2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）倾斜角为的直线的方程可以是（　　）
A．x﹣1＝0 B．y﹣1＝0 C．x﹣y＝0 D．x+y﹣2＝0
2．（3分）直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（　　）
A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．a＝﹣1
3．（3分）圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（　　）
A．，a B．，a C．，|a| D．，|a|
4．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（3分）已知直线a，b，平面α，β，下列命题（　　）
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；
③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．
其中真命题是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．（3分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A﹣BB1﹣C的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（3分）圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）椭圆＝26的短轴长为（　　）
A．10 B．12 C．24 D．26
9．（3分）一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（　　）
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一支
10．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．14
11．（3分）已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，13～15题每空3分，16～18题每空4分，共30分）
13．（6分）已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是　 　；过点A且垂直于直线l的直线方程是　 　．
14．（6分）椭圆的焦点F1，F2的坐标是　 　；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是　 　．
15．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是　 　；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是　 　．
16．（4分）设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝　 　．
17．（4分）设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是　 　．
18．（4分）假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是　 　．
三、解答题（本题有4小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．
（1）求p，m的值；
（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．













20．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：
（1）AB1∥面BC1D；
（2）AB1⊥BC1







21．（14分）在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．
（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；
（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．




22．（14分）椭圆E：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的
切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．

2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）倾斜角为的直线的方程可以是（　　）
A．x﹣1＝0 B．y﹣1＝0 C．x﹣y＝0 D．x+y﹣2＝0
【解答】解：由于倾斜角为的直线和x轴垂直，
故选：A．
2．（3分）直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（　　）
A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．a＝﹣1
【解答】解：∵直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，
∴＝≠，求得a＝2，
故选：B．
3．（3分）圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（　　）
A．，a B．，a C．，|a| D．，|a|
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+2ax﹣2＝0，即（x+a）2+（y﹣a）2＝a2，
其圆心为（﹣a，a），半径r＝|a|，
故选：D．
4．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若n＞m＞0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，
若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则n＞0且m＞0，
所以“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”充分不必要条件．
故选：A．
5．（3分）已知直线a，b，平面α，β，下列命题（　　）
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；
③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．
其中真命题是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：①若a∥b，a⊥α，由线面垂直的性质定理可得b⊥α，故①正确；
②若α∥β，a⊥α，由线面垂直和面面平行的性质可得a⊥β，故②正确；
③若a∥α，可得过a的平面γ与α的交线b平行于a，
由a⊥β，可得b⊥β，又b⊂α，则α⊥β，故③正确；
④若a⊥α，α⊥β，
可得a∥β或a⊂β，故④错误．
故选：A．
6．（3分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A﹣BB1﹣C的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：根据棱台的几何性质可知，A1B1∥AB，B1C1∥BC，
因为AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，
则B1BCC1四点共面，
所以BB1⊥BC，
则∠ABC即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，
△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°．
故选：C．
7．（3分）圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设球的直径为2R，则圆锥的底面半径为R，母线长为2R，
因为圆锥的侧面展开图是扇形，
故扇形的半径为母线长2R，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为2πR，
故扇形的面积为，
即圆锥的侧面积为2πR2，
所以圆锥的表面积为2πR2+πR2＝3πR2，
球的表面积为4πR2，
所以圆锥与球的表面积之比是．
故选：C．
8．（3分）椭圆＝26的短轴长为（　　）
A．10 B．12 C．24 D．26
【解答】解：因为椭圆＝26，
故其焦点为（﹣3，﹣4）和（3，4），且2a＝26，
故2c＝＝10，
∴a＝13，c＝5，
∴b＝＝12，
∴短轴长为2b＝24，
故选：C．
9．（3分）一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（　　）
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一支
【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，
而圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2；
圆（x﹣4）2+y2＝1的圆心为F（2，0），半径为1．
依题意得|PF|＝1+r，|PO|＝2+r，
则|PO|﹣|PF|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|＝2，
所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选：D．
10．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．14
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：

故V＝．
故选：C．
11．（3分）已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为实数x，y满足x|x|+＝1，
当x＞0，y＞0时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分，
当x＞0，y＜0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，
当x＜0，y＞0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，
当x＜0，y＜0时，方程为，图象不存在，
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线都是，
令z＝x+y﹣4，即直线为y＝与渐近线平行，
当z最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，
联立方程组，可得，
当直线与椭圆相切时，则有，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
故，
当z最小时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，
此时y＝，故z＞﹣4，
综上可得，z的取值范围为，
所以|z|的取值范围为，即|x+y﹣4|的取值范围是．
故选：B．

12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：因为AD⊥AE，BE⊥BF，FC⊥DC，
所以折叠以后可以让A'EF作为三棱锥的底面，DA'为三棱锥的高，
则A'D⊥A'E，A'E⊥A'F，A'F⊥A'D，
所以A'D，A'E，A'F两两垂直，
将三棱锥放入以A'D，A'E，A'F为相邻三条棱的长方体中，
则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，
因为A'D＝4，A'E＝2，A'F＝2，
所以外接球的半径R＝，
在△DEF中，cos∠DEF＝，
所以sin∠DEF＝，
△DEF外接圆的半径为r，则有，
所以，
故球心O到△DEF外心的距离为，
所以以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，13～15题每空3分，16～18题每空4分，共30分）
13．（6分）已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是　　；过点A且垂直于直线l的直线方程是　2x+y﹣1＝0　．
【解答】解：已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，
则点A到直线l的距离是d＝＝＝；
点A为（1，﹣1），垂直于直线l的直线方程斜率为＝﹣2，
故过点A且垂直于直线l的直线方程为y+1＝﹣2（x﹣1），
即 2x+y﹣1＝0．
14．（6分）椭圆的焦点F1，F2的坐标是　（±5，0）　；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是　　．
【解答】解：由椭圆的方程可得：a2＝49，b2＝24，所以c＝，
故椭圆的焦点坐标为（±5，0）；
在双曲线中，由已知可得c＝5，且离心率e＝，
所以a＝4，则b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9，
故双曲线的方程为：，
故答案为：（±5，0），．
15．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是　45°　；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是　30°　．
【解答】解：设正方体的棱长为2，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1∥BB1，
则∠B1BC即为棱AA1与面对角线BC1所成的角，
在Rt△B1BC中，，
所以∠B1BC＝45°，
故棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；
连结AC与BD交于点O，则BO⊥AC，
又A1A⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，
所以BO⊥AA1，又AA1，AC是体对角面ACC1A1内两条相交直线，
所以BO⊥平面ACC1A1，
则∠BC1O即为面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角，
在Rt△BOC1中，，
所以sin∠BC1O＝，
故面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角为30°．

16．（4分）设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝　　．
【解答】解：可设A在双曲线的右支上，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
在直角三角形AF1F2中，∠AF1F2＝30°，|F1F2|＝2，
可得m＝2，n＝2，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2×2，
即2﹣2＝4，
解得b＝12+8，
故答案为：12+8．
17．（4分）设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是　[0，2]　．
【解答】解：如图，
连接OM，则|OM|＝，
在△OPM中，∠OPM＝60°，
由正弦定理可得，可得|OP|＝2sin∠OMP≤2，
设P（x，2﹣x），
则|OP|＝，得x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2．
∴点P横坐标的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．

18．（4分）假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是　　．
【解答】解：设正方体为ABCD﹣A′B′C′D′投影最大时候，是投影面α与平面AB′C平行，
三个面的投影为三个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，
所以投影的面积＝2S△AB′C＝2××a×＝．
故答案是：．

三、解答题（本题有4小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．
（1）求p，m的值；
（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线方程x＝﹣，
依抛物线的性质得，所以p＝4，
将A（2，m）代入y2＝8x，得m＝4．
所以p，m的值分别为4，4；
（2）设B（2t2，4t），直线OA的方程为2x﹣y＝0，
则点B到直线OA的距离，又，
由题意得，解得t＝﹣1或t＝2，
所以点B的坐标是（2，﹣4）或（8，8）．
20．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：
（1）AB1∥面BC1D；
（2）AB1⊥BC1

【解答】证明：（1）连B1C交BC1于点E，连DE，
则在△AB1C中，D，E是中点，
所以AB1∥DE，
又AB1⊄平面BC1D，
所以AB1∥面BC1D；
（2）方法一：取BC中点F，连AF，B1F，由正三棱柱的性质知AF⊥侧面BCC1B1，
所以AF⊥BC1，……①
在侧面BCC1B1中，，F是中点，则Rt△BB1C1∽Rt△FBB1，
所以BC1⊥B1F……②，
由①②知BC1⊥面AB1F，所以BC1⊥AB1．
方法二：在正三棱柱中，由于，，
可得，
所以，＝，
所以，AB1⊥BC1．

21．（14分）在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．
（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；
（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．

【解答】解：（1）连接AO，
∵AB＝AS，O是BS的中点，∴BS⊥AO，
∵DO⊥面ABS，∴DO⊥BS，
又AO∩DO＝O，AO、DO⊂平面AOD，∴BS⊥平面AOD，
过O作OE⊥AD于E，则OE⊥BC，
∵OE⊂平面AOD，∴BS⊥OE，
又BC∩BS＝B，BC、BS⊂平面SBC，
∴OE⊥面SBC，
在Rt△AOD中，AO＝＝1，DO＝＝2，
∵S△AOD＝AO•DO＝AD•EO，
∴EO＝＝＝，
∴DE＝＝．

（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），S（0，﹣2，0），D（0，0，2），
∴＝（﹣1，0，2），，，
由（1）知，，
∴E，
∵EO⊥平面SBC，
∴平面SBC的一个法向量，
设平面SCD的一个法向量是，则，即，
令y＝1，则x＝2，z＝﹣1，∴，
∴，
由图可知，二面角B﹣SC﹣D所成的角为钝角，
故二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值为．
22．（14分）椭圆E：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的
切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．
【解答】解：（1），所以，，b＝1，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）设圆的切线OA（OB）的方程为y＝kx，
则，
整理得（3﹣4m2）k2+8mnk+3﹣4n2＝0，其两根k1，k2满足……①
这里k1＝kOA，k2＝kOB，且……②
设A（x1，kx1），B（x2，kx2），则，，
这里，，
所以，，
由①②得k1k2＝，
则，
所以，当且仅当|OA|＝|OB|时取等号．
即．