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【解析版】临沂市莒南县2022学年八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】临沂市莒南县2022学年八年级上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共42分）将唯一正确答案的代号填在题后的括号内
1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．120° C．140° D．130°
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
3．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
4．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
5．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）﹣2=﹣9 B．
C．（a﹣12）2=a14 D．（﹣a﹣1b﹣2）﹣2=﹣a2b4
6．（﹣）2013•（）2014的计算结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．化简的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
9．对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
10．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
11．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
12．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
13．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
14．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．若，，则a+b的值为 ．
16．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．
17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A与∠1+∠2之间存在一种等量关系，则这一等量关系用式子表示为： ．
18．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ．
19．如图，点O、A在数轴上表示的数分别是0和0.1，将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2，…，P99．则点P36所表示的数用科学记数法表示为 ．
三、解答题
20．因式分解与化简
（1）因式分解：2n2（m﹣2）+8（2﹣m）；
（2）化简：（﹣）÷．
21．解方程：=﹣1．
22．已知x+y=xy，求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y）的值．
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF．试求∠DAF的度数．
25．为庆祝2015年元旦的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要，用700元购进甲、乙两种花束共260朵，其中甲种花束比乙种花束少用100元，已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%，乙种花束的单价是多少元？甲、乙两种花束各购买了多少朵？
26．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
2022学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共42分）将唯一正确答案的代号填在题后的括号内
1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．120° C．140° D．130°
考点： 平行线的性质；直角三角形的性质．
分析： 根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．
解答： 解：
∵EF∥GH，
∴∠FCD=∠2，
∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，
∴∠2=∠FCD=130°，
故选D．
点评： 本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A．
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
考点： 三角形的外角性质．
专题： 探究型．
分析： 先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解答： 解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
点评： 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
3．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答： 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
考点： 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
分析： 过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
解答： 解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
5．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）﹣2=﹣9 B．
C．（a﹣12）2=a14 D．（﹣a﹣1b﹣2）﹣2=﹣a2b4
考点： 负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，幂的乘方，底数不变指数相乘的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、（﹣3）﹣2=，故本选项错误；
B、（﹣3）﹣2=，故本选项正确；
C、（a﹣12）2=a﹣24，故本选项错误；
D、（﹣a﹣1b﹣2）﹣2=a2b4，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，熟记性质是解题的关键．
6．（﹣）2013•（）2014的计算结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 根据积的乘方逆运算以及同底数幂的乘法求出即可求解．
解答： 解：（﹣）2013•（）2014
=[（﹣）2013•（）2013]×
=[（﹣）×（）]2013×
=﹣．
故选：C．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法法则，正确对已知的式子进行变形是关键．
7．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
考点： 作图—复杂作图．
分析： 要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确．
解答： 解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故选：D．
点评：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出PA=PB．
8．化简的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．
解答： 解：=﹣
=
=
=x，
故选：D．
点评： 本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
9．对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
考点： 解分式方程．
专题： 开放型．
分析： 根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
解答： 解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）=﹣=1，
去分母得：2﹣（2x﹣1）=4x﹣2，
去括号得：2﹣2x+1=4x﹣2，
移项合并得：6x=5，
解得：x=，
经检验是分式方程的解．
故选A．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
考点： 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
解答： 解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
11．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
考点： 平方差公式．
分析： 根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
解答： 解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
点评： 本题考查了平方差，两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，注意D中的两数是（﹣3x）与2．
12．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
考点： 多项式乘多项式．
分析： 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
解答： 解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，
则p=1，q=﹣12．
故选A．
点评： 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．
13．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．
解答： 解：去分母得，a=x+1，
∴x=a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选B．
点评： 解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
14．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab
考点： 勾股定理．
分析： 先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
解答： 解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b
=b2+（b﹣a）2．
故选：A．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．若，，则a+b的值为 ．
考点： 平方差公式．
专题： 计算题．
分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
解答： 解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，
∴a+b=．
故答案为：．
点评： 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
16．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．
考点： 列代数式（分式）．
专题： 计算题．
分析： 这卷电线的总长度=截取的1米+剩余电线的长度．
解答： 解：根据1米长的电线，称得它的质量为a克，只需根据剩余电线的质量除以a，即可知道剩余电线的长度．故总长度是（+1）米．
故答案为：（+1）．
点评： 注意代数式的正确书写，还要注意后边有单位，故该代数式要带上括号．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A与∠1+∠2之间存在一种等量关系，则这一等量关系用式子表示为： 2∠A=∠1+∠2 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据四边形的内角和是360°和平角的定义求解．
解答： 解：∵∠A+∠A+∠AEA′+∠ADA′=360°
又∵∠1+∠AEA′+∠2+∠ADA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2，
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．
故答案为：2∠A=∠1+∠2．
点评： 本题考查翻折变换（折叠问题），多边形的内角和定理．图形在折叠的过程，会出现全等的图形﹣﹣相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．
18．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 （m﹣n）2 ．
考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
解答： 解：图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，
∴正方形的边长为：m+n，
∵由题意可得，正方形的边长为（m+n），
正方形的面积为（m+n）2，
∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．
故答案为：（m﹣n）2．
点评： 此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
19．如图，点O、A在数轴上表示的数分别是0和0.1，将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2，…，P99．则点P36所表示的数用科学记数法表示为 3.6×10﹣6 ．
考点： 科学记数法—表示较小的数；数轴．
分析： 根据点O、A在数轴上表示的数分别是0和0.1，将线段OA分成100等份，再将线段OM1，分成100等份，得出点P36所表示的数，进而利用科学记数法的表示出即可．
解答： 解：由题意可得：点P36所表示的数为：0.0000036=3.6×10﹣6，
故答案为：3.6×10﹣6．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
三、解答题
20．因式分解与化简
（1）因式分解：2n2（m﹣2）+8（2﹣m）；
（2）化简：（﹣）÷．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用；分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=2（m﹣2）（n2﹣4）=2（m﹣2）（n+2）（n﹣2）；
（2）原式=[﹣]•=•=•=﹣．
点评： 此题考查了分式的混合运算，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．解方程：=﹣1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：15x﹣12=4x+10﹣3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．已知x+y=xy，求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y）的值．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值．
解答： 解：∵x+y=xy，
∴+﹣（1﹣x）（1﹣y）
=﹣（1﹣x﹣y+xy）
=﹣1+x+y﹣xy
=1﹣1+0
=0
点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质．
专题： 证明题．
分析： ①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
解答： ①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF．试求∠DAF的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线求出AD=BD，AF=CF，推出∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，即可求出答案．
解答： 解：在△ABC中，∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
又∵DE⊥AB，FG⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，
∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，
∴∠DAF=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）
=∠BAC﹣（∠B+∠C）=110°﹣70°=40°．
点评： 本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
25．为庆祝2015年元旦的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要，用700元购进甲、乙两种花束共260朵，其中甲种花束比乙种花束少用100元，已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%，乙种花束的单价是多少元？甲、乙两种花束各购买了多少朵？
考点： 分式方程的应用．
分析： 设乙种花束的单价是x元，则甲种花束的单价为（1+20%）x元，根据用700元购进甲、乙两种花束共260朵，列方程求解．
解答： 解：设乙种花束的单价是x元，则甲种花束的单价为（1+20%）x元，
由题意得，+=260，
解得：x=2.5，
经检验：x=2.5是原分式方程的解，
则（1+20%）x=3，
则买甲花束为：=100个，乙种花束为：=160个．
答：乙种花束的单价是2.5元，甲、乙两种花束各购买100个、160个．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）证明∠D=∠DEB=30°，得到DB=BE，运用AE=BE，即可解决问题．
（2）如图（3），证明△EFC≌△DBE，得到EF=DB；证明AE=EF，即可解决问题．
（3）如图（4）或（5），作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD=EF；求出EF的长度，即可解决问题．
解答： 解：（1）AE=DB．
（2）如图3，∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC；在△EFC与△DBE中，
，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，AE=BD．
（3）如图4，当点E在AB的延长线上时，
过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F；
则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF；
∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE；
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC；而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF；
在△BDE与△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF；
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如图5，当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1
∴CD=2﹣1=1．
点评： 该题以等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、判断、解答．
2022学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共42分）将唯一正确答案的代号填在题后的括号内
1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．120° C．140° D．130°
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
3．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
4．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
5．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）﹣2=﹣9 B．
C．（a﹣12）2=a14 D．（﹣a﹣1b﹣2）﹣2=﹣a2b4
6．（﹣）2013•（）2014的计算结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．化简的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
9．对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
10．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
11．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
12．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
13．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
14．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．若，，则a+b的值为 ．
16．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．
17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A与∠1+∠2之间存在一种等量关系，则这一等量关系用式子表示为： ．
18．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ．
19．如图，点O、A在数轴上表示的数分别是0和0.1，将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2，…，P99．则点P36所表示的数用科学记数法表示为 ．
三、解答题
20．因式分解与化简
（1）因式分解：2n2（m﹣2）+8（2﹣m）；
（2）化简：（﹣）÷．
21．解方程：=﹣1．
22．已知x+y=xy，求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y）的值．
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF．试求∠DAF的度数．
25．为庆祝2015年元旦的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要，用700元购进甲、乙两种花束共260朵，其中甲种花束比乙种花束少用100元，已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%，乙种花束的单价是多少元？甲、乙两种花束各购买了多少朵？
26．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
2022学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共42分）将唯一正确答案的代号填在题后的括号内
1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．120° C．140° D．130°
考点： 平行线的性质；直角三角形的性质．
分析： 根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．
解答： 解：
∵EF∥GH，
∴∠FCD=∠2，
∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，
∴∠2=∠FCD=130°，
故选D．
点评： 本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A．
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
考点： 三角形的外角性质．
专题： 探究型．
分析： 先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解答： 解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
点评： 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
3．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答： 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
考点： 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
分析： 过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
解答： 解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
5．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）﹣2=﹣9 B．
C．（a﹣12）2=a14 D．（﹣a﹣1b﹣2）﹣2=﹣a2b4
考点： 负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，幂的乘方，底数不变指数相乘的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、（﹣3）﹣2=，故本选项错误；
B、（﹣3）﹣2=，故本选项正确；
C、（a﹣12）2=a﹣24，故本选项错误；
D、（﹣a﹣1b﹣2）﹣2=a2b4，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，熟记性质是解题的关键．
6．（﹣）2013•（）2014的计算结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 根据积的乘方逆运算以及同底数幂的乘法求出即可求解．
解答： 解：（﹣）2013•（）2014
=[（﹣）2013•（）2013]×
=[（﹣）×（）]2013×
=﹣．
故选：C．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法法则，正确对已知的式子进行变形是关键．
7．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
考点： 作图—复杂作图．
分析： 要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确．
解答： 解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故选：D．
点评：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出PA=PB．
8．化简的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．
解答： 解：=﹣
=
=
=x，
故选：D．
点评： 本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
9．对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
考点： 解分式方程．
专题： 开放型．
分析： 根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
解答： 解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）=﹣=1，
去分母得：2﹣（2x﹣1）=4x﹣2，
去括号得：2﹣2x+1=4x﹣2，
移项合并得：6x=5，
解得：x=，
经检验是分式方程的解．
故选A．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
考点： 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
解答： 解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
11．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
考点： 平方差公式．
分析： 根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
解答： 解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
点评： 本题考查了平方差，两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，注意D中的两数是（﹣3x）与2．
12．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
考点： 多项式乘多项式．
分析： 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
解答： 解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，
则p=1，q=﹣12．
故选A．
点评： 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．
13．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．
解答： 解：去分母得，a=x+1，
∴x=a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选B．
点评： 解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
14．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab
考点： 勾股定理．
分析： 先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
解答： 解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b
=b2+（b﹣a）2．
故选：A．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．若，，则a+b的值为 ．
考点： 平方差公式．
专题： 计算题．
分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
解答： 解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，
∴a+b=．
故答案为：．
点评： 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
16．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．
考点： 列代数式（分式）．
专题： 计算题．
分析： 这卷电线的总长度=截取的1米+剩余电线的长度．
解答： 解：根据1米长的电线，称得它的质量为a克，只需根据剩余电线的质量除以a，即可知道剩余电线的长度．故总长度是（+1）米．
故答案为：（+1）．
点评： 注意代数式的正确书写，还要注意后边有单位，故该代数式要带上括号．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A与∠1+∠2之间存在一种等量关系，则这一等量关系用式子表示为： 2∠A=∠1+∠2 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据四边形的内角和是360°和平角的定义求解．
解答： 解：∵∠A+∠A+∠AEA′+∠ADA′=360°
又∵∠1+∠AEA′+∠2+∠ADA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2，
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．
故答案为：2∠A=∠1+∠2．
点评： 本题考查翻折变换（折叠问题），多边形的内角和定理．图形在折叠的过程，会出现全等的图形﹣﹣相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．
18．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 （m﹣n）2 ．
考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
解答： 解：图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，
∴正方形的边长为：m+n，
∵由题意可得，正方形的边长为（m+n），
正方形的面积为（m+n）2，
∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．
故答案为：（m﹣n）2．
点评： 此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
19．如图，点O、A在数轴上表示的数分别是0和0.1，将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2，…，P99．则点P36所表示的数用科学记数法表示为 3.6×10﹣6 ．
考点： 科学记数法—表示较小的数；数轴．
分析： 根据点O、A在数轴上表示的数分别是0和0.1，将线段OA分成100等份，再将线段OM1，分成100等份，得出点P36所表示的数，进而利用科学记数法的表示出即可．
解答： 解：由题意可得：点P36所表示的数为：0.0000036=3.6×10﹣6，
故答案为：3.6×10﹣6．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
三、解答题
20．因式分解与化简
（1）因式分解：2n2（m﹣2）+8（2﹣m）；
（2）化简：（﹣）÷．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用；分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=2（m﹣2）（n2﹣4）=2（m﹣2）（n+2）（n﹣2）；
（2）原式=[﹣]•=•=•=﹣．
点评： 此题考查了分式的混合运算，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．解方程：=﹣1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：15x﹣12=4x+10﹣3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．已知x+y=xy，求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y）的值．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值．
解答： 解：∵x+y=xy，
∴+﹣（1﹣x）（1﹣y）
=﹣（1﹣x﹣y+xy）
=﹣1+x+y﹣xy
=1﹣1+0
=0
点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质．
专题： 证明题．
分析： ①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
解答： ①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF．试求∠DAF的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线求出AD=BD，AF=CF，推出∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，即可求出答案．
解答： 解：在△ABC中，∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
又∵DE⊥AB，FG⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，
∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，
∴∠DAF=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）
=∠BAC﹣（∠B+∠C）=110°﹣70°=40°．
点评： 本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
25．为庆祝2015年元旦的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要，用700元购进甲、乙两种花束共260朵，其中甲种花束比乙种花束少用100元，已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%，乙种花束的单价是多少元？甲、乙两种花束各购买了多少朵？
考点： 分式方程的应用．
分析： 设乙种花束的单价是x元，则甲种花束的单价为（1+20%）x元，根据用700元购进甲、乙两种花束共260朵，列方程求解．
解答： 解：设乙种花束的单价是x元，则甲种花束的单价为（1+20%）x元，
由题意得，+=260，
解得：x=2.5，
经检验：x=2.5是原分式方程的解，
则（1+20%）x=3，
则买甲花束为：=100个，乙种花束为：=160个．
答：乙种花束的单价是2.5元，甲、乙两种花束各购买100个、160个．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）证明∠D=∠DEB=30°，得到DB=BE，运用AE=BE，即可解决问题．
（2）如图（3），证明△EFC≌△DBE，得到EF=DB；证明AE=EF，即可解决问题．
（3）如图（4）或（5），作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD=EF；求出EF的长度，即可解决问题．
解答： 解：（1）AE=DB．
（2）如图3，∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC；在△EFC与△DBE中，
，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，AE=BD．
（3）如图4，当点E在AB的延长线上时，
过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F；
则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF；
∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE；
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC；而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF；
在△BDE与△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF；
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如图5，当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1
∴CD=2﹣1=1．
点评： 该题以等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、判断、解答．
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