2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知过点A（1，a），的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝7，a10＝22，则S10＝（ ）
A．65B．75C．80D．85
3．（5分）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0外切，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．1C．1或4D．4
5．（5分）已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α
B．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
C．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α
6．（5分）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB＝2，则异面直线O1B，O2A所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）设，，，则（ ）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．a＞c＞b
8．（5分）在四面体PABC中，PA⊥PB，△ABC是边长为2的等边三角形，若二面角P﹣AB﹣C的大小为 120°，则四面体PABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）下列求导数的运算正确的是（ ）
A．
B．
C．（xex）'＝（x+1）ex
D．
（多选）10．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为q，已知a1a5＝4，a2+a4＝5，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若{an}为递增数列，则Sn
C．a3＝2
D．若{an}为递减数列，当且仅当n＝3时，Tn取得最大值
（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足，t∈[0，1]，下列结论正确的是（ ）
A．若t＝1，则A1B1∥平面MPQ
B．若t＝1，则过点M，P，Q的截面面积是
C．若，则点A1到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，点A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（ ）
A．焦点坐标为（2，0）
B．向量与的数量积为5
C．直线MN的斜率为m
D．若直线PQ过焦点F，则OF平分∠PAQ
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，神墙共30分）
13．（5分）已知点A（0，1，0），点B（2，3，2），向量，则点C的坐标为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点P在圆O：x2+y2＝9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 ．
15．（5分）若曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线经过点P（2，0），则实数a＝ ．
16．（5分）一个圆锥母线与底面所成的角为30°，体积为8π，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 ．
17．（5分）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c10＝ .（1.18≈2.14，1.19≈2.36，1.110≈2.59 ）
18．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且，|OP|＝|OF|，则椭圆的离心率是 ．
四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+a （a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．
20．（12分）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，﹣2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（﹣3，1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
21．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n﹣1，求数列{}的前n项和Tn．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，BC＝CD，E，F分别是边BD，CD上的点，将△ABC沿BC翻折，将△DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC⊥平面BCFE（如图2）
（1）求证：CF⊥PB；
（2）求二面角P﹣EF﹣B的余弦值.
23．（12分）已知双曲线M：x21，在双曲线M的右支上存在不同于点A（2，3）的两点P，Q．记直线AP，AQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k，且k1，k，k2成等差数列．
（1）求k的取值范围；
（2）若△OPQ的面积为（O为坐标原点），求直线PQ的方程．
2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）已知过点A（1，a），的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝tan60°，
故a＝﹣2．
故选：A．
2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝7，a10＝22，则S10＝（ ）
A．65B．75C．80D．85
【解答】解：∵a5＝7，a10＝22，∴5d＝15，解得d＝3，
∵a5＝7，∴a1＝7﹣12＝﹣5，
∴S10＝10×（﹣5）+5×9×3＝85．
故选：D．
3．（5分）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，由于M为OC1的中点，
则，
故选：C．
4．（5分）若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0外切，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．1C．1或4D．4
【解答】解：圆C1：x2+y2＝4，圆心为C1（0，0），半径r1＝2，
圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0，即x2+（y﹣m）2＝m，圆心为C2（m，0），半径为（m＞0），
圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0外切，
则|C1C2|＝r1+r2，即m，解得m＝4．
故选：D．
5．（5分）已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α
B．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
C．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α
【解答】解：对于A，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a，b相交，则l⊥α，故A错误；
对于B，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又b⊥β，则由线面垂直的性质定理可得b⊥a，故B正确；
对于C，若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b平行、相交或异面，故C错误；
对于D，若若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a与α平行或相交，故D错误．
故选：B．
6．（5分）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB＝2，则异面直线O1B，O2A所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设过B的母线为BD，连接AD，
则O1O2∥BD，O1O2＝BD，
∴四边形O1O2DB为平行四边形，
∴O1B∥O2D，
∴∠AO2D为异面直线O1B，O2A所成的角或其补角，
∵AB＝2，DB＝1，∴AD，
又O2A＝O2D＝1，∴cs∠AO2D
∴∠AO2D，
∴异面直线O1B，O2A所成的角为，
故选：B．
7．（5分）设，，，则（ ）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．a＞c＞b
【解答】解：解ln（sincs）2＝ln（1+sin），
令f（x）＝x﹣sinx，则f′（x）＝1﹣csx在（0，）上单调递增，∴x﹣sinx＞0，∴x＞sinx，
∴sin，
ln（1+sin）＜ln（1），
令g（x）＝x﹣ln（x+1），则g′（x）＝1，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x＞ln（x+1），∴ln（1），故a＞b，
∴lnln，lnln，∵8＞e2，∴c＞a，
故c＞a＞b，
故选：B．
8．（5分）在四面体PABC中，PA⊥PB，△ABC是边长为2的等边三角形，若二面角P﹣AB﹣C的大小为 120°，则四面体PABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：取AB的中点D，
过D作DO⊥平面PAB，
设正三角形ABC的重心为G，作OG⊥平面ABC，
∵PA⊥PB，
∴O为四面体PABC的外接球的球心，
又二面角P﹣AB﹣C的大小为 120°，
则∠DOG＝60°，
又，
则，
设四面体PABC的外接球的半径为R，
则，
则四面体PABC的外接球的表面积为4πR2，
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）下列求导数的运算正确的是（ ）
A．
B．
C．（xex）'＝（x+1）ex
D．
【解答】解：（）′＝3x2，A正确；
（ln2）′＝0，B错误；
（xex）＝ex+xex＝（x+1）ex，C正确；
（sin）′，D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为q，已知a1a5＝4，a2+a4＝5，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若{an}为递增数列，则Sn
C．a3＝2
D．若{an}为递减数列，当且仅当n＝3时，Tn取得最大值
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
∵数列{an}为等比数列，
∴a1a5＝a2a4＝4，
∵a2+a4＝5，
∴或，
当时，
则4，解得q＝2（负值舍去），
a3＝a2q＝1×2＝2，
当时，
则，解得q（负值舍去），
故q＝2或q，故A错误，
故，
综上所述，a3＝2，故C正确；
若{an}为递增数列，
则q＝2，即，
，即，
Sn，
故Sn，故C正确；
若{an}为递减数列，
则，a1＝8，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5，
故当且仅当n＝3或n＝4时，Tn取得最大值，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足，t∈[0，1]，下列结论正确的是（ ）
A．若t＝1，则A1B1∥平面MPQ
B．若t＝1，则过点M，P，Q的截面面积是
C．若，则点A1到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
【解答】解：对A，B选项，若t＝1，则M与A重合，如图所示：
延长B1B与QP交于点E，易知A1B1不平行AE，
∴A1B1不平行平面MPQ，∴A选项错误；
连接MD1，QD1，则根据题意易知MD1∥PQ，
∴过点M，P，Q的截面为等腰梯形PQD1M，
又根据题意易得PM＝QD1，PQ，D1M，
∴易得等腰梯形PQD1M的高为，
∴等腰梯形PQD1M的面积为，∴B选项正确；
对C，D选项，若，则M为AB的中点，连接A1C1，如图所示：
易知A1C1∥MP，∴A1到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d，
则根据等体积法思想可得：，
又PM＝PQ，MQ，∴，
∴，
∴，∴d，∴C选项错误；
又易知BC1∥PQ，∴B到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d，
又MB＝1，设AB与平面MPQ所成角为θ，则sinθ，
∴csθ，∴tanθ，∴D选项正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，点A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（ ）
A．焦点坐标为（2，0）
B．向量与的数量积为5
C．直线MN的斜率为m
D．若直线PQ过焦点F，则OF平分∠PAQ
【解答】解：A．由抛物线C：y2＝4x，可得2p＝4，∴1，∴焦点F（1，0），因此A不正确；
B．设直线AP的方程为ty＝x+1，P（x1，y1），M（x2，y2），联立，化为y2﹣4ty+4＝0，Δ＞0，y1+y2＝4t，y1y2＝4，
∴•x1x2+y1y2＝（ty1﹣1）（ty2﹣1）+y1y2＝（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+1＝4（t2+1）﹣t×4t+1＝5，因此B正确；
C．设P（x1，y1），Q（x3，y3），N（x4，y4），设直线BP的方程为k（y﹣m）＝x，代入抛物线方程可得：y2﹣4ky+4km＝0，Δ＞0，∴y1y3＝4km，
.设直线AQ的方程为y（x+1），代入抛物线方程可得y2y+4＝0，∴y3y4＝4，
∴kMNm，因此C正确．
D．设P（x1，y1），Q（x3，y3），直线PQ的方程为：y＝﹣mx+m，代入抛物线方程可得m2x2﹣（2m2+4）x+m2＝0，则x1+x3，x1x3＝1，
∴kAP+kAQ，分子＝﹣2mx1x3+2m＝﹣2m+2m＝0，∴OF平分∠PAQ，因此D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，神墙共30分）
13．（5分）已知点A（0，1，0），点B（2，3，2），向量，则点C的坐标为 （1，2，1） ．
【解答】解：设C（x，y，z），则（x，y﹣1，z），
而（2，2，2）＝（1，1，1），
故x＝1，y＝2，z＝1，
故答案为：（1，2，1）．
14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点P在圆O：x2+y2＝9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 （x﹣2）2+y2 ．
【解答】解：设Q（x，y），P（m，n），
因为点P在圆O：x2+y2＝9上运动，
所以m2+n2＝9，
又，
所以（2x﹣4）2+4y2＝9，
即（x﹣2）2+y2．
故答案为：（x﹣2）2+y2．
15．（5分）若曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线经过点P（2，0），则实数a＝ ．
【解答】解：由y＝lnx+ax，得y′a，
∴y′|x＝1＝1+a，又x＝1时，y＝a，
∴曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线方程为y＝（1+a）（x﹣1）+a，
把点P（2，0）代入，可得0＝1+2a，即a．
故答案为：．
16．（5分）一个圆锥母线与底面所成的角为30°，体积为8π，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 8 ．
【解答】解：∵圆锥的母线与底面所成角为30°，
设母线长为x，则圆锥的高为x，
∴圆锥的底面半径r．体积为8π，
可得8π，解得x＝4，
过圆锥顶点的平面截圆锥，两条母线的夹角为90°时，所得截面面积的最大，
最大值为8．
故答案为：8．
17．（5分）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c10＝ 1472 .（1.18≈2.14，1.19≈2.36，1.110≈2.59 ）
【解答】解：由题意得：
c1＝1200，
c2＝1200×1.1﹣100，
c3＝1200×1.12﹣100×1.1﹣100，
……
c10＝1200×1.19﹣100（1.18+1.17+1.16+…+1.1+1）
≈1200×2.358﹣1001200×2.36﹣1000×（1.19﹣1）＝1472．
故答案为：1472．
18．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且，|OP|＝|OF|，则椭圆的离心率是 ．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，|FQ|＝m，∵|OP|＝|OF|，
∴△PFF′为直角三角形且∠FPF′＝90°，
∵，∴|PF|＝4m，
∵|PF′|+|PF|＝2a，|QF′|+|QF|＝2a，
∴|QF′|＝2a﹣m，|PF′|＝2a﹣4m，
∴（2a﹣4m）2+（5m）2＝（2a﹣m）2，解得ma，
∴，|PF′|a，|PF|a，
∴（a）2+（a）2＝（2c）2，∴．
故椭圆的离心率是．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+a （a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x+a，
∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
∴f′（x）的符号草图为：
∴f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）；
（2）根据（1）可得f（x）的极大值为f（﹣1）＝a+2，
f（x）的极小值为f（1）＝a﹣2，
又f（x）有三个零点，
∴，
∴a∈（﹣2，2），
∴a的取值范围为（﹣2，2）．
20．（12分）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，﹣2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（﹣3，1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【解答】解：（1）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，﹣2），
则线段AB的垂直平分线方程为：y＝x﹣3，即 x﹣y﹣3＝0，
又圆心在直线2x+y＝0上，
联立，解得，
所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝4，
所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝16；
（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y＝k（x+3）+1，即kx﹣y+3k+1＝0，
圆心C（1，﹣2）到直线l的距离d4，解得k，
所求的一条切线为7x﹣24y+45＝0，
当直线l的斜率不存在时，x＝﹣3与圆相切，
所以直线l的方程为x＝﹣3和7x﹣24y+45＝0．
21．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n﹣1，求数列{}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵2an＝4Sn﹣1，
∴，（n≥2），
两式相减可得：，（n≥2），
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，（n≥2），又an＞0，
∴an﹣an﹣1＝2，（n≥2），
又，∴a1＝1，
∴数列{an}是以首项为1，公差为2的等差数列，
∴an＝2n﹣1；
（2）∵bn＝3n﹣1，又由（1）知an＝2n﹣1，
∴，
∴Tn，
∴，
∴

＝2，
∴．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，BC＝CD，E，F分别是边BD，CD上的点，将△ABC沿BC翻折，将△DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC⊥平面BCFE（如图2）
（1）求证：CF⊥PB；
（2）求二面角P﹣EF﹣B的余弦值.
【解答】（1）证明：∵平面PBC⊥平面BCFE，平面PBC∩平面BCFE＝BC，
又FC⊂平面BCFE，且FC⊥BC，∴FC⊥平面PBC，
∴FC⊥PB；
（2）解：取BC中点O，连接PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
∵平面PBC∩平面BCFE＝BC，平面PBC⊥平面BCFE，PO⊂平面PBC，
PO⊥平面BCFE，
以C为原点，CB，CF所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝2，则P（1，0，1），C（0，0，0），D（0，2，0），
设F（0，t，0）（0＜t＜2），
由FP＝FD，得|t﹣2|，解得t，∴F（0，，0），
设E（m，2﹣m，0），由EP＝ED，得，
解得m＝1，∴E（1，1，0），
平面BEF的一个法向量为（0，0，1），
设平面PEF的一个法向量为（x，y，z），
则，令y＝2，则x＝﹣1，z＝2，
∴平面PEF的一个法向量为（﹣1，2，2），
设二面角P﹣EF﹣B的平面角为θ，易知θ为锐角，
则csθ＝|cs，|，
∴二面角P﹣EF﹣B的余弦值．
23．（12分）已知双曲线M：x21，在双曲线M的右支上存在不同于点A（2，3）的两点P，Q．记直线AP，AQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k，且k1，k，k2成等差数列．
（1）求k的取值范围；
（2）若△OPQ的面积为（O为坐标原点），求直线PQ的方程．
【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ：y＝kx+m，由，
消去y得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
因为点P，Q在双曲线的右支上，所以Δ＝4k2m2+4（m2+3）（3﹣k2）＞0⇒m2﹣k2+3＞0（*），
，得k2﹣3＞0，又k1，k，k2成等差数列，
所以

，
∴2k+m﹣3＝0或，即x1+x2＝4，
∵P，Q不同于点A，∴2k+m﹣3≠0，
∴，∴，
由（*）得，，∴k4﹣7k2+12＞0，
即（k2﹣3）（k2﹣4）＞0，∴k2＞4，
∴k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；
（2），点O到直线PQ的距离，
，
，两边平方得
，
∴，∴，
∴5k4﹣42k2+72＝0，∴（舍去）或k2＝6，
或，
则直线PQ方程为．