2020-2021学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB＝（　　）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
2．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值为（　　）
A．11 B．8 C．13 D．6
4．已知（1，2），（1，﹣7），2，则•为（　　）
A．3 B．24 C．21 D．4
5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．40cm3 B．30cm3 C．20cm3 D．10cm3
6．函数的部分图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
8．已知函数f（x），则下列结论错误的是（　　）
A．对于任意的n∈N*，f（x）总为偶函数
B．对于任意的n∈N*，f（x）总为周期函数
C．当n＝4时，f（x）图像关于点中心对称
D．当n＝3时，将y＝f（x）﹣1图像向左平移个单位，得到y＝2sin2x的图象
9．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
10．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题.
11．已知椭圆C：1，则其长轴长为 　 　，离心率为 　 　．
12．已知函数f（x），则f（4）＝　 　，函数f（x）的单调递减区间是 　 　．
13．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝2n，则an＝　 　，数列的前n项和是 　 　．
14．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则的最小值是 　 　，此时b＝　 　．
15．已知平面向量，，，满足|＝1，||＝2，||＝2，0≤λ≤1．若•0，则|λ（1﹣λ）|的取值范围是 　 　．
16．已知△ABC中，BC＝8，D是边BC上一点，BD＝3，AB＝2AD，当∠BCA最大时，则AB＝　 　．
17．已知函数f（x）＝|axb|（a，b∈R）在区间[1，4]上的最大值为M，当M取到最小值时，则a+b2＝　 　．
三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
19．在三棱锥A﹣BCD中，已知AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD，点A在面BCD上的射影位于BD的中点．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若点P为AC中点，求直线BP与平面ACD所成的角的余弦值．

20．已知等差数列{bn}满足b1＝1，1，数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，若存在正数k，使kTn＞（6﹣n2）an，对一切n∈N*恒成立，求k的取值范围．
21．已知椭圆C1：的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆C1上焦点F，且与直线y＝﹣1相切．
（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；
（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．

22．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设函数g（x）在定义域内有两个不同的极值点x1、x2，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，令x1＜x2且x1≠1，总有（2﹣t）（x12﹣2x1﹣3）成立，求实数t的取值范围．

2020-2021学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB＝（　　）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，
∴∁UB＝{2，5，8}，
则A∩∁UB＝{2，5}．
故选：A．
2．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．
直线a与平面α内无数条直线垂直，只要有一条直线不垂直，就不能推出直线与平面垂直，所以不充分．
而直线与平面垂直，根据线面垂直的判定定理可以推出直线a与平面α内无数条直线垂直．所以必要．
故选：B．
3．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值为（　　）
A．11 B．8 C．13 D．6
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（4，1），
由z＝3x﹣y，得y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为11．
故选：A．
4．已知（1，2），（1，﹣7），2，则•为（　　）
A．3 B．24 C．21 D．4
【解答】解：•（2）•22×（1，2）（1，﹣7）+50＝﹣26+50＝24，
故选：B．
5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．40cm3 B．30cm3 C．20cm3 D．10cm3
【解答】解：由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，
棱柱和棱锥的底面面积S4×3＝6cm2，
棱柱和棱锥高h＝5cm，
故组合体的体积V3×4×53×4×5＝20cm3，
故选：C．
6．函数的部分图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，
又f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）⋅sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sinx＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故可排除B，D选项；
又由f（0）＝（20﹣20）sin0＝0，所以排除C选项．
故选：A．
7．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．
故选：C．
8．已知函数f（x），则下列结论错误的是（　　）
A．对于任意的n∈N*，f（x）总为偶函数
B．对于任意的n∈N*，f（x）总为周期函数
C．当n＝4时，f（x）图像关于点中心对称
D．当n＝3时，将y＝f（x）﹣1图像向左平移个单位，得到y＝2sin2x的图象
【解答】解：函数f（x），
，
所以对于任意的n∈N*，f（x）总为偶函数，
故选项A正确；
，
所以T＝2π是函数f（x）的一个周期，
则对于任意的n∈N*，f（x）总为周期函数，
故选项B正确；
当n＝4时，，则，
所以f（x）图像关于点中心对称，
故选项C正确；
当n＝3时，则y＝f（x）﹣1
＝2cos2x+cos2x﹣1
＝2cos2x，
将y＝2cos2x的图象向左平移个单位，
则2sin2x，
故选项D错误．
故选：D．
9．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：在等腰梯形ABCD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB
＝1+4﹣2×1×2×（1﹣x）＝1+4x，
由双曲线的定义可得a1，c1＝1，e1，
由椭圆的定义可得a2，c2＝x，e2，
则e1+e2，
令t∈（0，1），
则e1+e2（t）在（0，1）上单调递减，
所以e1+e2（1），
故选：B．

10．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则 E（2，0，0），B′＝（3，0，3），D′＝（0，3，3），设 P（x，3，z），
则 ，
由正方体的性质可知平面ABCD的一个法向量为，
平面CC′D′D的一个法向量为，
设平面EPB′的法向量为，
则，即，
取c＝1，则 ，
所以，又因为平面B′EP与平面ABCD和平面CC′D′D所成的角相等，
所以，即，
又即 ，即或，
①当，即，
因为x∈[0，3]，所以z∈[﹣9，0]，又z∈[0，3]，所以z＝0，
此时，
②当，即，
因为x∈[0，3]，所以z∈[﹣3，6]，又因为z∈[0，3]，所以z∈[0，3]
此时
当时，不等式取等号．综上所述，PD′的最小值为 ．
故选：A．

二、填空题：本大题共7小题.
11．已知椭圆C：1，则其长轴长为 　4　，离心率为 　　．
【解答】解：椭圆C：1，则其长轴长为2a＝2×2＝4；
离心率为：e．
故答案为：4；．
12．已知函数f（x），则f（4）＝　1　，函数f（x）的单调递减区间是 　（1，2）　．
【解答】解：函数f（x），则f（4）＝log24﹣1＝2﹣1＝1；
x＞2时，函数是增函数，x∈（1，2）时，函数是减函数，x∈（﹣∞，1）函数是增函数，
故答案为：1；（1，2）．
13．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝2n，则an＝　　，数列的前n项和是 　　．
【解答】解：数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝2n，①
当n＝1时，解得a1＝2，
当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+（n﹣1）an﹣1＝2（n﹣1），②
①﹣②得：nan＝2，
故（首项符合通项），
故，
所以，
则．
故答案为：．
14．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则的最小值是 　2　，此时b＝　2　．
【解答】解：∵a+b+2＝ab，∴b+2＝ab﹣a，∴，
∴，
即2，当且仅当，即b＝2时取等号，
故答案为：2；2．
15．已知平面向量，，，满足|＝1，||＝2，||＝2，0≤λ≤1．若•0，则|λ（1﹣λ）|的取值范围是 　　．
【解答】解：设λ（1﹣λ），则|λ（1﹣λ）|＝||，
因为|||﹣|||≤||≤||+||，
所以|||﹣1|≤||≤||+1，
因为||²＝|λ（1﹣λ）|²（1﹣λ）²24λ2+4（1﹣λ）2＝8λ2﹣8λ+4＝8（λ）2+2，
又因为0≤λ≤1，所以，2≤||²≤4，故||≤2，得1≤|λ（{1﹣λ}）|≤3．
故答案为：[1，3]．
16．已知△ABC中，BC＝8，D是边BC上一点，BD＝3，AB＝2AD，当∠BCA最大时，则AB＝　　．
【解答】解：如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，则D（3，0），
设A（x，y），由|AB|＝2|AD|，得，化简得（x﹣4）2+y2＝4，
所以A点的轨迹为以M（4，0）为圆心，半径为2的圆；
当AC与圆M相切时，∠BCA最大；此时MC＝4，MA＝2，MA⊥AC，所以∠BCA＝30°．
在直角三角形MAC中，．
所以在△ABC中，，
由余弦定理得；
故答案为：．
17．已知函数f（x）＝|axb|（a，b∈R）在区间[1，4]上的最大值为M，当M取到最小值时，则a+b2＝　　．
【解答】解：由条件有M≥f（1）＝|a+b+4|①，M≥f（4）＝|4a+b+1|②，M≥f（2）＝|2a+b+2|③；
由得1，
所以，当且仅当或时等号成立；解得或无解，此时．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx
，
函数f（x）的最小正周期为，∴ω＝1．
由，k∈Z得，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为，k∈Z．
（2）∵，∴，
∴当x＝0或时，[f（x）]min＝2，
当时，[f（x）]min＝3，
∴f（x）∈[2，3]．
19．在三棱锥A﹣BCD中，已知AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD，点A在面BCD上的射影位于BD的中点．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若点P为AC中点，求直线BP与平面ACD所成的角的余弦值．

【解答】解：（1）取BD中点E，连接AE，CE，
∵AB＝AD＝BD＝2，又E为BD中点，∴AE⊥BD，
同理可得：CE⊥BD，
又AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，
又AC⊂平面ACE，
∴BD⊥AC．
（2）因为AE⊥平面BCD，故以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．
则B（0，﹣1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），，
∵P是AC的中点，∴P（，0，），
（，1，），，，
设是平面ACD的法向量，
∴，令x＝1，得y＝1，，
∴（1，1，）．
sinθ＝|cos|．
∴
所以直线BP与平面ACD所成的角的余弦值为．

20．已知等差数列{bn}满足b1＝1，1，数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，若存在正数k，使kTn＞（6﹣n2）an，对一切n∈N*恒成立，求k的取值范围．
【解答】解：（1）因为数列{bn}是等整数列，则b1+b6+b8＝3b5，由，得，所以b5＝3．
又b1＝1，所以{an}的公差d满足：4d＝b5﹣b1＝3﹣1＝2，解得d，所以bn＝1（n﹣1）n，
当n＝1时，，当n≥2时，由．得Sn﹣1＝2n+1﹣4，所以，
经检验，当n＝1时也满足上式，所以．
（2）由（1）得anbn＝2n+1•（n+1）•2n，
所以Tn＝2×21+3×22+…+（n+1）2n①，2Tn＝2×22+3×23++（n+1）2n+1②，
①﹣②得﹣Tn＝4＝22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1，
所以．因为不等式，对一切n∈N*恒成立，
所以对一切n∈N*恒成立．
令，（n∈N*），因为g（n）在（0，+∞）单调递减，
所以g（n）max＝g（1）＝5，所以k＞5，故k的取值范围（5，+∞）．
21．已知椭圆C1：的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆C1上焦点F，且与直线y＝﹣1相切．
（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；
（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．

【解答】解：（1）由已知可得，
则所求椭圆方程，
由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，
则动圆圆心轨迹方程为．
（2）当直线PQ的斜率不存在时，|PQ|＝4，
此时|MN|＝4，
从而，
设直线PQ的斜率为k，则k≠0，直线PQ的方程为：y＝kx+1，
直线MN的方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
由，消去y可得（4+3k2）x2+6x﹣9＝0，
，
由，消去x得y2﹣（2k2+4）y+k2＝0，
由抛物线定义可知：，
∴，
令1+k2＝t，∵k＞0，则t＞1，
则，

所以S四边形PMQN8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．
22．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设函数g（x）在定义域内有两个不同的极值点x1、x2，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，令x1＜x2且x1≠1，总有（2﹣t）（x12﹣2x1﹣3）成立，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由f'（x）＝lnx+1，则f′（1）＝1，f（1）＝0，
故所求切线方程为y＝x﹣1；
（2）由，
得，
令u（x）＝2x2﹣6x+a（a＞0），函数g（x）在（0，+∞）内有两个极值点，
则u（x）＝2x2﹣6x+a（a＞0），在（0，+∞）有两个不相等的实根x1、x2，
所以，解得；
（3）由（2）知x1+x2＝3，，0＜x1＜x2，
所以x2＝3﹣x1＞x1，得，a＝2x1（3﹣x1），
所以成立，即，
即，即成立，
且0＜x1＜1时，.时，，
令，
，
①t≥2时，h'（x）＞0，所以h（x）在上为增函数，且h（1）＝0．
所以时、h（x）＞0，
与矛盾，不符合题意；
②t＜2时，令p（x）＝（t﹣2）x2+2x+t﹣2，Δ＝4﹣4（t﹣2）2，
（ⅰ）当△≤0，即t≤1时，h'（x）≤0，所以h（x）在为减函数，且h（1）＝0，
可得：当0＜x＜1时，h（x）＞0，，则，
当时，h（x）＜0，，则，
所以对任意的恒成立；
（ⅱ）当Δ＞0．即1＜t＜2时，二次函数p（x）图象的对称轴，
且p（1）＝2﹣2＞0．令．则当x∈（1，x0）时，p（x）＞0，即h'（x）＞0，
所以h（x）在（1，x0）为增函数，且h（1）＝0，
所以在（1，x0）上h（x）＞0，与矛盾，不符合题意，
综上，t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．
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