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【解析版】聊城市临清市2022年九年级上期中数学试卷
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这是一份【解析版】聊城市临清市2022年九年级上期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省聊城市临清市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
6．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
7．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
10．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
11．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE=；④S△ADE=7．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要示写出最后结果）
13．如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= 度．
14．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于 ．
15．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
17．如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算：2sin230°•tan30°+cos60°•tan45°．
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求的度数．
21．如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）
22．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．
23．如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
24．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E，求证：DE2=BE•CE．
25．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
2022学年山东省聊城市临清市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 根据特殊角的三角函数值解题即可．
解答： 解：cos60°=．
故选：A．
点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
2．下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
考点： 相似图形．
专题： 压轴题．
分析： 根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解答： 解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．
分析： 根据互余两角的三角函数关系进行解答．
解答： 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故选：B．
点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．
4．（3分）（2009•滨州）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点： 相似三角形的判定．
分析： 由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
解答： 解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
5．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
解答： 解：在Rt△ABC中，
∵i==，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB==6米，
故选：B．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
6．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
考点： 正多边形和圆；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
解答： 解：∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得OA=2．
故选：B．
点评： 本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：平行线分线段成比例．
分析： 已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
解答： 解：∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
点评： 本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选：C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
考点： 旋转的性质；弧长的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．
解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，
∴cos30°=，
∴BC=ABcos30°=2×=，
∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，
∴∠BCB′=60°，
∴点B转过的路径长为：=π．
故选：B．
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．
10．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．
分析： 首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．
解答： 解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC==3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．
点评： 此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
11．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故选：C．
点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE=；④S△ADE=7．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点： 圆的综合题．
分析： ①利用垂径定理可知=，可知∠ADF=∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF=2，且=，可求得DF=6，且CG=DG，可求得FG=2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=，且∠E=∠ADG，可判断出③；④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比，可求出S△ADE=7．
解答： 解：①∵AB为直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE，
∴△ADF∽△AED，
∴①正确；
②∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CG=DG，
∵=，且CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∴CG=4，
∴FG=CG﹣CF=4﹣2=2，
∴②正确；
③在Rt△AGF中，AF=3，FG=2，
∴AG===，且DG=4，
∴tan∠ADG==，
∵∠E=∠ADG，
∴tan∠E=，
∴③不正确；
④在Rt△ADG中，AG=，DG=4，
∴AD=，
∴==，
∴△ADF∽△AED中的相似比为，
∴=（）2=，
在△ADF中，DF=6，AG=，
∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，
∴=，
∴S△ADE=7，
∴④正确；
∴正确的有①②④共三个，
故选C．
点评： 本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要示写出最后结果）
13．如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= 120 度．
考点： 圆周角定理．
分析： 欲求∠BOC，已知了同弧所对的圆周角∠A的度数，可根据圆周角定理求出∠BOC的度数．
解答： 解：∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°．
故答案为120．
点评： 此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．比较简单，属于基础题．
14．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于 1：2 ．
考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△DCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=AE=BC，
∴==．
故答案为：1：2．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△DEF∽△DCF是解题关键．
15．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 几何图形问题．
分析： 作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度．
解答： 解：在Rt△ABC中，
AB=500米，∠BAC=20°，
∵=tan20°，
∴BC=ABtan20°=500×0.3640=182（米）．
故答案为：182．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
考点： 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： 根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴，
∴，
故答案为：．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
17．如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 2π﹣3 ．（结果保留π）
考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；相交两圆的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据题意得出一部分弓形的面积，得出=﹣S进而得出即可．
解答： 解：连接O1O2，过点O1作O1C⊥AO2于点C，
由题意可得：AO1=O1O2=AO2=，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴CO1=O1O2sin60°=，
∴S=××=，
==，
∴=﹣S=﹣，
∴图中阴影部分的面积为：4（﹣）=2π﹣3．
故答案为：2π﹣3．
点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用以及等边三角形的判定与性质，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算：2sin230°•tan30°+cos60°•tan45°．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 将特殊角的三角函数值代入求解．
解答： 解：原式=2×（）2×+×1
=+．
点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
考点： 作图-位似变换．
专题： 作图题；网格型．
分析： （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；
（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交OC′于C1．
解答： 解：（1）如图．
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2．
（3）如图
点评： 本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求的度数．
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
专题： 计算题．
分析： 连结CD，如图，先根据三角形内角和计算出∠B=65°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∠B=∠BDC=65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
解答： 解：连结CD，如图，
∵∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠BDC=65°，
∴∠BCD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴的度数为50°．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
21．如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 几何图形问题；数形结合．
分析： （1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；
（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=，代入数值求出AC的长度．
解答： 解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为（x）m，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，tan31°=，
∴BD=≈=x，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan39°=，
∴CD=≈=x，
∵BC=BD﹣CD，
∴x﹣x=80，
解得：x=180．
即山的高度为180米；
（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
sin39°=，
∴AC==≈282.9（m）．
答：索道AC长约为282.9米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
22．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．
解答： 解：过A、B、C三点作⊙O，连结OB．
∵AD垂直平分BC
∴点O必在AD上，BD=CD=24
设⊙O的半径为r，则OD=48﹣r
∵OD2+BD2=OB2
∴（48﹣r）2+242=r2
解得，r=30
∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm．
点评： 此题主要考查了垂径定理的推论和勾股定理，具备把实物图转化为几何图形的能力是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
考点： 作图—复杂作图．
专题： 作图题．
分析： 先作出角平分线AD，再作AD的中垂线交AC于点O，O就是⊙O的圆心，作出⊙O，
解答： 解：作出角平分线AD，
作AD的中垂线交AC于点O，
作出⊙O，
∴⊙O为所求作的圆．
点评： 本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．
24．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E，求证：DE2=BE•CE．
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接AE，则AE=DE，结合条件证△AEC∽△BEA，即可得到结论．
解答： 证明：
连接AE，
∵EM是AD的中垂线，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
且∠EDA=∠B+∠BAD，∠EAD=∠DAC+∠CAE，
∴∠CAE=∠B，且∠AEC=∠BEA，
∴△AEC∽△BEA，
∴=，
∴AE2=BE•CE，
∴DE2=BE•CE．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证明△AEC∽△BEA是解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴=，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD==2，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2，
在Rt△AFD中，AF==2．
点评： 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
2022学年山东省聊城市临清市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
6．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
7．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
10．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
11．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE=；④S△ADE=7．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要示写出最后结果）
13．如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= 度．
14．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于 ．
15．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
17．如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算：2sin230°•tan30°+cos60°•tan45°．
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求的度数．
21．如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）
22．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．
23．如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
24．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E，求证：DE2=BE•CE．
25．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
2022学年山东省聊城市临清市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 根据特殊角的三角函数值解题即可．
解答： 解：cos60°=．
故选：A．
点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
2．下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
考点： 相似图形．
专题： 压轴题．
分析： 根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解答： 解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．
分析： 根据互余两角的三角函数关系进行解答．
解答： 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故选：B．
点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．
4．（3分）（2009•滨州）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点： 相似三角形的判定．
分析： 由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
解答： 解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
5．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
解答： 解：在Rt△ABC中，
∵i==，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB==6米，
故选：B．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
6．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
考点： 正多边形和圆；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
解答： 解：∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得OA=2．
故选：B．
点评： 本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：平行线分线段成比例．
分析： 已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
解答： 解：∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
点评： 本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选：C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
考点： 旋转的性质；弧长的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．
解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，
∴cos30°=，
∴BC=ABcos30°=2×=，
∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，
∴∠BCB′=60°，
∴点B转过的路径长为：=π．
故选：B．
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．
10．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．
分析： 首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．
解答： 解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC==3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．
点评： 此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
11．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故选：C．
点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE=；④S△ADE=7．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点： 圆的综合题．
分析： ①利用垂径定理可知=，可知∠ADF=∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF=2，且=，可求得DF=6，且CG=DG，可求得FG=2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=，且∠E=∠ADG，可判断出③；④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比，可求出S△ADE=7．
解答： 解：①∵AB为直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE，
∴△ADF∽△AED，
∴①正确；
②∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CG=DG，
∵=，且CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∴CG=4，
∴FG=CG﹣CF=4﹣2=2，
∴②正确；
③在Rt△AGF中，AF=3，FG=2，
∴AG===，且DG=4，
∴tan∠ADG==，
∵∠E=∠ADG，
∴tan∠E=，
∴③不正确；
④在Rt△ADG中，AG=，DG=4，
∴AD=，
∴==，
∴△ADF∽△AED中的相似比为，
∴=（）2=，
在△ADF中，DF=6，AG=，
∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，
∴=，
∴S△ADE=7，
∴④正确；
∴正确的有①②④共三个，
故选C．
点评： 本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要示写出最后结果）
13．如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= 120 度．
考点： 圆周角定理．
分析： 欲求∠BOC，已知了同弧所对的圆周角∠A的度数，可根据圆周角定理求出∠BOC的度数．
解答： 解：∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°．
故答案为120．
点评： 此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．比较简单，属于基础题．
14．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于 1：2 ．
考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△DCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=AE=BC，
∴==．
故答案为：1：2．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△DEF∽△DCF是解题关键．
15．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 几何图形问题．
分析： 作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度．
解答： 解：在Rt△ABC中，
AB=500米，∠BAC=20°，
∵=tan20°，
∴BC=ABtan20°=500×0.3640=182（米）．
故答案为：182．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
考点： 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： 根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴，
∴，
故答案为：．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
17．如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 2π﹣3 ．（结果保留π）
考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；相交两圆的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据题意得出一部分弓形的面积，得出=﹣S进而得出即可．
解答： 解：连接O1O2，过点O1作O1C⊥AO2于点C，
由题意可得：AO1=O1O2=AO2=，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴CO1=O1O2sin60°=，
∴S=××=，
==，
∴=﹣S=﹣，
∴图中阴影部分的面积为：4（﹣）=2π﹣3．
故答案为：2π﹣3．
点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用以及等边三角形的判定与性质，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算：2sin230°•tan30°+cos60°•tan45°．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 将特殊角的三角函数值代入求解．
解答： 解：原式=2×（）2×+×1
=+．
点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
考点： 作图-位似变换．
专题： 作图题；网格型．
分析： （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；
（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交OC′于C1．
解答： 解：（1）如图．
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2．
（3）如图
点评： 本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求的度数．
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
专题： 计算题．
分析： 连结CD，如图，先根据三角形内角和计算出∠B=65°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∠B=∠BDC=65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
解答： 解：连结CD，如图，
∵∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠BDC=65°，
∴∠BCD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴的度数为50°．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
21．如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 几何图形问题；数形结合．
分析： （1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；
（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=，代入数值求出AC的长度．
解答： 解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为（x）m，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，tan31°=，
∴BD=≈=x，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan39°=，
∴CD=≈=x，
∵BC=BD﹣CD，
∴x﹣x=80，
解得：x=180．
即山的高度为180米；
（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
sin39°=，
∴AC==≈282.9（m）．
答：索道AC长约为282.9米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
22．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．
解答： 解：过A、B、C三点作⊙O，连结OB．
∵AD垂直平分BC
∴点O必在AD上，BD=CD=24
设⊙O的半径为r，则OD=48﹣r
∵OD2+BD2=OB2
∴（48﹣r）2+242=r2
解得，r=30
∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm．
点评： 此题主要考查了垂径定理的推论和勾股定理，具备把实物图转化为几何图形的能力是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
考点： 作图—复杂作图．
专题： 作图题．
分析： 先作出角平分线AD，再作AD的中垂线交AC于点O，O就是⊙O的圆心，作出⊙O，
解答： 解：作出角平分线AD，
作AD的中垂线交AC于点O，
作出⊙O，
∴⊙O为所求作的圆．
点评： 本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．
24．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E，求证：DE2=BE•CE．
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接AE，则AE=DE，结合条件证△AEC∽△BEA，即可得到结论．
解答： 证明：
连接AE，
∵EM是AD的中垂线，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
且∠EDA=∠B+∠BAD，∠EAD=∠DAC+∠CAE，
∴∠CAE=∠B，且∠AEC=∠BEA，
∴△AEC∽△BEA，
∴=，
∴AE2=BE•CE，
∴DE2=BE•CE．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证明△AEC∽△BEA是解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴=，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD==2，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2，
在Rt△AFD中，AF==2．
点评： 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
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