2020-2021学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则M∩N＝（　　）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}
2．（4分）抛物线x2＝2y的焦点坐标是（　　）
A．（，0） B．（0，） C．（1，0） D．（0，1）
3．（4分）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）设角θ的终边经过点P（，），那么2sinθ+cosθ等于（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
5．（4分）若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（4分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（　　）

A． B．
C． D．
7．（4分）函数f（x），则不等式f（x）＞2的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）
C．（5，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
8．（4分）点P，Q分别在圆和椭圆上，则P，Q两点间的最大距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，BB1＝2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）已知等差数列{an}满足：|a1|+|a2|+⋯+|an|＝|a1|+|a2|+⋯+|an|＝|a1|+|a2|+⋯+|an|＝72，则n的最大值为（　　）
A．18 B．16 C．12 D．8
二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分，把正确答案填在答题卷中的横线上）
11．（6分）已知直线l1：3x+4y﹣8＝0和l2：3x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则实数a＝　 　，两直线l1与l2之间的距离为 　 　．
12．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b＝7，B＝120°，则c＝　 　；△ABC的面积为 　 　．
13．（6分）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 　 　，体积为 　 　．

14．（6分）已知正实数a，b满足：a+b＝1，则ab的最大值为 　 　；的值域为 　 　．
15．（4分）斜率为的直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，则双曲线的离心率为 　 　．
16．（4分）平面向量，满足，，向量，的夹角为θ，则cos2θ的最小值为 　 　．
17．（4分）已知a，b∈R，若对于任意的x∈[﹣1，1]，不等式|x2+3|x﹣a|+b|≤3恒成立，则a2+b2的取值范围为 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（14分）已知函数，若f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求ω的值，并写出f（x）在（0，π）上的一条对称轴方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，a＝3，求b+c的最大值．
19．（15分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，四边形CDEF为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：ED⊥BC；
（Ⅱ）若BC＝2AD＝2，AB＝CF，求直线BF与平面ABE所成角的正弦值．

20．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，2an﹣Sn＝1（n∈N°），{bn}是等差数列，b1＝1，公差d≠0，且b2，b5，b14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{cn}的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，恒成立，求实数m的取值范围．
21．（15分）已知椭圆C：的右焦点为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，1）的直线l交椭圆C于A、B两点，直线l'：x﹣2y＝0与椭圆C在第一象限的交点为Q，若2S△AQB＝tan∠AQB，求直线l的方程．

22．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+b（a，b∈R*）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，3]上不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝3，b＝1时，求函数的值域；
（Ⅲ）设a＞c＞0，若关于x的方程|f（x）|＝cx恰有三个不等实根，且函数g（x）＝|f（x）|+cx的最小值为，求的值．

2020-2021学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则M∩N＝（　　）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}
【解答】解：M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}．
故选：B．
2．（4分）抛物线x2＝2y的焦点坐标是（　　）
A．（，0） B．（0，） C．（1，0） D．（0，1）
【解答】解：根据抛物线的性质可得，x2＝2y的焦点坐标（0，）
故选：B．
3．（4分）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①因为直线l⊂α，且l⊥β，
根据面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
所以由判断定理得α⊥β．∴充分性成立，
②若α⊥β，直线l⊂α，则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交不垂直，∴必要性不成立，
所以l⊥β是α⊥β的充分不必要条件．
故选：A．
4．（4分）设角θ的终边经过点P（，），那么2sinθ+cosθ等于（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【解答】解：利用任意角三角函数的定义，sinθ，cosθ，
∴2sinθ+cosθ＝2×（）1．
故选：D．
5．（4分）若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（2，1），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为5．
故选：C．
6．（4分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），f（x）为偶函数，
在区间（0，）上，sinx＞0，2﹣x﹣2x＜0，则f（x）＜0，不符合题意；
对于B，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，不符合题意；
对于C，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，不符合题意；
对于D，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），f（x）为偶函数，
在区间（0，）上，cosx＞0，则f（x）＞0，符合题意；
故选：D．
7．（4分）函数f（x），则不等式f（x）＞2的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）
C．（5，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
【解答】解：因为函数f（x），
当x≤2时，f（x）＝x2﹣4x﹣3＞2，即x2﹣4x﹣5＞0，解得x＜﹣1或x＞5，故x＜﹣1；
当x＞2时，f（x）＝log2（x﹣1）＞2，即log2（x﹣1）＞log24，解得x＞5，故x＞5．
综上所述，不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．
故选：B．
8．（4分）点P，Q分别在圆和椭圆上，则P，Q两点间的最大距离是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由圆，得圆心坐标为C（0，），半径为．
设Q（x，y）是椭圆上的点，
∴|QC|，
∵﹣1≤y≤1，
∴y时，Q与圆心C的距离的最大值为2．
∴P，Q两点间的距离的最大值23．
故选：C．

9．（4分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，BB1＝2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设点P（x，1，z），B（1，1，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），
所以，
因为，
则，
故点P在平面BB1C1C上的轨迹为由点C到BB1的四等分点（靠近B点）的一条线段，
点P在点C到BB1的四等分点（靠近B点）移动的过程中，二面角P﹣AD﹣B逐渐增大，
所以当点P与点C重合时，二面角P﹣AD﹣B最小，此时正切值为0，
当点P在BB1的四等分点（靠近B点）时，二面角P﹣AD﹣B最大，
因为AD⊥平面ABB1A1，又AP⊂平面ABB1A1，
所以AD⊥AP，又AD⊥AB，
所以∠PAB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，
则tan∠PAB．
综上可得，二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是．
故选：B．

10．（4分）已知等差数列{an}满足：|a1|+|a2|+⋯+|an|＝|a1|+|a2|+⋯+|an|＝|a1|+|a2|+⋯+|an|＝72，则n的最大值为（　　）
A．18 B．16 C．12 D．8
【解答】解：由题意可得：此等差数列{an}不为常数列，且项数为偶数2k（k∈N*），一定存在k使得ak＞0，ak+1＜0，或ak＜0，ak+1＞0．
不妨设a1＜0，d＞0，即ak＜0，ak+1＞0．且ak0，ak0，得ak．
又ak+10，∴d≥2．
∵ak+1﹣a1＝……＝a2k﹣ak＝kd，
∴72＝|a1|+|a2|+⋯+|an|＝﹣a1﹣a2﹣……﹣ak+ak+1+……+a2k＝k2d，
∴k236，
∴k≤6，
∴n的最大值为12．
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分，把正确答案填在答题卷中的横线上）
11．（6分）已知直线l1：3x+4y﹣8＝0和l2：3x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则实数a＝　﹣4　，两直线l1与l2之间的距离为 　2　．
【解答】解：∵直线l1：3x+4y﹣8＝0和l2：3x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，
∴，求得a＝﹣4．
两直线l1与l2之间的距离为 2，
故答案为：﹣4；2．
12．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b＝7，B＝120°，则c＝　5　；△ABC的面积为 　　．
【解答】解：由余弦定理知：b2＝a2+c2﹣2accosB，即72＝32+c2﹣2×3c•cos120°＝9+c2+3c，即（c﹣5）（c+8）＝0，
故c＝5或c＝﹣8（舍去）．
所以S△ABCacsin120°3×5．
故答案是：5；．
13．（6分）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 　　，体积为 　2　．

【解答】解：根据三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面腰长为，的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱；
如图所示：

所以；
．
故答案为：6+4；2．
14．（6分）已知正实数a，b满足：a+b＝1，则ab的最大值为 　　；的值域为 　（2，+∞）　．
【解答】解：∵正实数a，b满足：a+b＝1，∴1＝a+b≥2，
∴ab，当且仅当“a＝b”时，“＝”成立，
∴ab的最大值为；
∵正实数a，b满足：a+b＝1，∴a+1+b＝2，
∴2，
当且仅当a+1＝b＝1，即时，“＝”成立，但a＝0，b＝1不能取到．
∴2．
故答案为：；（2，+∞）．
15．（4分）斜率为的直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，则双曲线的离心率为 　3　．
【解答】解：∵线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，
∴|BF2|＝|F1F2|＝2c，其中c为双曲线的半焦距，
由双曲线的定义知，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
∴|BF1|＝2a+2c＝2（a+c），
设直线l的倾斜角为θ，则tanθ，
∴cosθ，
∴cosθ，
∴c＝3a，即离心率e3．

故答案为：3．
16．（4分）平面向量，满足，，向量，的夹角为θ，则cos2θ的最小值为 　　．
【解答】解：由，，
得，
整理得，
由Δ＝64cos2θ+64×（4cos2θ﹣1）≥0，
解得cos2θ．
∴cos2θ的最小值为．
故答案为：．
17．（4分）已知a，b∈R，若对于任意的x∈[﹣1，1]，不等式|x2+3|x﹣a|+b|≤3恒成立，则a2+b2的取值范围为 　[1，+∞）　．
【解答】解：依题意，对任意的x∈[﹣1，1]，不等式恒成立，
即当x∈[﹣1，1]时，函数y＝|x﹣a|与函数的纵向距离恒小于等于1，
而函数y＝|x﹣a|是开口向上且对称轴为x＝a的一个V型函数，函数是开口向下且对称轴为x＝0的二次函数，
则只需，即，
作出上述约束条件的可行域如右图阴影部分所示，由图可知，当（a，b）取（0，﹣1）时，a2+b2的值最小，
且最小为1，则a2+b2的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（14分）已知函数，若f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求ω的值，并写出f（x）在（0，π）上的一条对称轴方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，a＝3，求b+c的最大值．
【解答】解：．
（1）若f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为．
∴，∴ω＝2，
则对，
由，k∈Z，得对称轴为，k∈Z，
∵x∈（0，π），∴（任选一个）．
（2）∵，∴，k∈Z，
得A＝kπ，k∈Z，
∵0＜A＜π，∴k＝0时，．
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣9＝bc，、
∵，
∴b+c≤6，∴b+c的最大值为6．
19．（15分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，四边形CDEF为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：ED⊥BC；
（Ⅱ）若BC＝2AD＝2，AB＝CF，求直线BF与平面ABE所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，
又∵矩形CDEF，∴ED⊥CD，∴ED⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．
（2）解：取BC中点H，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D﹣AHE．
A（1，0，0），，，，
，，，
设平面ABE的法向量为，
则，令z＝1，则，
∴，
即直线BF与平面ABE所成角的正弦值为．

20．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，2an﹣Sn＝1（n∈N°），{bn}是等差数列，b1＝1，公差d≠0，且b2，b5，b14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{cn}的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）n＝1时a1＝1，n≥2时，∴．
由，
∵d≠0，∴d＝2，所以bn＝2n﹣1，∴，bn＝2n﹣1．
（Ⅱ），，
，
令，，
∴f（1）＞f（2）＜f（3）＜f（4）＜⋯，
∴，∴实数m的取值范围为．
21．（15分）已知椭圆C：的右焦点为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，1）的直线l交椭圆C于A、B两点，直线l'：x﹣2y＝0与椭圆C在第一象限的交点为Q，若2S△AQB＝tan∠AQB，求直线l的方程．

【解答】解：（1）由题意，，
得到，，所以椭圆方程为．
（2）由，直线l'：x﹣2y＝0与椭圆C在第一象限的交点为Q，
由2S△AQB＝tan∠AQB得|QA|⋅|QB|⋅sin∠AQB＝tan∠AQB，
即|QA|⋅|QB|⋅cos∠AQB＝1，可得，
①当l垂直x轴时，，不成立．
②当l不垂直x轴时，设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+1，
联立，消去y得：（1+2k2）x2+4kx﹣4＝0，
则，，
代入可得：（x1﹣2，y1﹣1）⋅（x2﹣2，y2﹣1）＝1，
代入y1＝kx1+1和y2＝kx2+1得：，
化简得解得，
经检验满足题意，综上所述，直线l的方程为．
22．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+b（a，b∈R*）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，3]上不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝3，b＝1时，求函数的值域；
（Ⅲ）设a＞c＞0，若关于x的方程|f（x）|＝cx恰有三个不等实根，且函数g（x）＝|f（x）|+cx的最小值为，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的对称轴为，
∵函数f（x）在区间[2，3]上不单调，
∴，
∴4＜a＜6．
（Ⅱ）当a＝3，b＝1时，f（x）＝x2﹣3x+1，g（x）的定义域为，
当时，，
∵在上单调递增，且h（x）＜0，
∴，
∴；
当时，g（x）在上单调递增，
∴；
∴g（x）的值域为．
（Ⅲ）由题意，y＝x2﹣ax+b有两个正的零点m，n（m＜n），且y＝﹣x2+ax﹣b与直线y＝cx相切，即x2+（c﹣a）x+b＝0中Δ＝0，故，
g（x）＝|x2﹣ax+b|+cx可以看成是t（x）＝|x2﹣ax+b|与h（x）＝﹣cx图象的纵向距离，
由h（x）＝﹣cx与y＝x2﹣ax+b相切可知，当x＝m时，纵向距离最小，即g（x）最小，
即，而由m2﹣am+b＝0，可知，
∵m，n（m＜n）是方程的两根，
∴由根与系数的关系可得m+n＝a，，即，，
∴，即，则，
又a＞c，故．
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