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【解析版】聊城市临清市2022学年八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】聊城市临清市2022学年八年级上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省聊城市临清市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线
B．等角的补角相等吗
C．三角形是轴对称图形
D．用三条线段去拼成一个三角形
3．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4 B．12 C．24 D．28
4．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AD∥BC，∠B=∠D B．AC=BD，AB=CD，AD=BC
C．OA=OC，OB=OD，AB=BC D．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
6．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，则对于样本（x1+1），（x2+1），（x3+1），…，（xn+1），下列结论中正确的是（ ）
A．平均数为10，方差是2 B．平均数是11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
7．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
8．如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
9．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．12
10．如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．若分式的值为0，则x的值等于 ．
14．若，则= ．
15．如图所示，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为 度．
16．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为 ．
17．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 cm2．
三、解答题（本题共8小题，共69分）
18．先化简代数式，求：当 a=2时代数式值．
19．解方程：
（1）+3=
（2）﹣=1．
20．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
王军
68
80
78
79
81
77
78
84
83
92
张成
86
80
75
83
85
77
79
80
80
75
21．张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：
利用表中提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表：
平均成绩
中位数
众数
王军
80
79.5
张成
80
80
（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差．
22．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．
（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．
23．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
24．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
25．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
2022学年山东省聊城市临清市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 轴对称图形．
专题： 常规题型．
分析： 根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
解答： 解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形不是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形．
所以轴对称图形有第一个与第四个共2个图形．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线
B．等角的补角相等吗
C．三角形是轴对称图形
D．用三条线段去拼成一个三角形
考点： 命题与定理．
分析： 分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
解答： 解：C是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，A、B、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．
故选：C．
点评： 本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
3．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4 B．12 C．24 D．28
考点： 平行四边形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，
∴BC=12．
故选B．
点评： 本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
4．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AD∥BC，∠B=∠D B．AC=BD，AB=CD，AD=BC
C．OA=OC，OB=OD，AB=BC D．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
考点： 正方形的判定．
分析： 根据正方形的判定对各个选项进行分析．
解答： 解：因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D．
点评： 此题主要考查正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形．
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 此题需对每一个选项进行验证从而求解．
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质
6．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，则对于样本（x1+1），（x2+1），（x3+1），…，（xn+1），下列结论中正确的是（ ）
A．平均数为10，方差是2 B．平均数是11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
考点： 方差；算术平均数．
分析： 利用平均数与方差的性质分别分析得出即可．
解答： 解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，
∴x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10+1=11，方差不变为2．
故选：C．
点评： 本题考查了方差与平均数的定义，熟练掌握方差的意义是解题关键．
7．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
考点： 平行四边形的判定．
分析： 平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法依次组合即可．
解答： 解：根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
8．如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠4，再求出∠2的邻补角∠5，然后利用三角形外角性质即可求出∠3．
解答： 解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，
又∠5=180°﹣∠2=180°﹣95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°．
故选D．
点评： 本题利用平行线的性质和三角形外角的性质求解．
9．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．12
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰△ABC的周长为21，底边BC=5得出其腰长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，
∴AB=AC==8．
∵AB的垂直平分线DE交AB于点E，
∴AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，
∴△BDC的周长=BC+（AD+CD）=BC+AC=5+5=13．
故选A．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
10．如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点： 全等三角形的判定．
分析： 分别根据“HL”和“AAS”对所添加的条件进行判断．
解答： 解：∵∠C=∠D=90°，AB=AE，
∴当AC=AD时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当BC=ED时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当∠B=∠C时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当∠1=∠2时，则∠BAC=∠EAD，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答： 解：方程去分母得，2=x﹣3﹣m
解得，x=5+m
当分母x﹣3=0即x=3时方程无解
也就是5+m=3时方程无解
则m=﹣2
故选B．
点评： 本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
考点： 矩形的性质；平行四边形的性质．
专题： 规律型．
分析： 根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．
解答： 解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形AOC1B的面积=S，
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，
∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．
故选：B．
点评： 本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．若分式的值为0，则x的值等于 1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答： 解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
点评： 若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．若，则= ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 首先设恒等式等于一个常数，从而得出a、b、c与这一常数的关系，进而求出分式的值．
解答： 解：设=k，
则a=2k，b=3k，c=4k．
∴===．
故答案为．
点评： 设恒等式等于一个常数，从而得出a、b、c与这一常数的关系，是解答本题的关键．
15．如图所示，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为 230 度．
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．
分析： 本题考查的是三角形内角和定理以及四边形内角和定理．
解答： 解：∵∠A=50°⇒∠C+∠B=180°﹣∠A=130°．
又∵四边形ECBD内角和为360°，
∴∠1+∠2=360°﹣（∠C+∠B）=230°，
∴∠1+∠2=230°．
故填230．
点评： 本题先利用三角形内角和定理求出∠C，∠B的度数，再利用四边形内角和求出∠1，∠2即可．
16．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为 44厘米 ．
考点： 菱形的性质．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由菱形的一个内角为120°，可得△ABC是等边三角形，继而求得边长，则可求得答案．
解答： 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=11厘米，
∴菱形的周长为：44厘米．
故答案为：44厘米．
点评： 此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 4或12 cm2．
考点： 矩形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 利用角平分线得易得∠DAE=∠AED，可得到AD=DE．那么根据DE的不同情况得到矩形各边长，进而求得面积．
解答： 解：本题有两种情况，
（1）DE=1cm，EC=3cm．因为AE平分∠DAB，
故∠DAE=45°，△ADE中，AD=DE=1，
矩形面积为1×（1+3）=4cm2．
（2）DE=3cm，EC=1cm．因为AE平分∠DAB，
故∠DAE=45°，△ADE中，AD=DE=3，
矩形面积为3×（1+3）=12cm2．
故答案为4或12．
点评： 需画出图形，根据图形解答．本题主要运用了矩形性质和等角对等边知识，正确地进行分情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共69分）
18．先化简代数式，求：当 a=2时代数式值．
考点： 分式的化简求值．
分析： 首先对括号内的分式进行通分．相减，把除法转化为乘法、计算乘法即可化简，然后把a的值代入即可求解．
解答： 解：原式=•
=•
=，
当a=2时，原式=2．
点评： 本题综合考查了分式的化简，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
19．解方程：
（1）+3=
（2）﹣=1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：（x﹣2）2﹣12=x2﹣4，
整理得：x2﹣4x+4﹣12=x2﹣4，
移项合并得：﹣4x=4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．
解答： 证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
21．张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
王军
68
80
78
79
81
77
78
84
83
92
张成
86
80
75
83
85
77
79
80
80
75
利用表中提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表：
平均成绩
中位数
众数
王军
80
79.5
78
张成
80
80
80
（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差．
考点： 方差；算术平均数；中位数；众数．
专题： 计算题．
分析： （1）根据众数的定义找出王军的成绩中出现次数最多的数据即可；根据中位数的定义，把张成的成绩按照从小到大的顺序排列，然后找出第5、6两个，再求平均数即可；
（2）根据方差的求解公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）王军的成绩中78分出现的次数最多，是2次，
所以，众数是78；
张成的成绩按照从小到大排列如下：
75、75、77、79、80、80、80、83、85、86，
所以，中位数=（80+80）=80；
故答案为：78，80；
（2）=[（86﹣80）2+（80﹣80）2+（75﹣80）2+（83﹣80）2+（85﹣80）2+（77﹣80）2+（79﹣80）2+（80﹣80）2+（80﹣80）2+（75﹣80）2]，
=（36+0+25+9+25+9+1+0+0+25），
=×130，
=13．
点评： 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．
（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定；作图-轴对称变换；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，即可作出△A′BD．
（2）由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得：∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS即可判定：△BA′E≌△DCE．
解答： 解：（1）如图：①作∠A′BD=∠ABD，
②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，
③连接BA′，DA′，
则△A′BD即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠C，
由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，
∴∠BA′D=∠C，A′B=CD，
在△BA′E和△DCE中，
，
∴△BA′E≌△DCE（AAS）．
点评： 此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．
解答： 证明：在△ABC中，BA=BC，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FEC=90°，
∠A+∠D=90°，
∴∠FEC=∠D，
∵∠FEC=∠BED，
∴∠BED=∠D，
∴BD=BE，
即△DBE是等腰三角形．
点评： 此题主要考查等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．
24．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
考点： 分式方程的应用．
专题： 行程问题．
分析： 设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．根据题意，知小汽车所用的时间比公共汽车所用的时间少3小时﹣20分=小时，列方程求解．
解答： 解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．
依题意，得
，
解，得
x=20．
经检验x=20是原方程的根，且符合题意．
∴3x=60．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时．
点评： 找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
此题中关键是弄清两车的时间关系．
25．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
考点： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性质得出AC⊥EN，再利用平行线的性质得出∠BCA=90°，即可得出答案．
解答： 证明：（1）∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
点评： 此题主要考查了矩形和正方形的性质，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2022学年山东省聊城市临清市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线
B．等角的补角相等吗
C．三角形是轴对称图形
D．用三条线段去拼成一个三角形
3．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4 B．12 C．24 D．28
4．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AD∥BC，∠B=∠D B．AC=BD，AB=CD，AD=BC
C．OA=OC，OB=OD，AB=BC D．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
6．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，则对于样本（x1+1），（x2+1），（x3+1），…，（xn+1），下列结论中正确的是（ ）
A．平均数为10，方差是2 B．平均数是11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
7．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
8．如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
9．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．12
10．如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．若分式的值为0，则x的值等于 ．
14．若，则= ．
15．如图所示，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为 度．
16．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为 ．
17．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 cm2．
三、解答题（本题共8小题，共69分）
18．先化简代数式，求：当 a=2时代数式值．
19．解方程：
（1）+3=
（2）﹣=1．
20．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
王军
68
80
78
79
81
77
78
84
83
92
张成
86
80
75
83
85
77
79
80
80
75
21．张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：
利用表中提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表：
平均成绩
中位数
众数
王军
80
79.5
张成
80
80
（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差．
22．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．
（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．
23．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
24．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
25．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
2022学年山东省聊城市临清市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 轴对称图形．
专题： 常规题型．
分析： 根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
解答： 解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形不是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形．
所以轴对称图形有第一个与第四个共2个图形．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线
B．等角的补角相等吗
C．三角形是轴对称图形
D．用三条线段去拼成一个三角形
考点： 命题与定理．
分析： 分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
解答： 解：C是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，A、B、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．
故选：C．
点评： 本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
3．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4 B．12 C．24 D．28
考点： 平行四边形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，
∴BC=12．
故选B．
点评： 本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
4．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AD∥BC，∠B=∠D B．AC=BD，AB=CD，AD=BC
C．OA=OC，OB=OD，AB=BC D．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
考点： 正方形的判定．
分析： 根据正方形的判定对各个选项进行分析．
解答： 解：因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D．
点评： 此题主要考查正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形．
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 此题需对每一个选项进行验证从而求解．
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质
6．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，则对于样本（x1+1），（x2+1），（x3+1），…，（xn+1），下列结论中正确的是（ ）
A．平均数为10，方差是2 B．平均数是11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
考点： 方差；算术平均数．
分析： 利用平均数与方差的性质分别分析得出即可．
解答： 解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，
∴x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10+1=11，方差不变为2．
故选：C．
点评： 本题考查了方差与平均数的定义，熟练掌握方差的意义是解题关键．
7．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
考点： 平行四边形的判定．
分析： 平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法依次组合即可．
解答： 解：根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
8．如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠4，再求出∠2的邻补角∠5，然后利用三角形外角性质即可求出∠3．
解答： 解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，
又∠5=180°﹣∠2=180°﹣95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°．
故选D．
点评： 本题利用平行线的性质和三角形外角的性质求解．
9．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．12
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰△ABC的周长为21，底边BC=5得出其腰长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，
∴AB=AC==8．
∵AB的垂直平分线DE交AB于点E，
∴AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，
∴△BDC的周长=BC+（AD+CD）=BC+AC=5+5=13．
故选A．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
10．如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点： 全等三角形的判定．
分析： 分别根据“HL”和“AAS”对所添加的条件进行判断．
解答： 解：∵∠C=∠D=90°，AB=AE，
∴当AC=AD时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当BC=ED时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当∠B=∠C时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当∠1=∠2时，则∠BAC=∠EAD，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答： 解：方程去分母得，2=x﹣3﹣m
解得，x=5+m
当分母x﹣3=0即x=3时方程无解
也就是5+m=3时方程无解
则m=﹣2
故选B．
点评： 本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
考点： 矩形的性质；平行四边形的性质．
专题： 规律型．
分析： 根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．
解答： 解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形AOC1B的面积=S，
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，
∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．
故选：B．
点评： 本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．若分式的值为0，则x的值等于 1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答： 解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
点评： 若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．若，则= ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 首先设恒等式等于一个常数，从而得出a、b、c与这一常数的关系，进而求出分式的值．
解答： 解：设=k，
则a=2k，b=3k，c=4k．
∴===．
故答案为．
点评： 设恒等式等于一个常数，从而得出a、b、c与这一常数的关系，是解答本题的关键．
15．如图所示，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为 230 度．
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．
分析： 本题考查的是三角形内角和定理以及四边形内角和定理．
解答： 解：∵∠A=50°⇒∠C+∠B=180°﹣∠A=130°．
又∵四边形ECBD内角和为360°，
∴∠1+∠2=360°﹣（∠C+∠B）=230°，
∴∠1+∠2=230°．
故填230．
点评： 本题先利用三角形内角和定理求出∠C，∠B的度数，再利用四边形内角和求出∠1，∠2即可．
16．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为 44厘米 ．
考点： 菱形的性质．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由菱形的一个内角为120°，可得△ABC是等边三角形，继而求得边长，则可求得答案．
解答： 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=11厘米，
∴菱形的周长为：44厘米．
故答案为：44厘米．
点评： 此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 4或12 cm2．
考点： 矩形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 利用角平分线得易得∠DAE=∠AED，可得到AD=DE．那么根据DE的不同情况得到矩形各边长，进而求得面积．
解答： 解：本题有两种情况，
（1）DE=1cm，EC=3cm．因为AE平分∠DAB，
故∠DAE=45°，△ADE中，AD=DE=1，
矩形面积为1×（1+3）=4cm2．
（2）DE=3cm，EC=1cm．因为AE平分∠DAB，
故∠DAE=45°，△ADE中，AD=DE=3，
矩形面积为3×（1+3）=12cm2．
故答案为4或12．
点评： 需画出图形，根据图形解答．本题主要运用了矩形性质和等角对等边知识，正确地进行分情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共69分）
18．先化简代数式，求：当 a=2时代数式值．
考点： 分式的化简求值．
分析： 首先对括号内的分式进行通分．相减，把除法转化为乘法、计算乘法即可化简，然后把a的值代入即可求解．
解答： 解：原式=•
=•
=，
当a=2时，原式=2．
点评： 本题综合考查了分式的化简，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
19．解方程：
（1）+3=
（2）﹣=1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：（x﹣2）2﹣12=x2﹣4，
整理得：x2﹣4x+4﹣12=x2﹣4，
移项合并得：﹣4x=4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．
解答： 证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
21．张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
王军
68
80
78
79
81
77
78
84
83
92
张成
86
80
75
83
85
77
79
80
80
75
利用表中提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表：
平均成绩
中位数
众数
王军
80
79.5
78
张成
80
80
80
（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差．
考点： 方差；算术平均数；中位数；众数．
专题： 计算题．
分析： （1）根据众数的定义找出王军的成绩中出现次数最多的数据即可；根据中位数的定义，把张成的成绩按照从小到大的顺序排列，然后找出第5、6两个，再求平均数即可；
（2）根据方差的求解公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）王军的成绩中78分出现的次数最多，是2次，
所以，众数是78；
张成的成绩按照从小到大排列如下：
75、75、77、79、80、80、80、83、85、86，
所以，中位数=（80+80）=80；
故答案为：78，80；
（2）=[（86﹣80）2+（80﹣80）2+（75﹣80）2+（83﹣80）2+（85﹣80）2+（77﹣80）2+（79﹣80）2+（80﹣80）2+（80﹣80）2+（75﹣80）2]，
=（36+0+25+9+25+9+1+0+0+25），
=×130，
=13．
点评： 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．
（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定；作图-轴对称变换；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，即可作出△A′BD．
（2）由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得：∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS即可判定：△BA′E≌△DCE．
解答： 解：（1）如图：①作∠A′BD=∠ABD，
②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，
③连接BA′，DA′，
则△A′BD即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠C，
由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，
∴∠BA′D=∠C，A′B=CD，
在△BA′E和△DCE中，
，
∴△BA′E≌△DCE（AAS）．
点评： 此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．
解答： 证明：在△ABC中，BA=BC，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FEC=90°，
∠A+∠D=90°，
∴∠FEC=∠D，
∵∠FEC=∠BED，
∴∠BED=∠D，
∴BD=BE，
即△DBE是等腰三角形．
点评： 此题主要考查等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．
24．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
考点： 分式方程的应用．
专题： 行程问题．
分析： 设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．根据题意，知小汽车所用的时间比公共汽车所用的时间少3小时﹣20分=小时，列方程求解．
解答： 解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．
依题意，得
，
解，得
x=20．
经检验x=20是原方程的根，且符合题意．
∴3x=60．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时．
点评： 找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
此题中关键是弄清两车的时间关系．
25．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
考点： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性质得出AC⊥EN，再利用平行线的性质得出∠BCA=90°，即可得出答案．
解答： 证明：（1）∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
点评： 此题主要考查了矩形和正方形的性质，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
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