2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是( )
A. (2,-3)B. (2,3)C. (-3,2)D. (3,2)
2.若{a,b,c}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是( )
A. b+c,b,-b-cB. a，a+b，a-b
C. a+b，a-b，cD. a+b,a+b+c,c
3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为( )
A. 5fB. 214fC. 4fD. 213f
4.“点(a,b)在圆x2+y2=1外”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者.甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目.若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有( )
A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种
6.A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(xi,yi).A小组根据表中数据，直接对(x,y)作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x+0.235，决定系数R2=0.8732.B小组先将数据按照变换u=x2，v=y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程v =-0.5006u+0.4922，决定系数R2=0.9375.根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是( )
A. 0.4699x-y+0.235=0B. 0.5006x+y-0.4922=0
C. +y20.4922=1D. x20.4922+
7.设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点.设OA+OB+OC=0，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于( )
A. 3B. 72C. 4D. 3 2
8.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心.直线PI交x轴于A点，|OA|=14c，且PF1⋅PF2=116a2，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 34D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若函数f(x)导函数的部分图象如图所示，则( )
A. x1是f(x)的一个极大值点
B. x2是f(x)的一个极小值点
C. x3是f(x)的一个极大值点
D. x4是f(x)的一个极小值点
10.抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的数字是1、2、3、4、5、6)，抛掷两次.设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则( )
A. 事件B与事件C互斥B. P(AB)=572
C. P(B|A)=25D. 事件A与事件C相互独立
11.设双曲线C:x2a-y2a2-a+4=1(a>0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线C离心率的最小值为4
B. 离心率最小时双曲线C的渐近线方程为 3x±y=0
C. 若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|=|BD|
D. 若a=1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值
12.已知曲线f(x)=xex，g(x)=lnxx，及直线y=a，下列说法中正确的是( )
A. 曲线f(x)在x=0处的切线与曲线g(x)在x=1处的切线平行
B. 若直线y=a与曲线f(x)仅有一个公共点，则a=1e
C. 曲线f(x)与g(x)有且仅有一个公共点
D. 若直线y=a与曲线f(x)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，与曲线g(x)交于点B(x2,y2)，C(x3,y3)，则x1x3=x22
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x-y)(x+y)8展开式中，x3y6项的系数为______.
14.曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标.定义：若f'(x)是f(x)的导函数，f''(x)是f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f''(x)|[1+(f'(x))2]32.已知f(x)=cs(x-1)-lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的曲率为______.
15.已知数列{an}满足a2=8，an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2,n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=lg2(a2n+2⋅a2n-1)-lg2(a2n⋅a2n+1)，则满足Sn-5>0的正整数n的最小值为______.
16.设函数f(x)=2|x+2|+cs(π2x)，则使得f(x+1)>f(2x)成立的x的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在四面体ABCD中，AE=λAB，AH=λAD，CF=(1-λ)CB，CG=(1-λ)CD，λ∈(0,1).
(1)求证：E、F、G、H四点共面.
(2)若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD表示OM.
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC=60∘，A1B= 6.
(1)证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；
(2)求二面角B-A1B1-C1的正弦值．
21.(本小题12分)
设抛物线C：y2=2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线C交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时，|AB|=2.
(1)求抛物线C的标准方程.
(2)已知点P(1,0)，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值.
22.(本小题12分)
设函数f(x)=(x-1)2ex-ax，若曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=-2x+b.
(1)求实数a，b的值.
(2)证明：函数f(x)有两个零点.
(3)记f'(x)是函数f(x)的导数，x1，x2为f(x)的两个零点，证明：f'(x1+x22)>-a.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量，属于基础题．
先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量．
【解答】
解：依题意，直线3x+2y-1=0的斜率为k=-32，
∴则直线3x+2y-1=0的一个方向向量为(2,-3)，
故选：A.
2.【答案】C
【解析】解：-b-c=-(b+c)，
则b+c,b,-b-c共面，故b+c,b,-b-c不能构成基底，故A错误；
a=12[(a+b)+(a-b)]，因此向量a，a+b，a-b共面，故不能构成基底，故B错误；
假设c=λ(a+b)+μ(a-b)，即c=(λ+μ)a+(λ-μ)b，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b,a+b+c,c共面，故不能构成基底，故D错误．
故选：C.
根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查空间向量基底的概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为122的等比数列{an}，
第四个单音的频率为a4=f×(122)3=214f.
故选：B.
先将所要解决的问题转化为：求首项为f，公比为122的等比数列的第4项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查充分必要条件的判定，属于基础题．
由点(a,b)在圆x2+y2=1外，得到a2+b2>1，求出圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线ax+by+2=0的距离d=|2| a2+b2，比较d与半径的大小即可．
【解答】
解：①若点(a,b)在圆x2+y2=1外，则a2+b2>1，
∵圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线ax+by+2=0的距离d=|2| a2+b2=2 a2+b2，
∴d与半径1的大小无法确定，
∴不能得到直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相交，∴充分性不成立，
②若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相交，
则圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线ax+by+1=0的距离d=|2| a2+b2=2 a2+b2<1，
即a2+b2>4，点(a,b)在圆x2+y2=1外．
∴点(a,b)在圆x2+y2=1外是直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相交的必要不充分条件．
故选：B.
5.【答案】C
【解析】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，
若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C31C32A22=18种．
故选：C.
先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，
又A小组的决定系数R2=0.8732，B小组的决定系数R2=0.9375，
∴B小组的拟合效果好，则回归方程为v =-0.5006u+0.4922，
又u=x2，v=y2，∴y2=-0.5006x2+0.4922，即+y20.4922=1.
故选：C.
由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为AD+BD+CD=(OD-OA)+(OD-OB)+(OD-OC)=3OD-(OA+OB+OC)=3OD，
且|OD|=1，所以|AD+BD+CD|=3，
而|AD+BD+CD|≤|AD|+|BD|+|CD|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD，BD，CD同时时，等号成立，
而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即AD，BD，CD不同向，
所以|AD|+|BD|+|CD|>|AD+BD+CD|=3，
且|AD|，|BD|，|CD|均小于直径长2，即|AD|+|BD|+|CD|<6，
综上，3<|AD|+|BD|+|CD|<6，
根据选项可知A不符合．
故选：A.
根据条件，得到|AD+BD+CD|=3，利用|AD+BD+CD|≤|AD|+|BD|+|CD|=|AD|+|BD|+|CD|判断等号成立条件，确定|AD|+|BD|+|CD|不可能取的值．
本题主要考查了向量模长的性质，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：不妨设点P位于第一象限，如图所示，
因为I为△PF1F2的内心，所以PA为∠F1PF2的角平分线，
所以PF1PF2=F1AAF2，因为|OA|=14c，所以|PF1||PF2|=|F1A||AF2|=53，
设|PF1|=5t，则|PF2|=3t，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=8t=2a，
可得t=a4，所以|PF1|=5a4，|PF2|=3a4，
又因为PF1⋅PF2=|PF1|⋅|PF2|cs∠F1PF2=54a×34a⋅cs∠F1PF2=116a2，
所以cs∠F1PF2=115，在△PF1F2中，由余弦定理可得，
cs∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28-4c215a28=115，
所以a2=2c2，则e= c2a2= 22.
故选：B.
先利用角平分线性质得到|PF1||PF2|=|F1A||AF2|=53，设|PF1|=5t，则|PF2|=3t，根据椭圆定义得到t=a4，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解．
本题考查椭圆的性质，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：由图象可知，当x0，函数单调递增，当x10，函数单调递增，当x>x4时，f'(x)<0，函数单调递减，
故x1，x4是f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点，x3不是的极值点．
故选：AB.
由已知结合函数的图象，分析导数的正负，然后结合导数与单调性及极值关系分析各选项即可判断．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的数字是1、2、3、4、5、6)，抛掷两次，
设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，
以(m,n)为一个基本事件，则基本事件的总数为62=36，
事件A包含的基本事件有：(2,6)、(3,5)、(3,6)、(4,4)、(4,5)、(4,6)、(5,3)、
(5,4)、(5,5)、(5,6)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共15种，
事件B包含的基本事件有：(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6种，
事件C包含的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、
(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、
(3,6)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、
(6,1)、(6,2)、(6,3)，共30种，
对于A，事件B与事件C互斥，故A正确；
对于B，事件AB包含的基本事件有：(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6种，
所以，P(AB)=636=16，故B错误；
对于C，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C正确；
对于D，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，
事件AC包含的基本事件有：(2,6)、(3,5)、(3,6)、(4,4)、(4,5)、(5,3)、(5,4)、
(6,2)、(6,3)，共9种，
所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D错误．
故选：AC.
列举出事件A、B、C所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用条件概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项．
本题主要考查条件概率，独立事件，互斥事件与对立事件，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】ABCD
【解析】解：由题意可得e2=a2+4a=a+4a，因为a>0，
所以e2=a2+4a=a+4a≥2 m⋅4m=4，即e≥2，当且仅当a=4a，即a=2时，等号成立．
此时双曲线方程是x22-y26=1，渐近线方程是 3x±y=0.故A，B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线C:x2a-y2a2-a+4=1(a>0)，
可得(m2a2-m2a+4m2)y2+2mn(a2-a+4)y+n2(a2-a+4)-a(a2-a+4)=0，
又双曲线的渐近线方程为x2a-y2a2-a+4=0，
直线方程代入可得(m2a2-m2a+4m2)y2+2mn(a2-a+4)y+n2(a2-a+4)=0，
∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，
∴AB、CD的中点重合，∴|AC|=|BD|，故C正确．
当a=1，双曲线的方程为x2-y24=1，双曲线的渐近线方程为y=±2x，
设A(m,n)，故双曲线在A(m,n)的切线方程为mx-14ny=1，
与y=2x联立可得E的横坐标为44m-2n，
与y=-2x联立可得E的横坐标为44m+2n，
∴S△EOF=12|OE|⋅|OF|⋅sin∠EOF=12× 1+22×44m-2n× 1+22×44m+2n×sin∠EOF
=52×1616m2-4n2×sin∠EOF=52×1616×sin∠EOF=52sin∠EOF为定值，故D正确．
故选：ABCD.
利用双曲线的几何性质，依据每项的条件逐项计算可判断其正确性．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项：f(0)=0，f'(x)=x'⋅ex-x⋅(ex)'(ex)2=1-xex，f'(0)=1，
所以曲线f(x)在x=0处的切线为：y=x；
同理g(1)=0，g'(x)=1-lnxx2，g'(1)=1，曲线g(x)在x=1处的切线为y=x-1，
即曲线f(x)在x=0处的切线与曲线g(x)在x=1处的切线平行，正确；
对于B选项：f'(x)=1-xex，令f'(x)=0，解得x=1，
所以曲线f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，f(1)=1e，
又当x→-∞时f(x)→-∞，当x→+∞时f(x)→0，
若直线y=a与曲线f(x)仅有一个公共点，则a=1e或a≤0，错误；
对于C选项：曲线g(x)的定义域为：(0,+∞)，g'(x)=1-lnxx2，
令g'(x)=0，解得x=e，
所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且g(1)=0,g(e)=1e，
所以曲线f(x)与曲线g(x)的大致图像为：
易知当x∈(0,1)时，f(x)>0，g(x)<0，即曲线f(x)与曲线g(x)在区间(0,1)上无交点；
当x∈[1,e]时，f(x)单调递减，g(x)单调递增，且f(1)=1e>g(1)=0，
f(e)=e1-e当x∈(e,+∞)时，记h(x)=x-lnx，h'(x)=1-1x，当x>e时h'(x)>0恒成立，
即h(x)在(e,+∞)上单调递增，即h(x)>h(e)=e-1>0，即x>lnx>1，
又曲线f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)即f(x)所以曲线f(x)与g(x)有且仅有一个公共点，正确；
对于D选项：当直线y=a经过曲线f(x)与g(x)的交点时，恰好有3个公共点，
且0由f(x1)=f(x2)=f(lnx2)，所以x1=lnx2，
由g(x2)=g(x3)=g(ex2)，所以x3=ex2，
即x1⋅x3=lnx2⋅ex2=x_2，正确．
故选：ACD.
对与A选项，分别求出f(x)在x=0处的切线与g(x)在x=1处的切线即可判断；
对于B选项，求出f'(x)，即可判断出曲线f(x)的单调性，画出草图则可判断；
对于C选项，画出曲线f(x)与g(x)的草图，即可判断；
对于D选项，借助图像可知直线y=a过曲线f(x)与g(x)的交点B，由此即可得出x1ex1=x2ex2=lnx2x2=lnx3x3，则可得x1=lnx2，x3=ex2，lnx2⋅ex2=x_2，则可得出x1x3=x22.
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】-28
【解析】解：(x-y)(x+y)8=x(x+y)8-y(x+y)8，二项展开式x(x+y)8的通项为xC8rx8-ryr=C8rx9-ryr，二项展开式y(x+y)8的通项为yC8kx8-kyk=C8kx8-kyk+1，
令r=6k+1=6，解得r=6k=5，因此，x3y6项的系数为C86-C85=28-56=-28，
故答案为：-28.
将二项式变形为x(x+y)8-y(x+y)8，然后利用二项式定理分别计算出x(x+y)8和y(x+y)8的展开式中x3y6项的系数，再将两系数相减即可得出答案．
本题考查二项式定理，考查对定理的理解以及计算能力，属于中等题．
14.【答案】0
【解析】解：因为f(x)=cs(x-1)-lnx，
所以f'(x)=-sin(x-1)-1x，f''(x)=1x2-cs(x-1)，
则f'(1)=-11-sin0=-1，f''(1)=11-cs0=0，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的曲率为K=|f''(1)|[1+(f'(1))2]32=|0|[1+(-1)2]32=0.
故答案为：0.
求出原函数的导函数f'(x)与导函数的导函数f''(x)，然后代入题中公式即可求出答案．
本题主要考查导数的运算和曲率的定义，属于基础题．
15.【答案】63
【解析】解：因为an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2,n∈N*)，a2=8>0，
所以an>0,anan-1=2(-1)n+n，
所以bn=lg2(a2n+2⋅a2n-1)-lg2(a2n⋅a2n+1)
=lg2(a2n+2⋅a2n-1a2n⋅a2n+1)=lg2(a2n+2a2n+1)-lg2(a2na2n-1)
=lg2(2(-1)2n+2+2n+2)-lg2(2(-1)2n+2n)
=lg2(2n+4)-lg2(2n+2)
所以Sn=lg26-lg24+lg28-lg26+⋅⋅⋅+lg2(2n+4)-lg2(2n+2)=lg22n+44，
因为Sn-5>0，所以lg22n+44>5=lg232，即n+22>32，解得n>62，
因为n∈N*，所以正整数n的最小值为63.
故答案为：63.
根据对数运算和递推公式可得数列{bn}的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得Sn，解不等式可得答案．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(-53,1)
【解析】解：由f(x)=2|x+2|+cs(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cs(π2x-π)=2|x|-cs(π2x)为偶函数，
所以g(x)关于y轴对称，
所以f(x)关于x=-2对称，
当x≥0时，g'(x)=2xln2+π2sin(π2x)，
当x∈[0,2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g'(x)>0，
当x∈(2,+∞)时，g'(x)>22ln2-π2>0，
所以g(x)在上单调[0,+∞)递增，在(-∞,0)上单调递减，
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增，
由f(x+1)>f(2x)得|x+1+2|>|2x+2|，即(x+3)2>(2x+2)2，解得-53所以使得f(x+1)>f(2x)成立的x的取值范围是(-53,1).
故答案为：(-53,1).
利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：因为EH=AH-AE=λAD-λAB=λBD，
FG=CG-CF=(1-λ)CD-(1-λ)CB=(1-λ)BD，
所以EH=λ1-λFG，则EH//FG，因此E、F、G、H四点共面．
(2)解：由(1)知，EH=13BD，FG=23BD，因此EH=12FG，
EH、FG不在同一条直线上，
EH//FG，
则EMMG=EHFG=12，则EM=12MG，即OM-OE=12(OG-OM)，
当λ=13时，AE=13AB，即OE-OA=13(OB-OA)，可得OE=23OA+13OB，
因为CG=23CD，即OG-OC=23(OD-OC)，可得OG=13OC+23OD，
所以，OM=23OE+13OG=23(23OA+13OB)+13(13OC+23OD)
=49OA+29OB+19OC+29OD.
【解析】(1)证明出EH//FG，即可证得结论成立；
(2)由(1)可得出EH=12FG，可得出EH//FG，则EMMG=EHFG=12，由此可得出EM=12MG，再结合空间向量的线性运算可得出OM关于OA、OB、OC、OD的表达式．
本题主要考查共线向量与共面向量，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设差数列{an}的公差为d，则由S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N*)
可得4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1，解得a1=1d=2，因此an=2n-1(n∈N*).
(2)由an=2n-1，得abn=2bn-1，
又由{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得abn+1=2n，因此2bn=2n，
所以bn=2n-1，所以Tn=1-2n1-2=2n-1.
【解析】(1)利用等差数列的前n项和及通项公式基本量计算即可；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出{bn}的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)证明：取AC中点M，连接A1M，BM，则BM⊥AC.
∵AA1=AC，∠A1AC=60∘，∴△A1AC为等边三角形，
∴A1M⊥AC，
∵A1M=BM= 3，A1B= 6，
∴A1M2+BM2=A1B2，∴A1M⊥BM，
∵AC∩BM=M，AC，BM⊂平面ABC，
∴A1M⊥平面ABC，
∵A1M⊂平面A1ACC1，
∴平面A1ACC1⊥平面ABC.
(2)由题可知二面角B-A1B1-C1的正弦值与二面角A1-AB-C正弦值相等．
∵A1M⊥平面ABC，过M作MN⊥AB于点N，连接A1N，
∴∠A1NM即为所求二面角A1-AB-C的平面角，
∵A1M= 3,MN=A1M⋅cs60∘= 32，∴A1N= 3+34= 152，
∴sin∠A1NM=A1MA1N=2 55.
故二面角B-A1B1-C1的正弦值为2 55.

【解析】本题主要考查面面垂直的证明，二面角的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
(1)取AC中点M，连接A1M，BM，证明A1M⊥平面ABC即可；
(2)由题可知二面角B-A1B1-C1的正弦值与二面角A1-AB-C正弦值相等．过M作MN⊥AB于点N，连接A1N，∠A1NM即为所求二面角的平面角，解三角形即可．
20.【答案】

【解析】
21.【答案】解：(1)由题意，当直线AB垂直于x轴时，x1=p2，代入抛物线方程得y1=±p，
则|AB|=2p，
所以2p=2，即p=1，
所以抛物线C：y2=2x.
(2)①设C(x3,y3)，D(x4,y4)，
直线AB:x=my+12，
与抛物线C：y2=2x联立，得y2-2my-1=0，因此y1+y2=2m，y1y2=-1.
设直线AC：x=ny+1，与抛物线C：y2=2x联立，得y2-2ny-2=0，
因此y1+y3=2n，y1y3=-2，则y3=-2y1.同理可得y4=-2y2.
所以kCD=y3-y4x3-x4=y3-y4y322-y422=2y3+y4=2-2y1+-2y2=-y1y2y1+y2=12m，
因此直线CD：x=2m(y-y3)+x3，由对称性知，定点在x轴上，
令y=0得，
x=-2my3+x3=-2my3+y322=-2m-2y1+12(-2y1)2=4my1+2y12
=2(y1+y2)y1+2y12=2+2(y2y1+1y12)=2+2⋅y1y2+1y12=2，
所以直线CD过定点Q(2,0).
②因为S△PAB=12|PF|⋅|y1-y2|=14|y1-y2|，
S△PCD=12|PQ|⋅|y3-y4|=12|-2y1--2y2|=|1y1-1y2|=|y1-y2y1y2|=|y1-y2|，
所以S△PAB+S△PCD=54|y1-y2|=54 4m2+4=52 m2+1≥52，
当且仅当m=0时取到最小值52.
【解析】(1)利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；
(2)①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；
②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)由题意可得f'(x)=(x2-1)ex-a，
由切线方程可知其斜率为-2，
所以f'(0)=-2,f(0)=b,，解得a=1b=1.
(2)证明：由f(x)=0可得(x-1)2ex-x=0，所以(x-1)2-xex=0；
函数f(x)有两个零点即函数g(x)=(x-1)2-xex有两个零点．
g'(x)=(x-1)(2+1ex)，
当x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增．
又g(0)=1>0，g(1)=-1e<0，g(2)=1-2e2>0，
所以g(0)g(1)<0，g(1)g(2)<0，
由零点存在定理可得∃x1∈(0,1)使得g(x1)=0，
∃x2∈(1,2)使得g(x2)=0，
所以函数f(x)有两个零点．
(3)证明：由(1)(2)知f(x)=(x-1)2ex-x，
可得f'(x)=(x2-1)ex-1且0要证明f'(x1+x22)>-a，即证明((x1+x22)2-1)ex1+x22-1>-1，
即证明x1+x2>2.
令h(x)=g(x)-g(2-x)(0则h'(x)=g'(x)+g'(2-x)=(x-1)(2+1ex)+(1-x)(2+1e2-x)=(1-x)(ex-e2-x)e2<0，
因此h(x)单调递减，则h(x)>h(1)=0.因此h(x1)>0，
即g(x1)>g(2-x1)，又0g(x1)；
即g(x2)>g(2-x1)，又x2，2-x1∈(1,2)，且g(x)在(1,2)上单调递增，
因此x2>2-x1，即x1+x2>2.命题得证．
【解析】(1)利用导数的几何意义代入f'(0)=-2即可得a，b的值；
(2)根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；
(3)利用(1)(2)中的结论，结合f(x)单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点个数的判断，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．