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2021-2022学年浙江省杭州市八县市区高二（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市八县市区高二（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，十七世纪之交，随着天文，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市八县市区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）设集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣2，2，3}
2．（3分）已知复数（i为虚数单位），则|z|为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（3分）已知平面α、β、γ满足：γ∩α＝a，γ∩β＝b，则“a∥b”是“α∥β”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（3分）已知tanα＝，α为第三象限角，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）正实数a，b满足ab＝1，则a+4b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
6．（3分）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）袋子中有9个材质与大小都相同的小球，其中6个白球，3个红球，每次从袋子中随机摸出1个球且不放回，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）某学校高一、高二、高三3个年级共有1080名学生，其中高一年级学生540名，高二年级学生360名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为（ ）
A．54 B．48 C．32 D．16
9．（3分）正六边形ABCDEF中，＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logαN（a＞0且a≠1），已知m＝log63，6n＝12，则m+n＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑．如图，在鳖臑S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且SC＝AB，则异面直线BC与SA所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．（3分）过点（7，﹣2）且与直线2x﹣3y+6＝0相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．（x﹣5）2+（y+1）2＝5 B．（x﹣5）2+（y﹣1）2＝13
C．（x﹣4）2+（y+4）2＝13 D．（x﹣1）2+（y+6）2＝52
13．（3分）平面向量，满足|＝1，||＝1，记〈，〉＝θ，则sinθ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，t∈[0，+∞），φ∈（﹣π，π）．已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
15．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B．π C． D．
16．（3分）已知函数，则不等式f（2x+1）+f（x）＞﹣2的解集为（ ）
A．（，+∞） B．（，100） C．（﹣∞，﹣） D．（，100）
二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）17．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．观察成对样本数据的散点图可以直观推断两个变量的相关关系
B．样本相关系数r的取值范围是[﹣1，1]，则|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C．对于经验回归方程，当解释变量x增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
D．H0：2×2分类变量X和Y独立．通过列联表计算得到χ2的值，则数值越大越能推断分类变量X和Y有关联
（多选）18．（4分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内．现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.03
B．样本数据低于120分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
（多选）19．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（ ）
A．三角形EAB面积的最小值为
B．当点E为边CD中点时，
C．
D．的最小值为
（多选）20．（4分）已知函数，g（x）＝f（x）﹣ax﹣b，则（ ）
A．∃a，b∈R，函数g（x）没有零点
B．∃a，b∈R，函数g（x）恰有三个零点
C．∀b∈R，∃a＞0，函数g（x）恰有一个零点
D．∀a＞0，∃b∈R，函数g（x）恰有两个零点
三、填空题：本题共6小题，每空3分，共30分．
21．（6分）已知函数f（x）＝，则f（1）＝ ；f（x）的定义域是 ．
22．（6分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上得2分，反面朝上得﹣1分，用X表示抛掷6次后得到的总分，则P（X＝12）＝ ；E（X）＝ ．
23．（3分）在（1﹣x）4+（1﹣x）5+（1﹣x）6的展开式中，含x3项的系数是 ．
24．（6分）已知函数，a∈R，．则a＝ ；f（x）最小值为 ．
25．（6分）△ABC中，A＝，cosB＝，AB＝2，sinC＝ ；AC＝ ．
26．（3分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，且当弹子N移动到B处时试验中止．则活动弹子M，N间的最短距离是 ．
四、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
27．（10分）设函数f（x）＝x，x∈R．
（1）求的值；
（2）从下述问题①、问题②、问题③中选择一个进行解答．
问题①：当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
问题②：求f（x）的单调递增区间．
问题③：若f（α）＝1，且α∈（0，π），试求α的值．
28．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，BC⊥AC，BC＝2，AB＝4．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）记二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，求cosθ的值．
29．（12分）已知f（x）＝x+，g（x）＝|x﹣2|+a，a∈R．
（1）证明：（e为自然对数的底数）；
（2）若方程f（x）＝g（x）有解，求a的范围．
30．（12分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以填埋方式处理，14万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的十年预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加2万吨．
（1）请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量cn的表达式；
（2）求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和Sn；
（3）预计今年起10年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
（参考数据：1.057≈1.41，1.0510≈1.63，ln1.05≈0.0488）
31．（12分）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点．
（1）写出椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝kx+m与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴、y轴于A（x，0），B（0，y）两点，当点M运动时，求点P（x，y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
2021-2022学年浙江省杭州市八县市区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）设集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣2，2，3}
【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴M∩N＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
2．（3分）已知复数（i为虚数单位），则|z|为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵＝，
∴．
故选：C．
3．（3分）已知平面α、β、γ满足：γ∩α＝a，γ∩β＝b，则“a∥b”是“α∥β”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①由a∥b，不能推出α∥β，
理由如下：如图三棱柱，
面ADEC＝α，面ADFB＝γ，面CEFB＝β，
γ∩α＝a＝AD，γ∩β＝b＝BF，
满足a∥b，但α与β相交，∴充分性不成立，
②当α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b时，由面面平行的性质可得a∥b，∴必要性成立，
∴a∥b是α∥β的必要不充分条件，
故选：B．
4．（3分）已知tanα＝，α为第三象限角，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵tanα＝，∴，
∵α为第三象限角，∴，
故选：D．
5．（3分）正实数a，b满足ab＝1，则a+4b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【解答】解：∵正实数a，b满足ab＝1，
∴，即a+4b≥4，当且仅当a＝4b，即a＝2，b＝时，等号成立．
故选：B．
6．（3分）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料，
则从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为．
故选：A．
7．（3分）袋子中有9个材质与大小都相同的小球，其中6个白球，3个红球，每次从袋子中随机摸出1个球且不放回，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，第一次摸到白球的概率为，第二次摸到白球的概率为，
则两次都摸到白球的概率是＝．
故选：C．
8．（3分）某学校高一、高二、高三3个年级共有1080名学生，其中高一年级学生540名，高二年级学生360名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为（ ）
A．54 B．48 C．32 D．16
【解答】解：由题意可知，抽取的样本容量为，则样本中高三学生有 人．
故选：D．
9．（3分）正六边形ABCDEF中，＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由题意得：，可以得到．
故选：A．
10．（3分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logαN（a＞0且a≠1），已知m＝log63，6n＝12，则m+n＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵6n＝12，∴n＝log612，
∵m＝log63，
∴m+n＝log612+log63＝log636＝2，
故选：B．
11．（3分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑．如图，在鳖臑S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且SC＝AB，则异面直线BC与SA所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：作正方形ABCD，连接SD，
则异面直线BC与SA所成角的平面角为∠SAD（或其补角），
如图所示：
由已知有SC⊥平面ABC，所以SC⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩SC＝C，则BC⊥面SCD，
因为AD∥BC，所以AD⊥面SCD，所以AD⊥SD，
设AB＝1，则，
，则，
所以∠SAD＝60°，
即异面直线BC与SA所成角的平面角为60°．
故选：C．
12．（3分）过点（7，﹣2）且与直线2x﹣3y+6＝0相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．（x﹣5）2+（y+1）2＝5 B．（x﹣5）2+（y﹣1）2＝13
C．（x﹣4）2+（y+4）2＝13 D．（x﹣1）2+（y+6）2＝52
【解答】解：过点A（7，﹣2）作直线2x﹣3y+6＝0的垂线，垂足为B，
则以AB为直径的圆为直线2x﹣3y+6＝0相切的半径最小的圆，
其中，设B（a，b），
则，解得：，
故AB的中点，即圆心为，即（5，1），
故该圆为（x﹣5）2+（y﹣1）2＝13．
故选：B．
13．（3分）平面向量，满足|＝1，||＝1，记〈，〉＝θ，则sinθ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
，即，
所以，
当且仅当等号成立，因为，
所以，
sinθ的最大值为，
故选：A．
14．（3分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，t∈[0，+∞），φ∈（﹣π，π）．已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【解答】解：因为当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，
故+φ＝π+2kπ，（k∈Z），即φ＝，
又φ∈（﹣π，π），故φ＝，故，
故当t＝0时，，
故选：D．
15．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B．π C． D．
【解答】解：取AB中点P，连接PC，C1N，如图，
因为PC⊥AB，PN⊥AB，
且PN∩PC＝P，所以AB⊥平面PCC1N，AB⊂平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCC1N，平面ABM∩平面PCC1N＝PM，
过N作NO⊥PM，NO⊂平面PCC1N，所以NO⊥平面ABM，
当点M从点C运动到点C1时，O点是以PN为直径的圆Q（部分），如图，
当M运动到点C1时，O点到最高点，
此时，所以，从而，
所以弧长，即点O的轨迹长度为π．
故选：B．
16．（3分）已知函数，则不等式f（2x+1）+f（x）＞﹣2的解集为（ ）
A．（，+∞） B．（，100） C．（﹣∞，﹣） D．（，100）
【解答】解：由可知，x∈R，
故
＝
＝lg1﹣2＝﹣2，
即f（x）+1+f（﹣x）+1＝0，
令g（x）＝f（x）+1，则g（x）+g（﹣x）＝0，即g（x）＝f（x）+1为奇函数，
因为函数为R上的单调增函数，为R上的单调减函数
故为单调增函数，则g（x）＝f（x）+1也单调递增；
不等式f（2x+1）+f（x）＞﹣2，即f（2x+1）+1+f（x）+1＞0，
即g（2x+1）+g（x）＞0，g（2x+1）＞﹣g（x）＝g（﹣x），
故，即f（2x+1）+f（x）＞﹣2解集为，
故选：A．
二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）17．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．观察成对样本数据的散点图可以直观推断两个变量的相关关系
B．样本相关系数r的取值范围是[﹣1，1]，则|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C．对于经验回归方程，当解释变量x增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
D．H0：2×2分类变量X和Y独立．通过列联表计算得到χ2的值，则数值越大越能推断分类变量X和Y有关联
【解答】解：由散点图可以直观推断两个变量的相关关系，故A正确；
根据样本相关系数的意义可知|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故B正确；
由回归方程可知变量增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，故C不正确；
当独立性检验时，χ2的值越大越能推断分类变量X和Y有关联正确，故D正确．
故选：ABD．
（多选）18．（4分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内．现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.03
B．样本数据低于120分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
【解答】解：由频率分布直方图，（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030，故A正确；
样本数据不低于120分的频率为（0.030+0.025+0.005）×10＝0.6，因此低于120分的频率为0.4，故B错误；
分数低于120分的频率为（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，因此中位数在[120，130）这一组，设中位数为n，则＝，解得n≈123.3，故C正确；
样本分布在[90，100）与[100，110）的频率相等，所以频数相等，但总体分布在[90，100）与[100，110）频数只能大致相等但不一定相等，故D错误．
故选：AC．
（多选）19．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（ ）
A．三角形EAB面积的最小值为
B．当点E为边CD中点时，
C．
D．的最小值为
【解答】解：由题，当E在D点时，SΔEAB取得最小值，，故A项正确；
当E为CD中点时，，
又因为，所以，故项正确；
当E在D点时，由余弦定理计算可得，所以，故C项错误；
因为，而，
所以，又，
所以，故D项错误．
故选：AB．
（多选）20．（4分）已知函数，g（x）＝f（x）﹣ax﹣b，则（ ）
A．∃a，b∈R，函数g（x）没有零点
B．∃a，b∈R，函数g（x）恰有三个零点
C．∀b∈R，∃a＞0，函数g（x）恰有一个零点
D．∀a＞0，∃b∈R，函数g（x）恰有两个零点
【解答】解：如图，作出函数y＝f（x）的图象，g（x）的零点问题可转化为y＝f（x）与y＝ax+b的交点问题，
由图象可知，y＝ax+b与y＝f（x）图象总会有交点，至少有一个交点，故A错误；
由图象可知，y＝ax+b与y＝f（x）图象可以有3个交点，即函数g（x）有三个零点，故B正确；
设h（x）＝ex﹣1，则h′（x）＝ex，h′（0）＝e0＝1，h（0）＝e0﹣1＝0，
设m（x）＝ln（x+1），可得，由，
故当a＝1时，y＝x与函数y＝f（x）相切于点（0，0），结合图象可知当直线y＝ax+b
与y＝x平行或重合时，y＝f（x）与y＝ax+b有一个公共点，即存在a＝1时，对∀b∈R都能使得函数g（x）恰有一个零点，故C
选项正确；
当a＝1时，不存在b∈R使得函数g（x）恰有两个零点，故D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共6小题，每空3分，共30分．
21．（6分）已知函数f（x）＝，则f（1）＝ 3 ；f（x）的定义域是 （﹣1，+∞） ．
【解答】解：（1）∵f（x）＝，
∴，f（x）的定义域为，解得x＞﹣1，
故函数的定义域为（﹣1，+∞）．
故答案为：3；（﹣1，+∞）．
22．（6分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上得2分，反面朝上得﹣1分，用X表示抛掷6次后得到的总分，则P（X＝12）＝ ；E（X）＝ 3 ．
【解答】解：由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，
所以将一枚均匀的硬币重复抛郑6次，设正面朝上的次数为Y，
则Y服从二项分布，且X＝2Y﹣（6﹣Y）＝3Y﹣6，
X＝12表示6次均是正面朝上，所以；
又因为Y～，∴，所以E（X）＝E（3Y﹣6）＝3E（Y）﹣6＝3；
故答案为：．
23．（3分）在（1﹣x）4+（1﹣x）5+（1﹣x）6的展开式中，含x3项的系数是 ﹣34 ．
【解答】解：由题意知：展开式中，含x3项为++
＝﹣（）x3
＝﹣（+﹣1）x3
＝﹣（）x3
＝﹣34x3．
故答案为：﹣34．
24．（6分）已知函数，a∈R，．则a＝ 1 ；f（x）最小值为 1 ．
【解答】解：由题意得：，x＞0，f′（x）＝﹣＝，
故f′（2）＝＝，
∴a＝1；
则f′（x）＝﹣＝，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）min＝f（1）＝1，
故答案为：1；1．
25．（6分）△ABC中，A＝，cosB＝，AB＝2，sinC＝ ；AC＝ ．
【解答】解：∵为三角形内角，∴，
∴，
由正弦定理可得，即
，
故答案为：．
26．（3分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，且当弹子N移动到B处时试验中止．则活动弹子M，N间的最短距离是 ．
【解答】解：过点M做MH垂直AB于H，连接NH，如图所示，
因为面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF＝AB，
MH⊥AB，则MH⊥面ABEF，NH⊂面ABEF，所以MH⊥NH，
由已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，
设AM＝a，则，
因为ABCD，ABEF为正方形，
AB＝1，则，
所以，
所以，
由余弦定理可得|NH|2＝|BH|2+|BN|2﹣2|BH|⋅|BN|cos45°
＝﹣（﹣a）（﹣2a）
＝，
所以，
当时，，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
27．（10分）设函数f（x）＝x，x∈R．
（1）求的值；
（2）从下述问题①、问题②、问题③中选择一个进行解答．
问题①：当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
问题②：求f（x）的单调递增区间．
问题③：若f（α）＝1，且α∈（0，π），试求α的值．
【解答】解：（1）f（x）＝x＝＝，
故f（）＝．
（2）选①：当x∈[0，]时，
，
则，即，
故f（x）的值域为[0，]．
选②：令，k∈Z，解得，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
选③：∵f（α）＝1，
∴，解得sin（2）＝，
∵α∈（0，π），
∴，
∴或，解得或．
28．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，BC⊥AC，BC＝2，AB＝4．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）记二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，求cosθ的值．
【解答】（1）证明：因为BC⊥AC，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，故BC⊥平面PAC，
而PA⊂平面PAC，故BC⊥PA；
（2）解：由勾股定理得，
侧面PAC是正三角形，故，
由BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，则，
又CP＝CA，故设PA中点为D，连接CD，BD，
则CD⊥PA，BD⊥PA，故∠BDC即为二面角B﹣PA﹣C的平面角，
在直角三角形BCD中，，
故记二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ则．
29．（12分）已知f（x）＝x+，g（x）＝|x﹣2|+a，a∈R．
（1）证明：（e为自然对数的底数）；
（2）若方程f（x）＝g（x）有解，求a的范围．
【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝x+，
∴，x≠0，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，又，
∴f（1）＞f（），又f（1）＝3，
∴f（）＜3；
（2）∵方程f（x）＝g（x）有解，
∴有解，
即＝有解，
设，
则a的范围即为h（x）的值域，
①当x≥2时，h（x）单调递减，∴h（x）∈（2，3]，
②当x＜2时，h′（x）＝，x≠0，
∴x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2）时，h′（x）＞0；x∈（﹣1，0）∪（0，1）时h′（x）＜0，
∴h（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，0）单调递减，在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴h（x）∈（﹣∞，h（﹣1）]∪[h（1），+∞），又h（﹣1）＝﹣6，h（1）＝2，
∴h（x）∈（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞），
综合①②得h（x）的值域为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞），
∴所求a的范围为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
30．（12分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以填埋方式处理，14万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的十年预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加2万吨．
（1）请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量cn的表达式；
（2）求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和Sn；
（3）预计今年起10年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
（参考数据：1.057≈1.41，1.0510≈1.63，ln1.05≈0.0488）
【解答】解：（1）由题意可知，cn＝20×1.05n﹣（14+2n）；
（2）根据（1）可得Sn＝20（1.05+1.052+…+1.05n）﹣（16+18+…+14+2n）＝20×﹣，
化简可得，Sn＝420×1.05n﹣n2﹣15n﹣420；
（3）∵cn+1﹣cn＝20×0.05×1.05n﹣2＝1.05n﹣2＜1.0510﹣2＜0，
∴{cn}是递减数列，
而c7＝20×1.057﹣28＞0，c8＝20×1.058﹣30＜0，
所以，第8年到第10年不需要用填埋方式处理垃圾．
31．（12分）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点．
（1）写出椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝kx+m与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴、y轴于A（x，0），B（0，y）两点，当点M运动时，求点P（x，y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，
由题意，双曲线的顶点为（±1，0），故c＝1．又，
故，故b2＝2﹣1＝1，
故椭圆C的方程为；
（2）由题意，直线l与椭圆C相切，联立，
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
故Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝0，即m2＝2k2+1．
设M（xM，yM），则，
故，故．
所以直线AB的方程为，即，
当y＝0时，，故，当x＝0时，，
故，故．又，
故P（x，y）则M（2x，﹣y），又M（2x，﹣y）在上，
故，即2x2+y2＝1，
由题意可得x≠0，y≠0，
故点P（x，y）的轨迹方程为2x2+y2＝1，（x≠0，y≠0），为椭圆2x2+y2＝1除去4个顶点．
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2021-2022学年浙江省杭州市八县市区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）设集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣2，2，3}
2．（3分）已知复数（i为虚数单位），则|z|为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（3分）已知平面α、β、γ满足：γ∩α＝a，γ∩β＝b，则“a∥b”是“α∥β”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（3分）已知tanα＝，α为第三象限角，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）正实数a，b满足ab＝1，则a+4b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
6．（3分）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）袋子中有9个材质与大小都相同的小球，其中6个白球，3个红球，每次从袋子中随机摸出1个球且不放回，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）某学校高一、高二、高三3个年级共有1080名学生，其中高一年级学生540名，高二年级学生360名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为（ ）
A．54 B．48 C．32 D．16
9．（3分）正六边形ABCDEF中，＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logαN（a＞0且a≠1），已知m＝log63，6n＝12，则m+n＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑．如图，在鳖臑S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且SC＝AB，则异面直线BC与SA所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．（3分）过点（7，﹣2）且与直线2x﹣3y+6＝0相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．（x﹣5）2+（y+1）2＝5 B．（x﹣5）2+（y﹣1）2＝13
C．（x﹣4）2+（y+4）2＝13 D．（x﹣1）2+（y+6）2＝52
13．（3分）平面向量，满足|＝1，||＝1，记〈，〉＝θ，则sinθ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，t∈[0，+∞），φ∈（﹣π，π）．已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
15．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B．π C． D．
16．（3分）已知函数，则不等式f（2x+1）+f（x）＞﹣2的解集为（ ）
A．（，+∞） B．（，100） C．（﹣∞，﹣） D．（，100）
二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）17．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．观察成对样本数据的散点图可以直观推断两个变量的相关关系
B．样本相关系数r的取值范围是[﹣1，1]，则|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C．对于经验回归方程，当解释变量x增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
D．H0：2×2分类变量X和Y独立．通过列联表计算得到χ2的值，则数值越大越能推断分类变量X和Y有关联
（多选）18．（4分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内．现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.03
B．样本数据低于120分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
（多选）19．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（ ）
A．三角形EAB面积的最小值为
B．当点E为边CD中点时，
C．
D．的最小值为
（多选）20．（4分）已知函数，g（x）＝f（x）﹣ax﹣b，则（ ）
A．∃a，b∈R，函数g（x）没有零点
B．∃a，b∈R，函数g（x）恰有三个零点
C．∀b∈R，∃a＞0，函数g（x）恰有一个零点
D．∀a＞0，∃b∈R，函数g（x）恰有两个零点
三、填空题：本题共6小题，每空3分，共30分．
21．（6分）已知函数f（x）＝，则f（1）＝ ；f（x）的定义域是 ．
22．（6分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上得2分，反面朝上得﹣1分，用X表示抛掷6次后得到的总分，则P（X＝12）＝ ；E（X）＝ ．
23．（3分）在（1﹣x）4+（1﹣x）5+（1﹣x）6的展开式中，含x3项的系数是 ．
24．（6分）已知函数，a∈R，．则a＝ ；f（x）最小值为 ．
25．（6分）△ABC中，A＝，cosB＝，AB＝2，sinC＝ ；AC＝ ．
26．（3分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，且当弹子N移动到B处时试验中止．则活动弹子M，N间的最短距离是 ．
四、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
27．（10分）设函数f（x）＝x，x∈R．
（1）求的值；
（2）从下述问题①、问题②、问题③中选择一个进行解答．
问题①：当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
问题②：求f（x）的单调递增区间．
问题③：若f（α）＝1，且α∈（0，π），试求α的值．
28．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，BC⊥AC，BC＝2，AB＝4．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）记二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，求cosθ的值．
29．（12分）已知f（x）＝x+，g（x）＝|x﹣2|+a，a∈R．
（1）证明：（e为自然对数的底数）；
（2）若方程f（x）＝g（x）有解，求a的范围．
30．（12分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以填埋方式处理，14万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的十年预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加2万吨．
（1）请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量cn的表达式；
（2）求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和Sn；
（3）预计今年起10年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
（参考数据：1.057≈1.41，1.0510≈1.63，ln1.05≈0.0488）
31．（12分）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点．
（1）写出椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝kx+m与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴、y轴于A（x，0），B（0，y）两点，当点M运动时，求点P（x，y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
2021-2022学年浙江省杭州市八县市区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）设集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣2，2，3}
【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴M∩N＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
2．（3分）已知复数（i为虚数单位），则|z|为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵＝，
∴．
故选：C．
3．（3分）已知平面α、β、γ满足：γ∩α＝a，γ∩β＝b，则“a∥b”是“α∥β”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①由a∥b，不能推出α∥β，
理由如下：如图三棱柱，
面ADEC＝α，面ADFB＝γ，面CEFB＝β，
γ∩α＝a＝AD，γ∩β＝b＝BF，
满足a∥b，但α与β相交，∴充分性不成立，
②当α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b时，由面面平行的性质可得a∥b，∴必要性成立，
∴a∥b是α∥β的必要不充分条件，
故选：B．
4．（3分）已知tanα＝，α为第三象限角，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵tanα＝，∴，
∵α为第三象限角，∴，
故选：D．
5．（3分）正实数a，b满足ab＝1，则a+4b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【解答】解：∵正实数a，b满足ab＝1，
∴，即a+4b≥4，当且仅当a＝4b，即a＝2，b＝时，等号成立．
故选：B．
6．（3分）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料，
则从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为．
故选：A．
7．（3分）袋子中有9个材质与大小都相同的小球，其中6个白球，3个红球，每次从袋子中随机摸出1个球且不放回，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，第一次摸到白球的概率为，第二次摸到白球的概率为，
则两次都摸到白球的概率是＝．
故选：C．
8．（3分）某学校高一、高二、高三3个年级共有1080名学生，其中高一年级学生540名，高二年级学生360名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为（ ）
A．54 B．48 C．32 D．16
【解答】解：由题意可知，抽取的样本容量为，则样本中高三学生有 人．
故选：D．
9．（3分）正六边形ABCDEF中，＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由题意得：，可以得到．
故选：A．
10．（3分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logαN（a＞0且a≠1），已知m＝log63，6n＝12，则m+n＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵6n＝12，∴n＝log612，
∵m＝log63，
∴m+n＝log612+log63＝log636＝2，
故选：B．
11．（3分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑．如图，在鳖臑S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且SC＝AB，则异面直线BC与SA所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：作正方形ABCD，连接SD，
则异面直线BC与SA所成角的平面角为∠SAD（或其补角），
如图所示：
由已知有SC⊥平面ABC，所以SC⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩SC＝C，则BC⊥面SCD，
因为AD∥BC，所以AD⊥面SCD，所以AD⊥SD，
设AB＝1，则，
，则，
所以∠SAD＝60°，
即异面直线BC与SA所成角的平面角为60°．
故选：C．
12．（3分）过点（7，﹣2）且与直线2x﹣3y+6＝0相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．（x﹣5）2+（y+1）2＝5 B．（x﹣5）2+（y﹣1）2＝13
C．（x﹣4）2+（y+4）2＝13 D．（x﹣1）2+（y+6）2＝52
【解答】解：过点A（7，﹣2）作直线2x﹣3y+6＝0的垂线，垂足为B，
则以AB为直径的圆为直线2x﹣3y+6＝0相切的半径最小的圆，
其中，设B（a，b），
则，解得：，
故AB的中点，即圆心为，即（5，1），
故该圆为（x﹣5）2+（y﹣1）2＝13．
故选：B．
13．（3分）平面向量，满足|＝1，||＝1，记〈，〉＝θ，则sinθ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
，即，
所以，
当且仅当等号成立，因为，
所以，
sinθ的最大值为，
故选：A．
14．（3分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，t∈[0，+∞），φ∈（﹣π，π）．已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【解答】解：因为当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，
故+φ＝π+2kπ，（k∈Z），即φ＝，
又φ∈（﹣π，π），故φ＝，故，
故当t＝0时，，
故选：D．
15．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B．π C． D．
【解答】解：取AB中点P，连接PC，C1N，如图，
因为PC⊥AB，PN⊥AB，
且PN∩PC＝P，所以AB⊥平面PCC1N，AB⊂平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCC1N，平面ABM∩平面PCC1N＝PM，
过N作NO⊥PM，NO⊂平面PCC1N，所以NO⊥平面ABM，
当点M从点C运动到点C1时，O点是以PN为直径的圆Q（部分），如图，
当M运动到点C1时，O点到最高点，
此时，所以，从而，
所以弧长，即点O的轨迹长度为π．
故选：B．
16．（3分）已知函数，则不等式f（2x+1）+f（x）＞﹣2的解集为（ ）
A．（，+∞） B．（，100） C．（﹣∞，﹣） D．（，100）
【解答】解：由可知，x∈R，
故
＝
＝lg1﹣2＝﹣2，
即f（x）+1+f（﹣x）+1＝0，
令g（x）＝f（x）+1，则g（x）+g（﹣x）＝0，即g（x）＝f（x）+1为奇函数，
因为函数为R上的单调增函数，为R上的单调减函数
故为单调增函数，则g（x）＝f（x）+1也单调递增；
不等式f（2x+1）+f（x）＞﹣2，即f（2x+1）+1+f（x）+1＞0，
即g（2x+1）+g（x）＞0，g（2x+1）＞﹣g（x）＝g（﹣x），
故，即f（2x+1）+f（x）＞﹣2解集为，
故选：A．
二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）17．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．观察成对样本数据的散点图可以直观推断两个变量的相关关系
B．样本相关系数r的取值范围是[﹣1，1]，则|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C．对于经验回归方程，当解释变量x增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
D．H0：2×2分类变量X和Y独立．通过列联表计算得到χ2的值，则数值越大越能推断分类变量X和Y有关联
【解答】解：由散点图可以直观推断两个变量的相关关系，故A正确；
根据样本相关系数的意义可知|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故B正确；
由回归方程可知变量增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，故C不正确；
当独立性检验时，χ2的值越大越能推断分类变量X和Y有关联正确，故D正确．
故选：ABD．
（多选）18．（4分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内．现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.03
B．样本数据低于120分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
【解答】解：由频率分布直方图，（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030，故A正确；
样本数据不低于120分的频率为（0.030+0.025+0.005）×10＝0.6，因此低于120分的频率为0.4，故B错误；
分数低于120分的频率为（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，因此中位数在[120，130）这一组，设中位数为n，则＝，解得n≈123.3，故C正确；
样本分布在[90，100）与[100，110）的频率相等，所以频数相等，但总体分布在[90，100）与[100，110）频数只能大致相等但不一定相等，故D错误．
故选：AC．
（多选）19．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（ ）
A．三角形EAB面积的最小值为
B．当点E为边CD中点时，
C．
D．的最小值为
【解答】解：由题，当E在D点时，SΔEAB取得最小值，，故A项正确；
当E为CD中点时，，
又因为，所以，故项正确；
当E在D点时，由余弦定理计算可得，所以，故C项错误；
因为，而，
所以，又，
所以，故D项错误．
故选：AB．
（多选）20．（4分）已知函数，g（x）＝f（x）﹣ax﹣b，则（ ）
A．∃a，b∈R，函数g（x）没有零点
B．∃a，b∈R，函数g（x）恰有三个零点
C．∀b∈R，∃a＞0，函数g（x）恰有一个零点
D．∀a＞0，∃b∈R，函数g（x）恰有两个零点
【解答】解：如图，作出函数y＝f（x）的图象，g（x）的零点问题可转化为y＝f（x）与y＝ax+b的交点问题，
由图象可知，y＝ax+b与y＝f（x）图象总会有交点，至少有一个交点，故A错误；
由图象可知，y＝ax+b与y＝f（x）图象可以有3个交点，即函数g（x）有三个零点，故B正确；
设h（x）＝ex﹣1，则h′（x）＝ex，h′（0）＝e0＝1，h（0）＝e0﹣1＝0，
设m（x）＝ln（x+1），可得，由，
故当a＝1时，y＝x与函数y＝f（x）相切于点（0，0），结合图象可知当直线y＝ax+b
与y＝x平行或重合时，y＝f（x）与y＝ax+b有一个公共点，即存在a＝1时，对∀b∈R都能使得函数g（x）恰有一个零点，故C
选项正确；
当a＝1时，不存在b∈R使得函数g（x）恰有两个零点，故D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共6小题，每空3分，共30分．
21．（6分）已知函数f（x）＝，则f（1）＝ 3 ；f（x）的定义域是 （﹣1，+∞） ．
【解答】解：（1）∵f（x）＝，
∴，f（x）的定义域为，解得x＞﹣1，
故函数的定义域为（﹣1，+∞）．
故答案为：3；（﹣1，+∞）．
22．（6分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上得2分，反面朝上得﹣1分，用X表示抛掷6次后得到的总分，则P（X＝12）＝ ；E（X）＝ 3 ．
【解答】解：由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，
所以将一枚均匀的硬币重复抛郑6次，设正面朝上的次数为Y，
则Y服从二项分布，且X＝2Y﹣（6﹣Y）＝3Y﹣6，
X＝12表示6次均是正面朝上，所以；
又因为Y～，∴，所以E（X）＝E（3Y﹣6）＝3E（Y）﹣6＝3；
故答案为：．
23．（3分）在（1﹣x）4+（1﹣x）5+（1﹣x）6的展开式中，含x3项的系数是 ﹣34 ．
【解答】解：由题意知：展开式中，含x3项为++
＝﹣（）x3
＝﹣（+﹣1）x3
＝﹣（）x3
＝﹣34x3．
故答案为：﹣34．
24．（6分）已知函数，a∈R，．则a＝ 1 ；f（x）最小值为 1 ．
【解答】解：由题意得：，x＞0，f′（x）＝﹣＝，
故f′（2）＝＝，
∴a＝1；
则f′（x）＝﹣＝，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）min＝f（1）＝1，
故答案为：1；1．
25．（6分）△ABC中，A＝，cosB＝，AB＝2，sinC＝ ；AC＝ ．
【解答】解：∵为三角形内角，∴，
∴，
由正弦定理可得，即
，
故答案为：．
26．（3分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，且当弹子N移动到B处时试验中止．则活动弹子M，N间的最短距离是 ．
【解答】解：过点M做MH垂直AB于H，连接NH，如图所示，
因为面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF＝AB，
MH⊥AB，则MH⊥面ABEF，NH⊂面ABEF，所以MH⊥NH，
由已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，
设AM＝a，则，
因为ABCD，ABEF为正方形，
AB＝1，则，
所以，
所以，
由余弦定理可得|NH|2＝|BH|2+|BN|2﹣2|BH|⋅|BN|cos45°
＝﹣（﹣a）（﹣2a）
＝，
所以，
当时，，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
27．（10分）设函数f（x）＝x，x∈R．
（1）求的值；
（2）从下述问题①、问题②、问题③中选择一个进行解答．
问题①：当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
问题②：求f（x）的单调递增区间．
问题③：若f（α）＝1，且α∈（0，π），试求α的值．
【解答】解：（1）f（x）＝x＝＝，
故f（）＝．
（2）选①：当x∈[0，]时，
，
则，即，
故f（x）的值域为[0，]．
选②：令，k∈Z，解得，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
选③：∵f（α）＝1，
∴，解得sin（2）＝，
∵α∈（0，π），
∴，
∴或，解得或．
28．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，BC⊥AC，BC＝2，AB＝4．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）记二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，求cosθ的值．
【解答】（1）证明：因为BC⊥AC，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，故BC⊥平面PAC，
而PA⊂平面PAC，故BC⊥PA；
（2）解：由勾股定理得，
侧面PAC是正三角形，故，
由BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，则，
又CP＝CA，故设PA中点为D，连接CD，BD，
则CD⊥PA，BD⊥PA，故∠BDC即为二面角B﹣PA﹣C的平面角，
在直角三角形BCD中，，
故记二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ则．
29．（12分）已知f（x）＝x+，g（x）＝|x﹣2|+a，a∈R．
（1）证明：（e为自然对数的底数）；
（2）若方程f（x）＝g（x）有解，求a的范围．
【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝x+，
∴，x≠0，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，又，
∴f（1）＞f（），又f（1）＝3，
∴f（）＜3；
（2）∵方程f（x）＝g（x）有解，
∴有解，
即＝有解，
设，
则a的范围即为h（x）的值域，
①当x≥2时，h（x）单调递减，∴h（x）∈（2，3]，
②当x＜2时，h′（x）＝，x≠0，
∴x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2）时，h′（x）＞0；x∈（﹣1，0）∪（0，1）时h′（x）＜0，
∴h（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，0）单调递减，在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴h（x）∈（﹣∞，h（﹣1）]∪[h（1），+∞），又h（﹣1）＝﹣6，h（1）＝2，
∴h（x）∈（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞），
综合①②得h（x）的值域为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞），
∴所求a的范围为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
30．（12分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以填埋方式处理，14万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的十年预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加2万吨．
（1）请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量cn的表达式；
（2）求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和Sn；
（3）预计今年起10年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
（参考数据：1.057≈1.41，1.0510≈1.63，ln1.05≈0.0488）
【解答】解：（1）由题意可知，cn＝20×1.05n﹣（14+2n）；
（2）根据（1）可得Sn＝20（1.05+1.052+…+1.05n）﹣（16+18+…+14+2n）＝20×﹣，
化简可得，Sn＝420×1.05n﹣n2﹣15n﹣420；
（3）∵cn+1﹣cn＝20×0.05×1.05n﹣2＝1.05n﹣2＜1.0510﹣2＜0，
∴{cn}是递减数列，
而c7＝20×1.057﹣28＞0，c8＝20×1.058﹣30＜0，
所以，第8年到第10年不需要用填埋方式处理垃圾．
31．（12分）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点．
（1）写出椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝kx+m与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴、y轴于A（x，0），B（0，y）两点，当点M运动时，求点P（x，y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，
由题意，双曲线的顶点为（±1，0），故c＝1．又，
故，故b2＝2﹣1＝1，
故椭圆C的方程为；
（2）由题意，直线l与椭圆C相切，联立，
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
故Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝0，即m2＝2k2+1．
设M（xM，yM），则，
故，故．
所以直线AB的方程为，即，
当y＝0时，，故，当x＝0时，，
故，故．又，
故P（x，y）则M（2x，﹣y），又M（2x，﹣y）在上，
故，即2x2+y2＝1，
由题意可得x≠0，y≠0，
故点P（x，y）的轨迹方程为2x2+y2＝1，（x≠0，y≠0），为椭圆2x2+y2＝1除去4个顶点．
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