2020-2021学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）若集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则A∪B＝（　　）
A．{3} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，5，6}
2．（4分）设函数，则f（2）＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（4分）sin240°＝（　　）
A． B．﹣1 C． D．
4．（4分）已知x∈R，则“x＞2021”是“x＞2020”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）若实数x，y满足，则z＝2x+3y的取值范围是（　　）
A．[﹣10，2] B．[﹣10，5] C．[2，5] D．[﹣10，4]
6．（4分）为了得到函数的图象，可将函数y＝sin3x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．（4分）在△ABC中，，，若，则λ+μ等于（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）对于空间的两条直线m、n和一个平面α，下列命题中的真命题是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
9．（4分）函数的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）在凸四边形ABCD中，若AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，则cos∠BCD＝（　　）
A． B． C． D．
11．（4分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．设P是直线l：3x+4y+8＝0上的动点，PA是圆M的切线，A为切点，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．5
12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．
13．（4分）已知椭圆C：的右焦点为F，点P，Q为第一象限内椭圆上的两个点，且∠OFP＝∠PFQ＝60°，FP＝2FQ，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
14．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+an+1＝n，则（　　）
A．S2＝2 B．S24＝144 C．S31＝243 D．S60＝660
15．（4分）设函数f（x）为单调函数，且x∈（0，+∞）时，均有，则f（1）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
二、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分。
16．（4分）2log510+log50.25＝　 　．
17．（4分）已知双曲线C：的右焦点F（5，0）到渐近线的距离为4，则实轴长为 　 　．
18．（4分）在锐角△ABC中，，，则的取值范围为 　 　．
19．（4分）在四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB⊥CD，BC＝2，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）若，且，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
21．已知{an}为等差数列，{bn}是各项为正数且首项为2的等比数列，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，a6＝b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求．
22．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SC＝4BC，∠SCA＝∠ACB．
（Ⅰ）证明：∠SBC；
（Ⅱ）求直线AC与平面SBC所成角的正弦值．

23．如图，过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l与C交于A，B两点，与直线x＝﹣1交于点P（|AF|＞|BF|）．过点P作C的两条切线，切点分别为M，N．
（Ⅰ）证明：AB⊥MN；
（Ⅱ）求四边形BNAM面积的最小值．

24．设函数u（x）＝4﹣x2，x∈[﹣2，2]，v（x）＝λ（x+a）（0＜λ≤2，a≤1）．
（Ⅰ）讨论函数在（﹣2，2）上的奇偶性；
（Ⅱ）设，若g（x）的最大值为，求λ+a的取值范围．

2020-2021学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）若集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则A∪B＝（　　）
A．{3} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，5，6}
【解答】解：∵集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，
∴A∪B＝{1，2，3，5，6}．
故选：D．
2．（4分）设函数，则f（2）＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵2＞1，∴f（2）＝22＝4，
故选：C．
3．（4分）sin240°＝（　　）
A． B．﹣1 C． D．
【解答】解：sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°．
故选：A．
4．（4分）已知x∈R，则“x＞2021”是“x＞2020”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“x＞2021”⇒“x＞2020”，反之不成立．
∴“x＞2021”是“x＞2020”成立的充分不必要条件．
故选：A．
5．（4分）若实数x，y满足，则z＝2x+3y的取值范围是（　　）
A．[﹣10，2] B．[﹣10，5] C．[2，5] D．[﹣10，4]
【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：

由图可知，平移直线z＝2x+3y，直线在A处的截距取得最小值，此时z取得最小值，
在C处，直线在y轴上的截距取得最大值，此时z最大．
由，求得A（﹣2，﹣2），由，求得C（1，1）；
直线z＝2x+3y在A处取得最小值为zmin＝﹣10，在C处取得最大值为zmax＝5，
所以z＝2x+3y的取值范围是[﹣10，5]．
故选：B．
6．（4分）为了得到函数的图象，可将函数y＝sin3x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【解答】解为了得到函数的图象，可将函数y＝sin3x的图象向左平移个单位得到，
即y＝sin3（x）＝sin（3x）．
故选：C．
7．（4分）在△ABC中，，，若，则λ+μ等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在△ABC中，，，
∴22（），
∵，∴λ，μ，∴λ+μ．
故选：B．
8．（4分）对于空间的两条直线m、n和一个平面α，下列命题中的真命题是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，因此A不正确；
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n或为异面直线，因此B不正确；
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n，因此C不正确；
D．若m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质定理可知：m∥n．正确．
故选：D．
9．（4分）函数的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，，有f（﹣x）f（x），即函数f（x）为偶函数，排除AB，
在区间（0，π）上，sinx＞0，则有f（x）＞0，排除D，
故选：C．
10．（4分）在凸四边形ABCD中，若AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，则cos∠BCD＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在凸四边形ABCD中，若AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，
如图所示：

在△ABC中，利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝1+4+27，
所以AC；
由于CD＝3，DA＝4，
满足AC2+DC2＝DA2，
所以△ACD为直角三角形；
由于，
则sin
所以．
故选：C．
11．（4分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．设P是直线l：3x+4y+8＝0上的动点，PA是圆M的切线，A为切点，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．5
【解答】解：如图所示，

圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心M（1，1）到直线l：3x+4y+8＝0上的距离为d3，
圆M的半径为2，所以直线l与圆M相离；
连接AM，则AM⊥PA，
所以••（）•d2﹣r2＝9﹣4＝5，
即的最小值为5．
故选：D．
12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；
如图所示：

所以：．
故选：D．
13．（4分）已知椭圆C：的右焦点为F，点P，Q为第一象限内椭圆上的两个点，且∠OFP＝∠PFQ＝60°，FP＝2FQ，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】 解：分别过点P，Q作准线x的垂线段，垂足为G，H，
由椭圆的第二定义可得，
e，即|PF|＝e|PG|，
又|PG||PF|cos120°，
所以|PF|＝e[（c﹣|PF|cos60°）]，
所以|PF|＝eec+e|PF|cos60°，
所以|PF|﹣e|PF|cos60°＝eec，
所以|PF|（1﹣ecos120°）＝e（c），
所以|PF|（1﹣ecos120°）＝e，
所以|PF|（1﹣ecos120°），
所以|PF|，
同理可得|QF|，
又因为|FP|＝2|FQ|，
所以2，
所以e，
故选：C．

14．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+an+1＝n，则（　　）
A．S2＝2 B．S24＝144 C．S31＝243 D．S60＝660
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+an+1＝n，
可得：a2＝0，an﹣1+an＝n﹣1，S2＝1，所以A不正确；
可得an+1﹣an﹣1＝1，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，
∴S24＝1+2+3+4+•••+12+0+1+2+3+•••+11＝144，所以B正确；
S31＝1+2+3+4+•••+15+0+1+2+3+•••+15＝241≠243，所以C不正确；
S60＝1+2+3+4+•••+30+0+1+2+3+•••+29＝900，所以D不正确；
故选：B．
15．（4分）设函数f（x）为单调函数，且x∈（0，+∞）时，均有，则f（1）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：∵函数f（x）为单调函数，且，
∴f（x）为常数，不妨设f（x）a，
则f（x）＝a，原式化为f（a）＝1，
即a1，解得a＝2或a＝﹣1（舍去），
故f（x）＝2，∴f（1）＝2﹣2＝0，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分。
16．（4分）2log510+log50.25＝　2　．
【解答】解：∵2log510+log50.25
＝log5100+log50.25
＝log525
＝2
故答案为：2．
17．（4分）已知双曲线C：的右焦点F（5，0）到渐近线的距离为4，则实轴长为 　6　．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以焦点F（5，0）到渐近线bx+ay＝0的距离d4，
所以4，
即b4，
所以a2＝c2﹣b2＝25﹣16＝9，
所以a＝3，
所以实轴长为2a＝6，
故答案为：6．
18．（4分）在锐角△ABC中，，，则的取值范围为 　（0，）　．
【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，建立平面直角坐标系，如图所示：

因为B，||＝||＝2，
所以C（，1），
设点A（x，0），
因为△ABC是锐角三角形，
所以A+C，且A，
过点C作CD⊥x轴与点D，过点C作CF⊥BC，交x轴于点F，
则A在线段DF上（不与D、F重合），
所以x，
（﹣x，0），（x，1），
则•x（x）＝x2x＝（x）2，
由二次函数的性质知，x时，x2x＝0，
x时，x2x，
所以•的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
19．（4分）在四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB⊥CD，BC＝2，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为 　　．
【解答】解：如图所示，将所给的三棱锥补形为长方体，

由几何关系可得：AB2+BC2+CD2＝AB2+4+CD2＝（2R）2＝20，
则：AB2+CD2＝16，
三棱锥的体积：，
当且仅当 AB＝CD时等号成立．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）若，且，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以α．
所以．
所以．
（Ⅱ）因为，
由，k∈Z，
得，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
21．已知{an}为等差数列，{bn}是各项为正数且首项为2的等比数列，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，a6＝b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由已知b2+b3＝12，得，而b1＝2，所以q2+q﹣6＝0．
又因为q＞0，所以q＝2，所以，．
由b3＝a4﹣2a1，可得8＝3d﹣a1①．
由a6＝b4，可得a1+5d＝16②，
联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n﹣2．
所以数列{an}的通项公式为an＝3n﹣2，数列{bn}的通项公式为．
（Ⅱ）23﹣25+27+⋯+（﹣1）n+122n+1．
22．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SC＝4BC，∠SCA＝∠ACB．
（Ⅰ）证明：∠SBC；
（Ⅱ）求直线AC与平面SBC所成角的正弦值．

【解答】解法一：（Ⅰ）证明：在平面SAC上过S作SH⊥AC于点H，连接BH，
因为平面SAC⊥平面ABC，所以SH⊥平面ABC，所以SH⊥BC，
因为∠SCA＝60°，所以，又因为∠ACB＝60°，
所以∠HBC＝90°，即BH⊥BC，所以BC⊥平面SBH，
所以BC⊥SB，所以．
（Ⅱ）直线AC与平面SBC所成角也就是HC与平面SBC所成角．
由（Ⅰ）知BC⊥平面SBH，所以平面SBC⊥平面SBH，
过H作HO⊥SB于O，则HO⊥平面SBC，
在直角三角形SHB中，得，
所以直线AC与平面SBC所成角的正弦为．

解法二：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系C﹣xyz，设BC＝1，
则C（0，0，0），，，，
∴BS⊥CB，∴．
（Ⅱ）设，设平面SBC的法向量，
由，即，
所以平面SBC的一个法向量为，
设所求线面角为θ，则．

23．如图，过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l与C交于A，B两点，与直线x＝﹣1交于点P（|AF|＞|BF|）．过点P作C的两条切线，切点分别为M，N．
（Ⅰ）证明：AB⊥MN；
（Ⅱ）求四边形BNAM面积的最小值．

【解答】（1）证明：设P（﹣1，t），M（x1，y1），N（x2，y2），过M点切线斜率为k，
则M点切线方程为y﹣y1＝k（x﹣x1），联立得，由Δ＝0得，
所以M的切线方程2x﹣y1y+2x1＝0，同理N的切线方程2x﹣y2y+2x2＝0，
代入P点得，所以直线MN的方程为﹣2﹣yt+2x＝0，
即，因为，所以AB⊥MN．
（Ⅱ）解：设直线l：x＝my+1，代入y2＝4x得y2﹣4my﹣4＝0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以，
同理，所以四边形BNAM的面积为，
当m＝±1时取到最小值．
24．设函数u（x）＝4﹣x2，x∈[﹣2，2]，v（x）＝λ（x+a）（0＜λ≤2，a≤1）．
（Ⅰ）讨论函数在（﹣2，2）上的奇偶性；
（Ⅱ）设，若g（x）的最大值为，求λ+a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，函数f（x）为奇函数．
当a≠0时，函数f（x），
∵f（0），f（﹣1）f（1），
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（Ⅱ）设．
①当时，，∴h（x）在[﹣2，2]递减，
h（﹣2）＝3﹣a＞0，h（2）＝﹣1﹣a，h（﹣2）+h（2）＝2﹣2a≥0，
∴|h（﹣2）|≥|h（2）|，，解得．
∴λ+a＝λ∈（，]；
②当时，，∴h（x）在递增，在递减，
又h（﹣2）＝3﹣a＞0，h（2）＝﹣1﹣a，，
h（﹣2）+h（2）＝2﹣2a≥0，h（﹣2）＞h（2），
所以|h（﹣2）|≥|h（2）|，又，
∴，，
又a≤1，∴，同时，∴，
由在递增，∴．
综上，当时，；当时，．
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