2020-2021学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线y＝x﹣的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
2．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点的距离是（ ）
A．6B．4C．D．2
3．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝3x+y的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．[0，3]C．[2，+∞）D．[3，+∞）
4．（5分）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A．B．4πC．D．2π
5．（5分）“m＝1”是“直线x+（m+1）y+3＝0与直线mx+2y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．（5分）已知过点P（1，3）的直线l被圆（x﹣2）2+y2＝4截得的弦长为，则直线l的方程是（ ）
A．4x+3y﹣13＝0B．3x+4y﹣15＝0
C．3x+4y﹣15＝0或x＝1D．4x+3y﹣13＝0或x＝1
7．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β B．若m⊂α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β D．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
8．（5分）如图，正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直，则二面角B﹣CD﹣A的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）已知直线l1：x+my+1＝0与直线l2：mx﹣y﹣3m+2＝0分别过定点A，B，且交于点P，则|PA|•|PB|的最大值是（ ）
A．B．5C．8D．10
10．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PA|＝m|PF|，则m的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．4
11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段B1C的中点，F是棱A1D1上的动点，P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知F1，F2是离心率为的椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2B．2S1＝S2C．3S1＝2S2D．4S1＝3S2
二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分．
13．（6分）双曲线的焦距为 ；渐近线方程为 ．
14．（6分）已知直线l：ax+y﹣2+a＝0，若直线l过点（2，0），则a＝ ；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝ ．
15．（6分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 cm3，最长的棱长是 cm．
16．（4分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1，E，F分别是BC，B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值是 ．
17．（4分）四棱锥S﹣ABCD的底面是平行四边形，，若，则x+y+z＝ ．
18．（4分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆C：＝1的焦点，若椭圆C上存在点P，使＝2c2，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
19．（4分）如图，在△ABC中，，AC＝4，，过AC中点M的动直线l与线段AB交于点N，将△AMN沿直线l向上翻折至△A'MN，使点A'在平面BCMN内的射影H落在线段BC上，则直线l运动时，点A'的轨迹长度是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB＝5，AC＝3，BC＝CC1＝4，M是CC1的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上的点，且CN∥平面AB1M，求BN的长．
21．（14分）设圆C的半径为r，圆心C是直线y＝2x﹣4与直线y＝x﹣1的交点．
（Ⅰ）若圆C过原点O，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，3），若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求r的取值范围．
22．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝PB＝2，，PA⊥AC，E，F分别是PC，AC的中点，M是PB上一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求直线AM与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
23．（14分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F（1，0），且点M（x0，y0）（y0＞1）是抛物线C上的动点，过M作圆Q：（x﹣a）2+y2＝1的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当直线MQ垂直于直线AB时，求实数a的取值范围．
2020-2021学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线y＝x﹣的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【解答】解：∵直线y＝x﹣的斜率为1，∴直线y＝x﹣的倾斜角为45°，故选：A．
2．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点的距离是（ ）
A．6B．4C．D．2
【解答】解：在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），
则A，B两点的距离是：|AB|＝＝．故选：C．
3．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝3x+y的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．[0，3]C．[2，+∞）D．[3，+∞）
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
O（0，0），由2x+y＝2，取y＝0，得x＝1，则A（1，0），
化目标函数z＝3x+y，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；
当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
∴z＝3x+y的取值范围是[0，3]．故选：B．
4．（5分）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A．B．4πC．D．2π
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
由题意可知，经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，所以r＝h，
所以截面的面积为，所以r＝h＝，故l＝，
所以圆锥的侧面积是S＝πrl＝．故选：C．
5．（5分）“m＝1”是“直线x+（m+1）y+3＝0与直线mx+2y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：因为“直线x+（m+1）y+3＝0与直线mx+2y+4＝0平行”，
所以1×2﹣（m+1）m＝0且1×4≠3m，解得m＝1或m＝﹣2，
所以“m＝1”是“直线x+（m+1）y+3＝0与直线mx+2y+4＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．
6．（5分）已知过点P（1，3）的直线l被圆（x﹣2）2+y2＝4截得的弦长为，则直线l的方程是（ ）
A．4x+3y﹣13＝0B．3x+4y﹣15＝0
C．3x+4y﹣15＝0或x＝1D．4x+3y﹣13＝0或x＝1
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心坐标为（2，0），半径为2，
由直线l被圆（x﹣2）2+y2＝4截得的弦长为，得弦心距为，
过点P（1，3）的直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3＝0．
由，解得k＝﹣．则切线方程为4x+3y﹣13＝0．
综上，所求直线l的方程为4x+3y﹣13＝0或x＝1．故选：D．
7．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B．若m⊂α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
D．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
【解答】解：对于A：若m⊥n，m⊥α，n⊥β，直线m和直线n相当于平面α和β的法向量，则α⊥β，故A正确；
对于B：若m⊂α，α∥β，根据面面平行的性质，则m∥β，故B正确；
对于C：若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β也可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D：若α∩β＝l，m∥α，m∥β，根据线面平行的性质，则m∥l，故D正确．故选：C．
8．（5分）如图，正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直，则二面角B﹣CD﹣A的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：取CA中点O，连接BO，DO，设CA＝2，
∵正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直，
∴CO＝DO＝＝，BO⊥CA，DO⊥CA，
∴∠BOD是二面角B﹣CA﹣D的平面角，∴∠BOD＝90°，
∴BD＝＝，
过O作OE⊥CD，交CD于E，连接BE，由三垂线定理得BE⊥CD，
则∠BEO是二面角B﹣CD﹣A的平面角，
∵OE＝＝＝，BO＝，∴BE＝＝，
∴cs∠BEO＝＝＝．∴二面角B﹣CD﹣A的余弦值是．故选：D．
9．（5分）已知直线l1：x+my+1＝0与直线l2：mx﹣y﹣3m+2＝0分别过定点A，B，且交于点P，则|PA|•|PB|的最大值是（ ）
A．B．5C．8D．10
【解答】解：直线l1：x+my+1＝0过定点A（﹣1，0），直线l2：mx﹣y﹣3m+2＝0过定点B（3，2），
联立，消去m得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，
又A（﹣1，0），B（3，2）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5上，且AB为圆的直径，
故|PA|2+|PB|2＝20≥2|PA||PB|，所以|PA||PB|≤10，
当且仅当PA＝PB＝时取等号，|PA|•|PB|的最大值10．故选：D．
10．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PA|＝m|PF|，则m的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．4
【解答】解：由抛物线的方程可得：F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，所以A（0，﹣1），
过点P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，
所以由|PA|＝m|PF|可得：|PA|＝m|PN|，设直线PA的倾斜角为α，
则sin，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为：y＝kx﹣1，代入抛物线方程可得：
x2﹣4kx+4＝0，则Δ＝16k2﹣16＝0，解得k＝±1，所以直线PA的倾斜角为45或135°，
所以m的最大值为，故选：B．
11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段B1C的中点，F是棱A1D1上的动点，P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在C1D1上取一点F1使得D1F1＝D1F，根据对称性可得PF1＝PF，
连接BC1，则BC1∩B1C＝E，点P、E、F1在平面BC1D1中，
且BC1⊥C1D1，C1D1＝1，BC1＝，
如图1所示；
在Rt△BC1D1所在平面中，以C1D1为x轴，C1B为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D1（1，0），B（0，），E（0，）；
设点E关于直线BD1的对称点为E′，
∵BD1的方程为x+＝1①，
∴kEE′＝＝，
∴直线EE′的方程为y＝x+②，
由①②组成方程组，解得x＝，y＝，
直线EE′与BD1的交点M（，）；
所以对称点E′（，），
∴PE+PF＝PE+PF1＝PE′+PF1≥E′F1＝，
当且仅当E'，P，F1三点共线时取得等号．
故选：C．
12．（5分）已知F1，F2是离心率为的椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2B．2S1＝S2C．3S1＝2S2D．4S1＝3S2
【解答】解：∵离心率为，
∴＝，则a＝3c，b＝＝＝2c，
设M的坐标为（x0，y0），三角形△MF1F2的面积为S，则S＝×y0＝cy0，
∵G是△MF1F2的重心，∴GO＝OM，即S2＝S，
设内切圆的半径为r，则S+＝，
则×2cr+（MF1+MF1）r＝×2cr+×2ar＝×2cy0，
即（c+a）r＝cy0，即4cr＝cy0，则r＝，则S1＝×2cr＝cr＝c＝S，
即则＝＝，即4S1＝3S2，故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分．
13．（6分）双曲线的焦距为 ；渐近线方程为 y＝ ．
【解答】解：由题知，a2＝4，b2＝1，故c2＝a2+b2＝5，∴双曲线的焦距为：，
渐近线方程为：．故答案为：；．
14．（6分）已知直线l：ax+y﹣2+a＝0，若直线l过点（2，0），则a＝ ；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝ 1或2 ．
【解答】解：因为直线l：ax+y﹣2+a＝0过点（2，0），所以2a+0﹣2+a＝0，解得；
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，
①当直线l经过坐标原点，则截距都为0，此时﹣2+a＝0，解得a＝2；
②当直线l不经过坐标原点，方程可化为，所以，解得a＝1，
综上可得，a＝1或2．故答案为：；1或2．
15．（6分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 20 cm3，最长的棱长是 5 cm．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为四棱锥体；
如图所示：
所以V＝，最长的棱长为AE＝．故答案为：20；5．
16．（4分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1，E，F分别是BC，B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值是 ．
【解答】解：因为侧棱垂直于底面A1B1C1，AB⊥BC，
以B为坐标原点，BC，BA，BB1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
不妨设AB＝BC＝CC1＝2，又，E，F分别是BC，B1C1的中点，
则A（0，2，0），F（1，0，2），C1（2，0，2），E（1，0，0），
所以，
则，
故异面直线AF与C1E所成角的余弦值是．故答案为：．
17．（4分）四棱锥S﹣ABCD的底面是平行四边形，，若，则x+y+z＝ ．
【解答】解：因为，所以，
四棱锥S﹣ABCD的底面是平行四边形，则，
所以
＝，
又，
所以，
故x+y+z＝．
故答案为：．
18．（4分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆C：＝1的焦点，若椭圆C上存在点P，使＝2c2，则椭圆C的离心率的取值范围是 [] ．
【解答】解：设P（m，n），则，
＝m2+n2﹣c2＝m，
整理可得：m，因为0≤m2≤a2，所以3c2≤a2，
由e＝，所以，故答案为：[]．
19．（4分）如图，在△ABC中，，AC＝4，，过AC中点M的动直线l与线段AB交于点N，将△AMN沿直线l向上翻折至△A'MN，使点A'在平面BCMN内的射影H落在线段BC上，则直线l运动时，点A'的轨迹长度是 ．
【解答】解：在平面ABC中，建立如图所示的空间直角坐标系，
过A作BM的垂线，垂足为E且交x轴于G，连接MG．
在△ABC中，由余弦定理可得，
而∠ACB为三角形内角，故，
∵AC＝4，故，而，∴，
故直线BM：x﹣2y＝0且直线．
∴，又，
∴，∴
又，而|MC|＝2，，
由余弦定理可得，即，
∴|GM|2+|GC|2＝|MC|2，∴MG⊥GC．
在空间中，当直线l运动时，MA＝MA'＝2，
∴A'在以M为球心，2为半径的球面上，
又A'在过BC且与平面BCMN垂直的平面α上，
故A'在平面α与球面M（半径为2）的截线（圆）上．
∵N在线段AB上变化，故A'的轨迹为一段圆弧．
如图，在平面A′MN内过A'作A'T⊥MN，且垂足为T，连接HT，
∵A'H⊥平面BCMN，MN⊂平面BCMN，故A'H⊥MN，
而A'T∩A'H＝A'，故MN⊥平面A'TH，而TH⊂平面A'TH，
故AT⊥MN且A，T，H三点共线．
当N与B重合时点A'为A1，则T即为平面直角坐标系中的点E，H即为点G，
且，故，
当N与AB的中点S重合时，MN为△ABC的中位线，
故A关于直线MN的对称点A2在BC上，
设点A'在平面BCMN内的射影H就是A2．
下面计算的长度．
由平面直角坐标系中的讨论可知MG⊥BC，
而A1G⊥平面BCMN，MG⊂平面BCMN，∴A1G⊥MG，
∵BC∩A1G＝G，∴MG⊥平面A1A2G，
∴G为所在的圆的圆心，故的长度为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB＝5，AC＝3，BC＝CC1＝4，M是CC1的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上的点，且CN∥平面AB1M，求BN的长．
【解答】（Ⅰ）证明：
∵CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，
在△ACB中，∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴AC2+BC2＝AB2，得BC⊥AC，
又AC∩CC1＝C，AC、CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，
而AM⊂平面AA1C1C，
∴BC⊥AM；
（Ⅱ）解：设过CN的平面交平面AB1M＝DM，
∵CN∥平面AB1M，∴CN∥MD，
∵BB1∥CM，CM⊂平面CMDN，BB1⊄平面CMDN，∴BB1∥平面CMDN，
而BB1⊂平面BB1DN，平面BB1DN∩平面CMDN＝DN，∴BB1∥DN，
则CM∥DN，可得四边形CMDN为平行四边形，则DN＝CM，
∴N为AB的中点，即BN＝AB＝．
21．（14分）设圆C的半径为r，圆心C是直线y＝2x﹣4与直线y＝x﹣1的交点．
（Ⅰ）若圆C过原点O，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，3），若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求r的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆心C是直线y＝2x﹣4与直线y＝x﹣1的交点，
则，解可得，即圆心的坐标为（3，2），
若圆C经过原点，则其半径r＝|CO|＝＝，
故圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13，
（Ⅱ）设点M（x，y），A（0，3），
由|MA|＝2|MO|，即x2+（y﹣3）2＝4x2+4y2，
化简得：x2+（y+1）2＝4，则点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又点M在圆C上，则圆C与圆D的关系为相交或相切，
又由|CD|＝＝3，
则有|r﹣2|≤3≤r+2，解可得：3﹣2≤r≤3+2，
即r的取值范围为[3﹣2，3+2]．
22．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝PB＝2，，PA⊥AC，E，F分别是PC，AC的中点，M是PB上一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求直线AM与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，AC的中点，
所以EF∥AP，又PA⊥AC，
所以EF⊥AC，
又AB＝BC＝CA，且F为AC的中点，
所以BF⊥AC，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
所以AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）过点A作AH⊥PC于H，因为AC⊥平面BEF，BE⊂平面BEF，
所以AC⊥BE，
又PB＝BC，E为PC的中点，则BE⊥PC，
因为AC∩PC＝C，所以BE⊥平面PAC，
又AH⊂平面PAC，则BE⊥AH，
又AH⊥PC，PC∩BE＝E，
所以AH⊥平面PBC，
故AM在平面PBC的射影是HM，
所以∠AMH即为AM与平面PBC所成的角，
在△PAC中，，
在△PAB中，，
则＝，
故直线AM与平面PBC所成角的正弦值的最大值为．
23．（14分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F（1，0），且点M（x0，y0）（y0＞1）是抛物线C上的动点，过M作圆Q：（x﹣a）2+y2＝1的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当直线MQ垂直于直线AB时，求实数a的取值范围．
【解答】（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px的焦点为F（1，0），∴，则p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意知，MA，MB不与y轴垂直，
设MA：x﹣x0＝m1（y﹣y0），MB：x﹣x0＝m2（y﹣y0），
由，得y2﹣4m1y+4y0﹣4x0＝0，
则y1+y0＝4m1，得y1＝4m1﹣y0，同理可得y2＝4m2﹣y0，
∴＝，
由直线MA与圆相切，可得，
得，
则，
又，MQ⊥AB，
∴，
∴，即，
将代入，化简有：，
即，∵y0＞1，
∴＞，即＞0，得a＞．
∴实数a的取值范围是（，+∞）．
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日期：2022/1/5 13:11:59；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983