2020-2021学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{1，2，3，4} B．{2} C．{1，2，3，5} D．{1，3}
2．（4分）双曲线1的焦点坐标是（　　）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
3．（4分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）（单位：cm3）

A．16 B．16 C．32+4π D．32+2π
4．（4分）已知实数，b＝log3，c＝sin，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
5．（4分）已知平面α，直线a，b，l，且a⊂α，b⊂α，则“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）函数的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）直线mx﹣y+1＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m的值有关
8．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
9．（4分）已知菱形ABCD，∠DAB＝60°，E为边AB上的点（不包括A，B），将△ABD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，记直线BD与CE所成角的最小值为α，最大值为β，（　　）
A．α，β均与E位置有关
B．α与E位置有关，β与E位置无关
C．α与E位置无关，β与E位置有关
D．α，β均与E位置无关
10．（4分）已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，||＝1，且对于任意的x∈R，恒有|x|≥||，若2λμ（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为（　　）
A．[，2] B．[，4] C．[，2] D．[，]
二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．
11．（6分）南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积s，后人称之为秦九韶公式．这与古希腊数学家海伦证明的面积公式，p实质是相同的．若在△ABC中，BC＝7，AC＝5，AB＝6，则△ABC的面积为 　 　，△ABC的内切圆半径为 　 　．
12．（6分）设变量x，y满足约束条件，则函数z＝y+2x的最大值为 　 　，最小值为 　 　．
13．（6分）已知函数f（x），则f[f（1）]＝　 　；若f（x）＝﹣1，则x＝　 　．
14．（6分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列，则an＝　 　．若数列{bn}的通项bn，则{bn}的前n项和Sn＝　 　．
15．（4分）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAD＝105°，∠BAC＝60°，∠ABD＝45°，∠ABC＝60°，假设A，B，C，D四点在同一平面内，则C，D间的距离为 　 　（km）．

16．（4分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），过右焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为 　 　．
17．（4分）已知正数x，y满足x2+4y2+2xy＝1，则的最大值为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求f（x）在上的值域．
19．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面为直角梯形ABCD，AB⊥AD，PA＝PD＝AB＝AD＝2CD，E，F分别为PD，BC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求EF与平面PCD所成角的正弦值．

20．（15分）已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且a1＝1，Sn+1+Sn＝an+12（n∈N*），数列{bn}的首项b1＝1，且满足bn+1＝2bn+1（n∈N+）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn，求证：数列{cn}的前n项和Tn＜3．
21．（15分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆1有公共焦点，并交于A，B两点．不与x轴垂直的直线l交抛物线于P，Q两点，且PQ的中点M在椭圆上，PQ的垂直平分线交x轴于点T．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求点T横坐标的取值范围．

22．（15分）已知函数fλ（x）＝（x﹣λ）2﹣λ，λ∈R，设g（x）＝fa（x）+fb（x）﹣|fa（x）﹣fb（x）|．
（Ⅰ）若a＝﹣1，b＝3，且当x∈[a，b]时，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）若存在实数b，对任意的实数a∈（﹣2，﹣1），使得方程g（x）+2a﹣b＝0恒有四个不同的实数解，求b的最小值．

2020-2021学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{1，2，3，4} B．{2} C．{1，2，3，5} D．{1，3}
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，
∴∁UA＝{2，4}，（∁UA）∩B＝{2}．
故选：B．
2．（4分）双曲线1的焦点坐标是（　　）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
【解答】解：双曲线1，可得c，
所以双曲线1的焦点坐标是（，0）．
故选：D．
3．（4分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）（单位：cm3）

A．16 B．16 C．32+4π D．32+2π
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，左侧为长方体，右侧为半圆柱，
长方体的长、宽、高分别为4、4、2，右侧半圆柱的底面半径为1，高为4，
则该几何体的体积V＝4×4×2．
故选：D．
4．（4分）已知实数，b＝log3，c＝sin，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵，，
∴a＞c＞b．
故选：C．
5．（4分）已知平面α，直线a，b，l，且a⊂α，b⊂α，则“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a⊂α，b⊂α，直线a、b的位置关系可能平行，也可能相交．若a与b相交，则由l⊥a且l⊥b能得到l⊥α，否则不一定，所以，“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的不充分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l垂直于平面α内的所有直线，所以“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要条件．
所以，“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．
故选：B．
6．（4分）函数的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：x2﹣1≠0，解得x≠±1．
f（﹣x）＝﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数．排除CD．
x时，f（）cos0，因此排除B．
故选：A．
7．（4分）直线mx﹣y+1＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m的值有关
【解答】解；直线mx﹣y+1＝0过定点P（0，1），
圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5的圆心C（2，1），半径r，
而|PC|，
∴点P在圆C内部，可知直线mx﹣y+1＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5的位置关系是相交．
故选：A．
8．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【解答】解：将函数y＝sin2x＝cos（2x） 的图象向左平移个单位，可
得y＝cos（2x）＝cos（2x）的图象，
故选：D．
9．（4分）已知菱形ABCD，∠DAB＝60°，E为边AB上的点（不包括A，B），将△ABD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，记直线BD与CE所成角的最小值为α，最大值为β，（　　）
A．α，β均与E位置有关
B．α与E位置有关，β与E位置无关
C．α与E位置无关，β与E位置有关
D．α，β均与E位置无关
【解答】解：作EF∥BD交AD于点F，分别取EF，BD的中点P，Q，连接CQ，CP，AQ，CE，如图所示，
由翻折前该四边形为菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD，△BDC为等边三角形，
同时点P在AQ上，
由BD⊥CQ，BD⊥AQ，且CQ∩AQ＝Q，CQ，AQ⊂平面CPQ，
故BD⊥平面CPQ，
又EF∥BD，
则EF⊥平面CPQ，又CP⊂平面CPQ，
所以EF⊥CP，
直线BD与CE所成的角即直线EF与CE所成的角，即∠CEP，
所以tan∠CEP，
由点E不与A，B重合，
则当点C翻折到与点A重合时，CP最小，∠CEP＝60°为最小值，与点E位置无关，
当没有翻折时，CP最大，tan∠CEP最大，则∠CEP最大，与点E位置有关，
所以α与E位置无关，β与E位置有关．
故选：C．

10．（4分）已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，||＝1，且对于任意的x∈R，恒有|x|≥||，若2λμ（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为（　　）
A．[，2] B．[，4] C．[，2] D．[，]
【解答】解：设，则P点在直线OA上运动，

所以，过C点作直线OA的垂线，垂足为D，
则，结合题意有，即A，D点重合，即OA⊥AC，
又因为，不妨设，
，设，
因为，所以，即，
又即⇒，
则，
令，则，
根据三角函数的有界性以及辅助角公式可得，解得，
所以．
故选：A．
二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．
11．（6分）南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积s，后人称之为秦九韶公式．这与古希腊数学家海伦证明的面积公式，p实质是相同的．若在△ABC中，BC＝7，AC＝5，AB＝6，则△ABC的面积为 　　，△ABC的内切圆半径为 　　．
【解答】解：在△ABC中，BC＝7，AC＝5，AB＝6，
则a＝7，b＝5，c＝6，
所以，
则，
所以△ABC的面积为；
设△ABC的内切圆半径为r，
则由等面积法可得，，
即，解得r，
所以△ABC的内切圆半径为．
故答案为：；．
12．（6分）设变量x，y满足约束条件，则函数z＝y+2x的最大值为 　4　，最小值为 　﹣16　．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立方程组求得A（﹣6，﹣4），B（2，0），
作出直线y+2x＝0，由图可知，平移直线y+2x＝0至A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣16；
至B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．
故答案为：4；﹣16．

13．（6分）已知函数f（x），则f[f（1）]＝　2　；若f（x）＝﹣1，则x＝　　．
【解答】解：根据题意，函数f（x），
则f（1）＝log21＝0，则f[f（1）]＝30+1＝2，
对于f（x）＝﹣1，
当x≤0时，f（x）＝3﹣x+1＞1，f（x）＝﹣1不会成立，
当x＞0时，f（x）＝log2x，若f（x）＝﹣1，必有x，
综合可得：x；
故答案为：2，．
14．（6分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列，则an＝　2n﹣1　．若数列{bn}的通项bn，则{bn}的前n项和Sn＝　　．
【解答】解：由a2，a5，a14成等比数列，得aa2a14，又a1＝1，所以（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），整理得d2﹣2d＝0，
解得d＝2或d＝0（舍去），所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn（）．
所以Sn（1）（1）．
故答案为：2n﹣1；．
15．（4分）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAD＝105°，∠BAC＝60°，∠ABD＝45°，∠ABC＝60°，假设A，B，C，D四点在同一平面内，则C，D间的距离为 　2　（km）．

【解答】解：如图可知∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝60°，∴△BCA是正三角形，
∴AB＝CB＝AC＝2，
∵∠ABD＝45°，∠BAD＝105°，∴∠ADB＝30°，∠CAD＝45°
∴，AD＝2，
∴CD2．
故答案为：2．

16．（4分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），过右焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为 　　．
【解答】解：如图所示，过点A作AD垂直于右准线，垂足为D，过点B作BC垂直于右准线，垂足为C，
过点A作AE∥CD，过B作BE垂直于AE于E，
因为，
令||＝m，||＝2m，
则|AB|＝3m，
由椭圆的第二定义可得|AD|，|BC|，
所以|BE|＝|BC|﹣|AD|，
由于直线AB的斜率为，
所以tan∠ABE，
所以cos∠ABE，
在Rt△ABE中，cos∠ABE，
所以离心率为e，
故答案为：．
17．（4分）已知正数x，y满足x2+4y2+2xy＝1，则的最大值为 　　．
【解答】解：根据题意：设x+2y＝2a，令x＝a﹣d，2y＝a+d，
代入x2+4y2+2xy＝1，
得到3a2+d2＝1，
整理得，
所以，故，
所以，
由于函数y＝4a在（0，+∞）上单调递增，
故在a时，．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求f（x）在上的值域．
【解答】解：（Ⅰ）f（x），
所以f（）．
（Ⅱ）由于，
所以，
故，
所以．
19．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面为直角梯形ABCD，AB⊥AD，PA＝PD＝AB＝AD＝2CD，E，F分别为PD，BC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求EF与平面PCD所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点G，连接FG，EG，
因为DG＝GA，DE＝PE，
则GE∥PA，
又GE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
则GE∥平面PAB，
又FG∥AB，且FG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以FG∥平面PAB，
又GE∩FG＝G，GE，FG⊂平面EFG，
所以平面EFG∥平面PAB，又EF⊂平面EFG，
故EF∥平面PAB；
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊥AD，PG⊂平面PAD，
所以PG⊥平面ABCD，
以点G为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设CD＝1，则G（0，0，0），，，A（0，﹣1，0），D（0，1，0），，C（1，1，0），
所以，，，
因为，
又PD∩DC＝0，PD，CD⊂平面PCD，
故是平面PCD的一个法向量，
所以，
故EF与平面PCD所成角的正弦值为．


20．（15分）已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且a1＝1，Sn+1+Sn＝an+12（n∈N*），数列{bn}的首项b1＝1，且满足bn+1＝2bn+1（n∈N+）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn，求证：数列{cn}的前n项和Tn＜3．
【解答】解：（1）当n＝1时，有S2+S1＝a22，即1+a2+1＝a，解得a2＝2或a1＝﹣1（舍去），
当n≥2时，由Sn+1+Sn＝a，得Sn+Sn﹣1＝a，两式相减得an+1﹣an＝aa（an+1+an）（an+1﹣an），
又an＞0，所以an+1﹣an＝1（n≥2），且a2﹣a1＝1，所以an＝1+n﹣1＝n，
由bn+1＝2bn+1，得bn+1+1＝2（bn+1），所以{bn+1}是以b1+1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以bn+1＝2×2n﹣1＝2n，所以bn＝2n﹣1，
（2）证明：cn，令S，则S，
两式相减得S1，所以S＝3，
所以Tn＜S＝3．
21．（15分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆1有公共焦点，并交于A，B两点．不与x轴垂直的直线l交抛物线于P，Q两点，且PQ的中点M在椭圆上，PQ的垂直平分线交x轴于点T．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求点T横坐标的取值范围．

【解答】解：（I）∵椭圆1的焦半轴c，
∴抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（1，0），
∴，即p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x．
（II）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），T（t，0），
∵P，Q均在抛物线上，
∴，两式相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
∴，即，
由题意可得，，化简可得x0﹣t＝﹣2，得t＝x0+2，
∵，
∴，
∵椭圆的实半轴a＝2，
∴，
∴，
∴点T横坐标的取值范围为（）．
22．（15分）已知函数fλ（x）＝（x﹣λ）2﹣λ，λ∈R，设g（x）＝fa（x）+fb（x）﹣|fa（x）﹣fb（x）|．
（Ⅰ）若a＝﹣1，b＝3，且当x∈[a，b]时，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）若存在实数b，对任意的实数a∈（﹣2，﹣1），使得方程g（x）+2a﹣b＝0恒有四个不同的实数解，求b的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝3时，g（x），
当x∈[﹣1，]时，g（x）＝2（x+1）2+2单调递增，
当x∈[，3]时，g（x）＝2（x﹣3）2﹣6单调递减，
所以当x时，g（x）max＝f（）．
（Ⅱ）当b＝a时，g（x）＝2（x﹣a）2﹣2a，
g（x）+2a﹣b＝0为二次方程，没有四个根，不合题意，
当b＜a时，g（x），
所以g（x）min＝g（a）＝﹣2a＞0，
所以g（x）+2a﹣b≥﹣2a+2a﹣b＝﹣b＞0，
所以方程g（x）+2a﹣b＝0无解，不合题意，
当b＞a时，g（x），
因为方程g（x）+2a﹣b＝0有四个不同的解，等价于直线y＝b﹣2a与y＝g（x）的图象有四个不同的交点，
所以，
由ab，得b＞a+1在a∈（﹣2，﹣1）时恒成立，
所以b≥0，
由b﹣2a＞﹣2a，得b＞0在a∈（﹣2，﹣1）时恒成立，
所以b＞0，
因为g（）﹣（b﹣2a）＝2（）2﹣2a﹣（b﹣2a）[a﹣（b﹣1）]2﹣b，
设h（a）[a﹣（b﹣1）]2﹣b，
对称轴为a＝b﹣1，
因为b＞0，
所以b﹣1＞﹣1，
所以b﹣1∉（﹣2，﹣1），
所以只要h（x）min＝h（﹣1）[﹣1﹣（b﹣1）2]﹣b≥0，
所以b≥2（b≤0）不合题意，
综上，b的最小值为2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 10:12:15；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983