；
设经过秒钟，四边形是直角梯形，根据四边形是矩形则有，，则，解方程即可；
如果四边形菱形，则，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．
此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．