2022-2023学年山东省聊城市临清市、东阿县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省聊城市临清市、东阿县八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    “致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是(    )

A. 明十三陵 B. 布达拉宫
C. 天坛 D. 金銮殿

2.    在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列代数式中是分式的为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，≌，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    下列式子从左到右变形一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，是和的公共边，下列条件中不能判定≌的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.    为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

9.    如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在四边形中，，，、分别是、上的点，将沿着翻折，得到，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则：的值为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过秒时，与全等．注：点与不重合(    )

A.  B. 、 C. 、、 D. 、、

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 约分：______．
14. 已知等腰三角行两条边的长分别是和，则它的周长等于______ ．
15. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交与点，若，，则的长为______．

16. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是______．

17. 观察下面一列分式：，根据规律，它的第项是______．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    计算：
     
19. 本小题分
    化简求值：．
20. 本小题分
    如图，点，，，在同一直线上，，，线段与有什么数量关系？请说明理由．

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，．
    在图中作出关于轴的对称图形，并写出，，坐标；
    在轴上画出点，使最小．

22. 本小题分
    如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼，到智能垃圾分类投放点的距离相等，点到两条道路，的距离相等．
    请在图中利用尺规作图保留作图痕迹，不写作法，确定点的位置．

23. 本小题分
    如图，在中，是边上的一点，．
    若，求的度数．
    若，求的度数．

24. 本小题分
    如图，是的边上的高，点为上一点，且，．
    试说明；
    若，，求的面积．

25. 本小题分
    如图，在中，．
    
    如图，分别以，为边，向外作等边和等边，连接，，则______填“”“”或“”；
    如图，分别以，为腰，向内作等腰和等腰，且小于，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由；
    如图，以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点到直线的距离为，，求的长及点到直线的距离．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、有条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、有条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、有条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．为单项式，所以选项不符合题意；
B.为分式，所以选项符合题意；
C.为单项式，所以选项不符合题意；
D.为多项式，所以选项不符合题意；
故选：．
根据分式和整式的定义对各选项进行判断．
本题考查了分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

5.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质可得，再根据等式的性质可得．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、在和中，，
≌；
B、在和中，，
≌；
C、在和中，，
≌；
D、在和中，，，，无法证出≌．
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作于，

点到射线的距离为，
，
如图，

当点和点重合时，，此时是一个直角三角形；
如图，

当时，此时点的位置有两个，即有两个；
如图，

当时，此时是一个三角形；
所以的范围是或，
故选：．
先找出点的位置，再画出符合的所有情况即可．
本题考查了全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，
的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，
，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故选B．
首先连接，，由的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，可得，，又由在中，，，易证得是等边三角形，继而可得，即可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
将沿着翻折，得到，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得，，再利用四边形内角和定理可得答案．
本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，四边形内角和定理等知识，熟练掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
．
故选：．
过点作于，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求：的值．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点经过秒时，与全等；此时，
分情况讨论：
当点在点的左侧时，≌，则，
，
；
当点在点的右侧时，
≌，时，，
；
≌，时，，
．
综上所述，点经过、、秒时，与全等．
故选：．
设点经过秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出的值即可．
本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用分式的性质化简得出答案．
此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两边长分别是和，
当腰为时，三角形的周长为：；
当腰为时，，三角形不成立；
此等腰三角形的周长是．
故答案为．
分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
≌，
，，
又，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据平分，，证出≌，得到，即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
过点和分别作于，于，利用已知条件可证明≌，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．
【解答】
解：过点和点分别作于点，于点，

，
，，
，
在和中，

，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，，
，
则点的坐标是，
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：第一个是：；
第二个是：；
第三个是：，
，
故第项是：．
故答案为：．
先根据所给的分式找出规律，即可得出第项的表达式．
本题考查的是分式的定义，根据题意找出规律是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】根据分式的乘除法运算法则计算即可；
根据分式的乘法法则计算即可．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
理由如下：，
，
在和中，
，
≌，
，
，即． 

【解析】根据平行线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，

；；；
如图所示，点即为所求． 

【解析】分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可得；
作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求．
本题考查了作图轴对称变换，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作平分，垂直平分线段，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：，
，，
，
；
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等边对等角得出，，继而得出，即可求解；
根据等边对等角得出，，，继而得出，根据三角形的内角和定理即可解决问题．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
 

24.【答案】证明：为边上的高．
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，，
，
，
，
． 

【解析】利用定理判断出≌，根据全等三角形的性质即可得出结论．
由全等三角形的性质得出，，求出和的长，则可求出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：和为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
，理由如下：
和为等腰三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
．
和为等腰三角形，且，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
设到直线的距离为，
点到直线的距离为，，
，
，
即到直线的距离为．
由等边三角形的性质得，，，再证≌，即可得出结论；
由等腰三角形的性质得得出，，，再由证≌，即可得出结论；
由等腰三角形的性质得，，，再由证≌，得，然后由三角形面积公式即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．