【解析版】深圳市北环中学2022年八年级下期中数学试卷

这是一份【解析版】深圳市北环中学2022年八年级下期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省深圳市北环中学2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，只有一个正确答案）
1．（3分）若m＜n，则下列不等式中一定成立的是（）
A． m+1＞n+1 B． ﹣m＜﹣n C． D． ma＜na

2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．

3．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）
A． （x+3y）（x﹣3y）=x2﹣9y B． x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
C． 3x2+6x﹣1=3x（x+2）﹣1 D． （x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2

4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A． B． C． D．

5．（3分）下列语句中不正确的是（）
A． 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B． 有两边对应相等的两个直角三角形全等
C． 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D． 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）

A． ∠B=∠C B． AD⊥BC C． AD平分∠BAC D． AB=2BD

7．（3分）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）

A． HL B． AAS C． SSS D． ASA

8．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（）

A． 23cm B． 28cm C． 13cm D． 18cm

9．（3分）如图，∠MON=60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP=4，则PQ的最小值为（）

A． B． 4 C． 2 D．

10．（3分）已知点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围为（）
A． a＜1 B． ﹣2＜a＜1 C． a＜﹣2 D． ﹣2≤a≤1

11．（3分）若不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解是（）
A． y=﹣1 B． y=﹣2 C． y=1 D． y=2

12．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）

A． （）n•75° B． （）n﹣1•65° C． （）n﹣1•75° D． （）n•85°


二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是．

14．（3分）若m﹣n=3，mn=﹣2，则2m2n﹣2mn2+1的值为．

15．（3分）已知函数y1=k1x+b1与函数y2=k2x+b2的图象如图所示，则不等式y1＜y2的解集是．


16．（3分）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．



三、解答题（共52分）
17．（8分）分解因式
（1）a3﹣2a2b+ab2
（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）

18．（5分）在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4经过点P（2，﹣8），求关于x的不等式kx+4≥0的解集，并求出它的非负整数解．

19．（6分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．

20．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．


21．（8分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=6，BD=8，求ED的长．


22．（8分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买电视机一台，价格不低于5500元且不高于6500元，请你分析他应该选择哪种方案才更省钱？

23．（10分）已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B，
（1）如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC，连接DE，求证：AB=AC+CD．
（2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．




广东省深圳市北环中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，只有一个正确答案）
1．（3分）若m＜n，则下列不等式中一定成立的是（）
A． m+1＞n+1 B． ﹣m＜﹣n C． D． ma＜na

考点： 不等式的性质．
分析： 根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．
解答： 解：A、∵m＜n，∴m+1＜n+1，故本选项错误；
B、∵m＜n，∴﹣m＞﹣n，故本选项错误；
C、∵m＜n，∴，故本选项正确；
D、当a=0时，ma=na，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的三种性质是解答此题的关键．

2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

3．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）
A． （x+3y）（x﹣3y）=x2﹣9y B． x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
C． 3x2+6x﹣1=3x（x+2）﹣1 D． （x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2

考点： 因式分解的意义．
分析： 根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．
解答： 解：A、（x+3y）（x﹣3y）=x2﹣9y是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）是因式分解，故本选项正确；
C、3x2+6x﹣1=3x（x+2）﹣1结果不是整式的积的形式，因而不是因式分解，故本选项错误；
D、（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误．
故选B
点评： 本题主要考查了因式分解的意义，正确理解定义是关键．把一个多项式分解为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做因式分解．

4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A． B． C． D．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解答： 解：由得：x≤2．由2﹣x＜3得：x＞﹣1．所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故选C．
点评： 此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

5．（3分）下列语句中不正确的是（）
A． 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B． 有两边对应相等的两个直角三角形全等
C． 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D． 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

考点： 直角三角形全等的判定．
分析： 根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．
解答： 解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．
故选C．
点评： 本题考查的是直角三角形全等的判定，熟知直角三角形的性质及HL、ASA定理是解答此题的关键．

6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）

A． ∠B=∠C B． AD⊥BC C． AD平分∠BAC D． AB=2BD

考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 此题需对第一个选项进行验证从而求解．
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质

7．（3分）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）

A． HL B． AAS C． SSS D． ASA

考点： 直角三角形全等的判定；角平分线的性质．
分析： 利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．
解答： 解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，
又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．
故选A．
点评： 此题考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形．

8．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（）

A． 23cm B． 28cm C． 13cm D． 18cm

考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解
解答： 解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
又∵AE=5cm，
∴AC=2AE=2×5=10cm，
∴△ABC的周长=18+10=28cm，
故选B．
点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．

9．（3分）如图，∠MON=60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP=4，则PQ的最小值为（）

A． B． 4 C． 2 D．

考点： 角平分线的性质．
分析： 根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
解答： 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ，
∵∠AOP=∠MON=30°，
∴OP=2，
∴PQ=2，
故选C．

点评： 此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q的位置是解题的关键．

10．（3分）已知点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围为（）
A． a＜1 B． ﹣2＜a＜1 C． a＜﹣2 D． ﹣2≤a≤1

考点： 点的坐标；解一元一次不等式组．
分析： 根据第二象限内点的坐标符号可得，再解不等式组即可．
解答： 解：由题意得，
①得：a＜1，
由②得：a＞﹣2，
不等式组的解集为：﹣2＜a＜1．
故选：B．
点评： 此题主要考查了点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号．

11．（3分）若不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解是（）
A． y=﹣1 B． y=﹣2 C． y=1 D． y=2

考点： 解一元一次方程；不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 根据已知不等式解集确定出a的值，代入方程计算即可求出y的值．
解答： 解：∵不等式ax﹣2＞0，即ax＞2的解集为x＜﹣2，
∴a=﹣1，
代入方程得：﹣y+2=0，
解得：y=2，
故选D．
点评： 此题考查了解一元一次方程，以及不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）

A． （）n•75° B． （）n﹣1•65° C． （）n﹣1•75° D． （）n•85°

考点： 等腰三角形的性质．
专题： 规律型．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
解答： 解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得，
∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．
故选：C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是3a2b2．

考点： 公因式．
分析： 在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低指数次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．
解答： 解：∵3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c=3a2b2（1﹣2aba﹣4c），
∴多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是3a2b2．
故答案为：3a2b2．
点评： 本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，特别注意通常首项系数应为正数．

14．（3分）若m﹣n=3，mn=﹣2，则2m2n﹣2mn2+1的值为﹣11．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 直接提取公因式2mn，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵2m2n﹣2mn2+1
=2mn（m﹣n）+1
将m﹣n=3，mn=﹣2代入得：
原式=2mn（m﹣n）+1
=2×（﹣2）×3+1
=﹣11．
故答案为：﹣11．
点评： 此题主要考查了提取公因式法的应用以及代数式求值，正确找出公因式是解题关键．

15．（3分）已知函数y1=k1x+b1与函数y2=k2x+b2的图象如图所示，则不等式y1＜y2的解集是x＜1．

考点： 一次函数与一元一次不等式．
分析： 由于不等式y1＜y2的解集即为函数y1=k1x+b1的值小于y2=k2x+b2的值时x的取值范围，据图即可做出解答．
解答： 解：不等式y1＜y2的解集即为函数y1=k1x+b1的值小于y2=k2x+b2的值时x的取值范围，
由图可知x＜1时，不等式y1＜y2成立，
故答案为x＜1．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值的大小的问题是解决本题的关键．

16．（3分）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．


考点： 旋转的性质．
专题： 压轴题．
分析： 利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，从而得到OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E=2EF，然后根据B′E=A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
解答： 解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB===3，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3，
∵点E为BO的中点，
∴OE=BO=×6=3，
∴OE=A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′=×3•OF=×3×6，
解得OF=，
在Rt△EOF中，EF===，
∵OE=A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E=2EF=2×=（等腰三角形三线合一），
∴B′E=A′B′﹣A′E=3﹣=．
故答案为：．

点评： 本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．

三、解答题（共52分）
17．（8分）分解因式
（1）a3﹣2a2b+ab2
（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： （1）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：（1）原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2；
（2）原式=（x2﹣y2）（m﹣n）=（x+y）（x﹣y）（m﹣n）．
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

18．（5分）在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4经过点P（2，﹣8），求关于x的不等式kx+4≥0的解集，并求出它的非负整数解．

考点： 一次函数与一元一次不等式；一元一次不等式的整数解．
分析： 先把点P（2，﹣8）的坐标代入直线解析式求出k的值，从而得到直线解析式y=﹣2x﹣4，再解不等式﹣2x﹣4≥0，求出解集，然后在解集中找出非负整数解即可．
解答： 解：∵直线y=kx﹣4经过点P（2，﹣8），
∴2k﹣4=﹣8，解得k=﹣2，
∴不等式kx+4≥0为﹣2x+4≥0，解得x≤2，
∴不等式的解集为x≤2，
∴非负整数解为x=0，1，2．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，根据点在直线上，把点P的坐标代入直线解析式求出k的值是解题的关键．

19．（6分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解答： 解：，
解不等式①得，x≤﹣1，
解不等式②，4x＜3x+3，
x＜3，
在数轴上表示如下：

所以，不等式组的解集是x≤﹣1．
点评： 本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

20．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．


考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： （1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
解答： 解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；

（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．

点评： 此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．

21．（8分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=6，BD=8，求ED的长．


考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： （1）根据等腰直角三角形性质求出AC=BC，EC=DC，∠B=∠CAB=45°，求出∠ACE=∠BCD=90°﹣∠ACD，根据全等三角形的判定推出即可．
（2）根据全等推出∠CAE=∠B，AE=BD=8，求出∠EAD=90°，根据勾股定理求出即可．
解答： （1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，
∴AC=BC，EC=DC，∠B=∠CAB=45°，∠ACE=∠BCD=90°﹣∠ACD，
在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B，AE=BD=8，
∵∠CAB=∠B=45°，
∴∠EAD=45°+45°=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：ED===10．
点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△ACE≌△BCD和求出∠EAD=90°，难度适中．

22．（8分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买电视机一台，价格不低于5500元且不高于6500元，请你分析他应该选择哪种方案才更省钱？

考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据题意列代数式即可得到两方案中y关于x的函数解析式；
（2）列方程和不等式，即可解决方案选择．
解答： 解：（1）方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300；
（2）由0.95x=0.9x+300，解得x=6000；
由0.95x＞0.9x+300，x＞6000；
由0.95x＜0.9x+300，x＜6000；
又∵电视机的价格不低于5500元且不高于6500元，
∴当5500≤x＜6000时，应选择方案一较省钱；
当x=6000时，方案一方案二费用相同；
当6000＜x≤6500时，应选择方案二更省钱．
点评： 本题考查了一次函数与方程以及不等式的关系选择方案问题，分三种情况讨论分析进行选择．

23．（10分）已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B，
（1）如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC，连接DE，求证：AB=AC+CD．
（2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．


考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： （1）由AD为∠BAC的角平分线，得到∠EAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD，得到ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，由于∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，∠BDE=45°，∠B=∠BDE，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，于是得到结论；
（2）如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解；
（3）如图3，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解．
解答： 证明：（1）∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED与△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，
又∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；

（2）结论：还成立．
理由：如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；

（3）猜想：AB+AC=CD．
证明：如图，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED与△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD，
∴∠FED=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED，
∴EA+AB=EB=ED=CD，
∴AC+AB=CD．



点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．