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【解析版】山东省德州市2022学年八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】山东省德州市2022学年八年级上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省德州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12分小题，满分36分.
1．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A． 3.1×10﹣9米 B． 3.1×109米 C． ﹣3.1×109米 D． 0.31×10﹣8米
2．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣（a﹣1）=﹣a﹣1 B． （﹣2a3）2=4a6 C． （a﹣b）2=a2﹣b2 D． a3+a2=2a5
4．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B． （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C． x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D． x2y﹣y3=y（x2﹣y2）
5．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A． ∠B=∠E B． ∠C=∠F C． BC=EF D． AC=DF
6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A． SSS
B． ASA
C． AAS
D． 角平分线上的点到角两边距离相等
7．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A． 扩大4倍 B． 扩大2倍 C． 不变 D． 缩小2倍
8．若4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． 6 B． ±6 C． 12 D． ±12
9．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形C． 等腰三角形 D． 等边三角形
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，通过上述条件，我们不难发现：BD+CE=DE；如图2，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，根据图1所得的结论，试猜想BD，CE，DE之间存在什么关系？（ ）
A． BD﹣CE=DE B． BD+CE=DE C． CE﹣DE=BD D． 无法判断
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.
13．分解因式：16x4﹣1= ．
14．若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n= ．
15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正 边形．
16．等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 ．
17．如果分式的值为零，那么x= ．
18．若分式方程=无解，则a的值是 ．
三、解答题.本大题共8个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．①解方程：﹣1=
②计算：（3m+n）（3m﹣n）﹣3（m﹣n）2．
20．化简：÷．
21．阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
22．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上）
（1）画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 ．
提示：直线x=﹣l是过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
24．几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱．
小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
25．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
2022学年山东省德州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12分小题，满分36分.
1．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A． 3.1×10﹣9米 B． 3.1×109米 C． ﹣3.1×109米 D． 0.31×10﹣8米
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.0000000031=3.1×10﹣9，
故选：A．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 三角形的角平分线、中线和高．
专题： 作图题．
分析： 作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．
解答： 解：过点C作AB边的垂线，正确的是C．
故选：C．
点评： 本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．
3．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣（a﹣1）=﹣a﹣1 B． （﹣2a3）2=4a6 C． （a﹣b）2=a2﹣b2 D． a3+a2=2a5
考点： 完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．
专题： 常规题型．
分析： 根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、因为﹣（a﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；
B、（﹣2a3）2=4a6，正确；
C、因为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
D、因为a3与a2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．
4．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B． （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C． x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D． x2y﹣y3=y（x2﹣y2）
考点： 因式分解的意义．
分析： 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解答： 解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、还可以再分解，故D错误；
故选：C．
点评： 本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，分解要彻底．
5．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A． ∠B=∠E B． ∠C=∠F C． BC=EF D． AC=DF
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
解答： 解：A、正确，符合判定ASA；
B、正确，符合判定AAS；
C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；
D、正确，符合判定SAS．
故选C．
点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．
6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A． SSS
B． ASA
C． AAS
D． 角平分线上的点到角两边距离相等
考点： 全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
专题： 证明题．
分析： 连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
解答： 解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
7．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A． 扩大4倍 B． 扩大2倍 C． 不变 D． 缩小2倍
考点： 分式的基本性质．
分析： 把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：
==2•，
即分式的值扩大2倍．
故选：B．
点评： 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
8．若4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． 6 B． ±6 C． 12 D． ±12
考点： 完全平方式．
专题： 常规题型．
分析： 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
解答： 解：4x2﹣mxy+9y2=（2x）2﹣mxy+（3y）2，
∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣mxy=±2×2x×3y，
解得m=±12．
故选D．
点评： 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形
考点： 等边三角形的判定；轴对称的性质．
专题： 应用题．
分析： 根据轴对称的性质可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．
解答： 解：根据轴对称的性质可知，
OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．
点评： 主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等．
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 工程问题．
分析： 关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．
解答： 解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：．
故选：B．
点评： 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．
11．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，通过上述条件，我们不难发现：BD+CE=DE；如图2，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，根据图1所得的结论，试猜想BD，CE，DE之间存在什么关系？（ ）
A． BD﹣CE=DE B． BD+CE=DE C． CE﹣DE=BD D． 无法判断
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 由∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，易证得△BDF与△CEF是等腰三角形，继而可求得答案．
解答： 解：如图2，∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠1，
∵∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，
∴∠DBC=∠CBF，∠1=∠2，
∴∠DBC=∠DFB，∠EFC=∠2，
∴BD=DF，EF=CE，
∵DF=DE+EF，
∴BD=DE+CE．
即BD﹣CE=DE．
故选A．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解答： 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2015÷6=335…5，
∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，
点P的坐标为（1，4）．
故选：A．
点评： 本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.
13．分解因式：16x4﹣1= （4x2+1）（2x+1）（2x﹣1） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 直接利用平方差进而分解因式得出即可．
解答： 解：16x4﹣1
=（4x2+1）（4x2﹣1）
=（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
14．若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n= a3b2 ．
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解答： 解：32n=25n=b，
则23m+10n=23m•210n=a3•b2=a3b2．
故答案为：a3b2．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正 七 边形．
考点： 多边形内角与外角．
分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数．
解答： 解：设这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°=900°，
解得：n=7．
则这个正多边形是正七边形．
点评： 此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．
16．等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 50°或80° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
解答： 解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或80°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
17．如果分式的值为零，那么x= ﹣1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解答： 解：如果分式的值为零，则|x|﹣1=0．
解得x=1或﹣1．
x﹣1≠0，解得x≠1，
∴x=﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 分式值为0，那么需考虑分子为0，分母不为0．
18．若分式方程=无解，则a的值是 10或0 ．
考点： 分式方程的解．
分析： 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答： 解：方程两边都乘（x+5）（x﹣5），
得x+5=a，
解得x=a﹣5，
∵当x=±5时分母为0，方程无解，
即a﹣5=±5，
∴a=10或0．
故答案为：10或0．
点评： 本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．是需要识记的内容．
三、解答题.本大题共8个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．①解方程：﹣1=
②计算：（3m+n）（3m﹣n）﹣3（m﹣n）2．
考点： 解分式方程；整式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： ①分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
②原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
解答： 解：①去分母得：4﹣6x+2=3，
移项合并得：6x=3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解；
②原式=9m2﹣n2﹣3m2+6mn﹣3n2=6m2+6mn﹣4n2．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．化简：÷．
考点： 分式的混合运算．
分析： 利用分式的混合运算顺序求解即可．
解答： 解：÷
=×，
=•×，
=﹣．
点评： 本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是通分及约分．
21．阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
考点： 因式分解-十字相乘法等．
专题： 阅读型．
分析： 仿照上述的方法，将原式分解即可．
解答： 解：①x2+7x+10=（x+2）（x+5）；
②2y2﹣14y+24=2（y2﹣7y+12）=2（y﹣3）（y﹣4）．
点评： 此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
22．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上）
（1）画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 （﹣1，1） ．
提示：直线x=﹣l是过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线．
考点： 作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
分析： （1）分别作出点A、B、C关于直线l：x=﹣1的对称的点，然后顺次连接，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）作出点B关于x=﹣1对称的点B1，连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，此时BD+CD最小，写出点D的坐标．
解答： 解：（1）所作图形如图所示：
A1（3，1），B1（0，0），C1（1，3）；
（2）作出点B关于x=﹣1对称的点B1，
连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，
此时BD+CD最小，
点D坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
点评： 本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，并顺次连接．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题；压轴题．
分析： 方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．
方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．
解答： 证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE与△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF．
另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
24．几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱．
小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设小伙伴的人数为x人，根据题意可知，原价购买差一张票的钱，打六折剩余36元钱，据此列方程求解．
解答： 解：设小伙伴的人数为x人，
由题意得，×0.6x=180﹣36，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意．
答：小伙伴的人数为4人．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EOF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
解答： 解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
2022学年山东省德州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12分小题，满分36分.
1．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A． 3.1×10﹣9米 B． 3.1×109米 C． ﹣3.1×109米 D． 0.31×10﹣8米
2．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣（a﹣1）=﹣a﹣1 B． （﹣2a3）2=4a6 C． （a﹣b）2=a2﹣b2 D． a3+a2=2a5
4．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B． （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C． x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D． x2y﹣y3=y（x2﹣y2）
5．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A． ∠B=∠E B． ∠C=∠F C． BC=EF D． AC=DF
6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A． SSS
B． ASA
C． AAS
D． 角平分线上的点到角两边距离相等
7．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A． 扩大4倍 B． 扩大2倍 C． 不变 D． 缩小2倍
8．若4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． 6 B． ±6 C． 12 D． ±12
9．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形C． 等腰三角形 D． 等边三角形
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，通过上述条件，我们不难发现：BD+CE=DE；如图2，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，根据图1所得的结论，试猜想BD，CE，DE之间存在什么关系？（ ）
A． BD﹣CE=DE B． BD+CE=DE C． CE﹣DE=BD D． 无法判断
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.
13．分解因式：16x4﹣1= ．
14．若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n= ．
15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正 边形．
16．等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 ．
17．如果分式的值为零，那么x= ．
18．若分式方程=无解，则a的值是 ．
三、解答题.本大题共8个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．①解方程：﹣1=
②计算：（3m+n）（3m﹣n）﹣3（m﹣n）2．
20．化简：÷．
21．阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
22．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上）
（1）画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 ．
提示：直线x=﹣l是过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
24．几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱．
小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
25．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
2022学年山东省德州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12分小题，满分36分.
1．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A． 3.1×10﹣9米 B． 3.1×109米 C． ﹣3.1×109米 D． 0.31×10﹣8米
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.0000000031=3.1×10﹣9，
故选：A．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 三角形的角平分线、中线和高．
专题： 作图题．
分析： 作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．
解答： 解：过点C作AB边的垂线，正确的是C．
故选：C．
点评： 本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．
3．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣（a﹣1）=﹣a﹣1 B． （﹣2a3）2=4a6 C． （a﹣b）2=a2﹣b2 D． a3+a2=2a5
考点： 完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．
专题： 常规题型．
分析： 根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、因为﹣（a﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；
B、（﹣2a3）2=4a6，正确；
C、因为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
D、因为a3与a2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．
4．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B． （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C． x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D． x2y﹣y3=y（x2﹣y2）
考点： 因式分解的意义．
分析： 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解答： 解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、还可以再分解，故D错误；
故选：C．
点评： 本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，分解要彻底．
5．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A． ∠B=∠E B． ∠C=∠F C． BC=EF D． AC=DF
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
解答： 解：A、正确，符合判定ASA；
B、正确，符合判定AAS；
C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；
D、正确，符合判定SAS．
故选C．
点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．
6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A． SSS
B． ASA
C． AAS
D． 角平分线上的点到角两边距离相等
考点： 全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
专题： 证明题．
分析： 连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
解答： 解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
7．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A． 扩大4倍 B． 扩大2倍 C． 不变 D． 缩小2倍
考点： 分式的基本性质．
分析： 把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：
==2•，
即分式的值扩大2倍．
故选：B．
点评： 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
8．若4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． 6 B． ±6 C． 12 D． ±12
考点： 完全平方式．
专题： 常规题型．
分析： 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
解答： 解：4x2﹣mxy+9y2=（2x）2﹣mxy+（3y）2，
∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣mxy=±2×2x×3y，
解得m=±12．
故选D．
点评： 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形
考点： 等边三角形的判定；轴对称的性质．
专题： 应用题．
分析： 根据轴对称的性质可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．
解答： 解：根据轴对称的性质可知，
OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．
点评： 主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等．
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 工程问题．
分析： 关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．
解答： 解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：．
故选：B．
点评： 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．
11．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，通过上述条件，我们不难发现：BD+CE=DE；如图2，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，根据图1所得的结论，试猜想BD，CE，DE之间存在什么关系？（ ）
A． BD﹣CE=DE B． BD+CE=DE C． CE﹣DE=BD D． 无法判断
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 由∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，易证得△BDF与△CEF是等腰三角形，继而可求得答案．
解答： 解：如图2，∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠1，
∵∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，
∴∠DBC=∠CBF，∠1=∠2，
∴∠DBC=∠DFB，∠EFC=∠2，
∴BD=DF，EF=CE，
∵DF=DE+EF，
∴BD=DE+CE．
即BD﹣CE=DE．
故选A．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解答： 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2015÷6=335…5，
∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，
点P的坐标为（1，4）．
故选：A．
点评： 本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.
13．分解因式：16x4﹣1= （4x2+1）（2x+1）（2x﹣1） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 直接利用平方差进而分解因式得出即可．
解答： 解：16x4﹣1
=（4x2+1）（4x2﹣1）
=（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
14．若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n= a3b2 ．
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解答： 解：32n=25n=b，
则23m+10n=23m•210n=a3•b2=a3b2．
故答案为：a3b2．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正 七 边形．
考点： 多边形内角与外角．
分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数．
解答： 解：设这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°=900°，
解得：n=7．
则这个正多边形是正七边形．
点评： 此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．
16．等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 50°或80° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
解答： 解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或80°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
17．如果分式的值为零，那么x= ﹣1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解答： 解：如果分式的值为零，则|x|﹣1=0．
解得x=1或﹣1．
x﹣1≠0，解得x≠1，
∴x=﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 分式值为0，那么需考虑分子为0，分母不为0．
18．若分式方程=无解，则a的值是 10或0 ．
考点： 分式方程的解．
分析： 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答： 解：方程两边都乘（x+5）（x﹣5），
得x+5=a，
解得x=a﹣5，
∵当x=±5时分母为0，方程无解，
即a﹣5=±5，
∴a=10或0．
故答案为：10或0．
点评： 本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．是需要识记的内容．
三、解答题.本大题共8个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．①解方程：﹣1=
②计算：（3m+n）（3m﹣n）﹣3（m﹣n）2．
考点： 解分式方程；整式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： ①分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
②原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
解答： 解：①去分母得：4﹣6x+2=3，
移项合并得：6x=3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解；
②原式=9m2﹣n2﹣3m2+6mn﹣3n2=6m2+6mn﹣4n2．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．化简：÷．
考点： 分式的混合运算．
分析： 利用分式的混合运算顺序求解即可．
解答： 解：÷
=×，
=•×，
=﹣．
点评： 本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是通分及约分．
21．阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
考点： 因式分解-十字相乘法等．
专题： 阅读型．
分析： 仿照上述的方法，将原式分解即可．
解答： 解：①x2+7x+10=（x+2）（x+5）；
②2y2﹣14y+24=2（y2﹣7y+12）=2（y﹣3）（y﹣4）．
点评： 此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
22．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上）
（1）画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 （﹣1，1） ．
提示：直线x=﹣l是过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线．
考点： 作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
分析： （1）分别作出点A、B、C关于直线l：x=﹣1的对称的点，然后顺次连接，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）作出点B关于x=﹣1对称的点B1，连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，此时BD+CD最小，写出点D的坐标．
解答： 解：（1）所作图形如图所示：
A1（3，1），B1（0，0），C1（1，3）；
（2）作出点B关于x=﹣1对称的点B1，
连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，
此时BD+CD最小，
点D坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
点评： 本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，并顺次连接．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题；压轴题．
分析： 方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．
方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．
解答： 证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE与△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF．
另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
24．几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱．
小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设小伙伴的人数为x人，根据题意可知，原价购买差一张票的钱，打六折剩余36元钱，据此列方程求解．
解答： 解：设小伙伴的人数为x人，
由题意得，×0.6x=180﹣36，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意．
答：小伙伴的人数为4人．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EOF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
解答： 解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
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