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【解析版】贵州省黔东南州2022年八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】贵州省黔东南州2022年八年级上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了下列分式是最简分式的是，若分式的值为零，则x的值是，若分式有意义，则a的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2022学年贵州省黔东南州八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1，2，3 B． 4，5，9 C． 6，8，10 D． 5，15，8
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A． ∠B=∠C，BD=DC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． BD=DC，AB=AC
4．下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A． 六边形 B． 七边形 C． 八边形 D． 九边形
6．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A． 2或﹣2 B． 2 C． ﹣2 D． 4
7．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
8．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根
9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
10．若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． a=0 B． a=1 C． a≠﹣1 D． a≠0
11．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B． （a2）3=a5 C． （a2b）2=a2b2 D． （﹣a）6÷a=a5
12．如果=，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x= ．
14．若分式方程：有增根，则k= ．
15．已知x+y=6，xy=﹣2，则= ．
16．已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b= ．
17．当a=3，a﹣b=﹣1时，a2﹣ab的值是 ．
18．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
19．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．
20．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
三．解答题（共10小题，满分82分）
21．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣．
22．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
23．解方程：=．
24．如图，AB=DE，BE=CF，AB∥DE．求证：∠A=∠D．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
26．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．
27．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
28．解方程：
①的解x= ．
②的解x= ．
③的解x= ．
④的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
29．海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．
30．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
2022学年贵州省黔东南州八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1，2，3 B． 4，5，9 C． 6，8，10 D． 5，15，8
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形任意两边之和都大于第三边逐个判断即可．
解答： 解：A、1+2=3，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、4+5=9，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、6+8＞10，6+10＞8，8+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
D、5+8＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式．
分析： 要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．
解答： 解：A.不能约分，是最简分式，
B.=，
C.=，
D.=﹣1，
故选：A．
点评： 此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
3．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A． ∠B=∠C，BD=DC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． BD=DC，AB=AC
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
解答： 解：A、∠B=∠C，BD=CD，再加公共边AD=AD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、∠ADB=∠ADC，BD=DC再加公共边AD=AD可利用SAS定理进行判定，故此选项不合题意；
C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD再加公共边AD=AD可利用AAS定理进行判定，故此选项不合题意；
D、BD=DC，AB=AC，再加公共边AD=AD可利用SSS定理进行判定，故此选项不合题意；
故选A．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
分析： 第一个、第二个、第四个均可以直接连接做对称轴．第四个要做出两条对角线取其中点作对称轴
解答： 解：如图所示：
故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握对称轴的定义．
5．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A． 六边形 B． 七边形 C． 八边形 D． 九边形
考点： 多边形内角与外角．
分析： 设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
解答： 解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°=1080°，
∴n=8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选C．
点评： 根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A． 2或﹣2 B． 2 C． ﹣2 D． 4
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
解答： 解：由x2﹣4=0，得x=±2．
当x=2时，x2﹣x﹣2=22﹣2﹣2=0，故x=2不合题意；
当x=﹣2时，x2﹣x﹣2=（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2=4≠0．
所以x=﹣2时分式的值为0．
故选C．
点评： 分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
7．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M．
解答： 解：根据轴对称确定最短路线问题，B选项图形方案符合．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键．
8．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根
考点： 三角形的稳定性．
专题： 存在型．
分析： 根据三角形的稳定性进行解答即可．
解答： 解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
点评： 本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
考点： 等边三角形的性质；多边形内角与外角．
专题： 探究型．
分析： 本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解答： 解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
点评： 本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题
10．若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． a=0 B． a=1 C． a≠﹣1 D． a≠0
考点： 分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据分式有意义的条件进行解答．
解答： 解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠﹣1．
故选C．
点评： 本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
11．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B． （a2）3=a5 C． （a2b）2=a2b2 D． （﹣a）6÷a=a5
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
分析： 根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的除法法则求解．
解答： 解：A、a2•a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a2b）2=a4b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（﹣a）6÷a=a5，原式计算正确，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的除法运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
12．如果=，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 比例的性质．
分析： 根据分比性质，可得答案．
解答： 解：=，由分比性质，得
=，
由反比性质，得=，
故选：C．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了分比性质，反比性质．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x= x（x+2）（x﹣6） ．
考点： 因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．
分析： 首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．
解答： 解：x3﹣4x2﹣12x
=x（x2﹣4x﹣12）
=x（x+2）（x﹣6）．
故答案为：x（x+2）（x﹣6）．
点评： 此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．
14．若分式方程：有增根，则k= 1 ．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可．
解答： 解：∵，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，
整理得：（2﹣k）x=2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2=0，
解得：x=2，
把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目．
15．已知x+y=6，xy=﹣2，则= 10 ．
考点： 分式的化简求值．
分析： 把分式整理成含x+y、xy的形式，再整体代入计算．
解答： 解：=，
∵x+y=6，xy=﹣2，
∴原式==．
点评： 此题的关键是根据题意把分式整理成含x+y、xy的形式．
16．已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b= ﹣5 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 首先根据关于y轴对称点的坐标特点可得2a+b=﹣8，b=﹣2，再解方程可得a、b的值，进而得到答案．
解答： 解：∵点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，
∴2a+b=﹣8，b=﹣2，
解得：a=﹣3，
则a+b=﹣3﹣2=﹣5．
故答案为：﹣5．
点评： 此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
17．当a=3，a﹣b=﹣1时，a2﹣ab的值是 ﹣3 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 直接提取公因式，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵a=3，a﹣b=﹣1，
∴a2﹣ab=a（a﹣b）=3×（﹣1）=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
18．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解答： 解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
19．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 50 度．
考点： 三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=∠ACE，
∴∠A=∠ACE=×100°=50°．
故答案为：50．
点评： 本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
20．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2m+4 ．
考点： 平方差公式的几何背景．
专题： 压轴题．
分析： 根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解答： 解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x=2m+4．
故答案为：2m+4．
点评： 本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分82分）
21．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣．
考点： 整式的加减—化简求值．
分析： 首先根据整式的加减运算法则将原式化简，然后把给定的值代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
解答： 解：原式=15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b=﹣8ab2，
当a=，b=﹣时，原式=﹣8××=﹣．
点评： 熟练地进行整式的加减运算，并能运用加减运算进行整式的化简求值．
22．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
考点： 因式分解的应用；整式的加减．
专题： 开放型．
分析： 本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
解答： 解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
23．解方程：=．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．如图，AB=DE，BE=CF，AB∥DE．求证：∠A=∠D．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先证得BC=EF，根据平行线的性质证得∠B=∠DEF，根据SAS即可证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可证得．
解答： 解：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+DE，
即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个角相等常用的方法是转化成三角形全等．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案．
解答：解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠AEB=180°﹣20°﹣20°=140°．
点评： 本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是得出关于∠B的方程，题目比较好，难度适中．
26．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的性质；全等三角形的判定．
分析： （1）要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．
（2）延长AD，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．
解答： 证明：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．
点评： 利用等腰三角形的性质，可以证得线段和角相等，为证明全等和相似奠定基础，从而进行进一步的证明．
27．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
解答： 证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．
28．解方程：
①的解x= 0 ．
②的解x= 1 ．
③的解x= 2 ．
④的解x= 3 ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
考点：解分式方程．
专题： 计算题；规律型．
分析： （1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4，第6个式子的解是x=5．
（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n﹣1．
解答： 解：①x=0②x=1③x=2④x=3．
（1）第⑤个方程：解为x=4．
第⑥个方程：解为x=5．
（2）第n个方程：解为x=n﹣1．
方程两边都乘x+1，得n=2n﹣（x+1）．
解得x=n﹣1．
点评： 解决本题的关键是根据所给的条件，找到相同的部分，以及不同的部分与第n个式子的联系．
29．海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．
考点： 分式方程的应用．
专题： 阅读型．
分析： 本题用到的关系式为：总金额=单价×数量，等量关系为：三通前购买的苹果数量+20000=今年购买的苹果的数量．
解答： 解：设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为x元/公斤，则该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格为2x元/公斤，
根据题意列方程得：．
解得：x=2.5．
经检验：x=2.5是原方程的根．
当x=2.5时，2x=5．
答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/公斤．
点评： 列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
30．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
解答： 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，
根据题意得：（+）×15+=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天），
则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．
答：该工程的费用为180000元．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
2022学年贵州省黔东南州八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1，2，3 B． 4，5，9 C． 6，8，10 D． 5，15，8
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A． ∠B=∠C，BD=DC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． BD=DC，AB=AC
4．下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A． 六边形 B． 七边形 C． 八边形 D． 九边形
6．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A． 2或﹣2 B． 2 C． ﹣2 D． 4
7．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
8．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根
9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
10．若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． a=0 B． a=1 C． a≠﹣1 D． a≠0
11．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B． （a2）3=a5 C． （a2b）2=a2b2 D． （﹣a）6÷a=a5
12．如果=，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x= ．
14．若分式方程：有增根，则k= ．
15．已知x+y=6，xy=﹣2，则= ．
16．已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b= ．
17．当a=3，a﹣b=﹣1时，a2﹣ab的值是 ．
18．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
19．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．
20．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
三．解答题（共10小题，满分82分）
21．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣．
22．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
23．解方程：=．
24．如图，AB=DE，BE=CF，AB∥DE．求证：∠A=∠D．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
26．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．
27．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
28．解方程：
①的解x= ．
②的解x= ．
③的解x= ．
④的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
29．海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．
30．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
2022学年贵州省黔东南州八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1，2，3 B． 4，5，9 C． 6，8，10 D． 5，15，8
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形任意两边之和都大于第三边逐个判断即可．
解答： 解：A、1+2=3，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、4+5=9，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、6+8＞10，6+10＞8，8+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
D、5+8＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式．
分析： 要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．
解答： 解：A.不能约分，是最简分式，
B.=，
C.=，
D.=﹣1，
故选：A．
点评： 此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
3．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A． ∠B=∠C，BD=DC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． BD=DC，AB=AC
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
解答： 解：A、∠B=∠C，BD=CD，再加公共边AD=AD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、∠ADB=∠ADC，BD=DC再加公共边AD=AD可利用SAS定理进行判定，故此选项不合题意；
C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD再加公共边AD=AD可利用AAS定理进行判定，故此选项不合题意；
D、BD=DC，AB=AC，再加公共边AD=AD可利用SSS定理进行判定，故此选项不合题意；
故选A．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
分析： 第一个、第二个、第四个均可以直接连接做对称轴．第四个要做出两条对角线取其中点作对称轴
解答： 解：如图所示：
故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握对称轴的定义．
5．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A． 六边形 B． 七边形 C． 八边形 D． 九边形
考点： 多边形内角与外角．
分析： 设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
解答： 解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°=1080°，
∴n=8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选C．
点评： 根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A． 2或﹣2 B． 2 C． ﹣2 D． 4
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
解答： 解：由x2﹣4=0，得x=±2．
当x=2时，x2﹣x﹣2=22﹣2﹣2=0，故x=2不合题意；
当x=﹣2时，x2﹣x﹣2=（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2=4≠0．
所以x=﹣2时分式的值为0．
故选C．
点评： 分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
7．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M．
解答： 解：根据轴对称确定最短路线问题，B选项图形方案符合．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键．
8．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根
考点： 三角形的稳定性．
专题： 存在型．
分析： 根据三角形的稳定性进行解答即可．
解答： 解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
点评： 本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
考点： 等边三角形的性质；多边形内角与外角．
专题： 探究型．
分析： 本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解答： 解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
点评： 本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题
10．若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． a=0 B． a=1 C． a≠﹣1 D． a≠0
考点： 分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据分式有意义的条件进行解答．
解答： 解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠﹣1．
故选C．
点评： 本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
11．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B． （a2）3=a5 C． （a2b）2=a2b2 D． （﹣a）6÷a=a5
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
分析： 根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的除法法则求解．
解答： 解：A、a2•a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a2b）2=a4b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（﹣a）6÷a=a5，原式计算正确，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的除法运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
12．如果=，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 比例的性质．
分析： 根据分比性质，可得答案．
解答： 解：=，由分比性质，得
=，
由反比性质，得=，
故选：C．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了分比性质，反比性质．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x= x（x+2）（x﹣6） ．
考点： 因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．
分析： 首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．
解答： 解：x3﹣4x2﹣12x
=x（x2﹣4x﹣12）
=x（x+2）（x﹣6）．
故答案为：x（x+2）（x﹣6）．
点评： 此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．
14．若分式方程：有增根，则k= 1 ．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可．
解答： 解：∵，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，
整理得：（2﹣k）x=2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2=0，
解得：x=2，
把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目．
15．已知x+y=6，xy=﹣2，则= 10 ．
考点： 分式的化简求值．
分析： 把分式整理成含x+y、xy的形式，再整体代入计算．
解答： 解：=，
∵x+y=6，xy=﹣2，
∴原式==．
点评： 此题的关键是根据题意把分式整理成含x+y、xy的形式．
16．已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b= ﹣5 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 首先根据关于y轴对称点的坐标特点可得2a+b=﹣8，b=﹣2，再解方程可得a、b的值，进而得到答案．
解答： 解：∵点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，
∴2a+b=﹣8，b=﹣2，
解得：a=﹣3，
则a+b=﹣3﹣2=﹣5．
故答案为：﹣5．
点评： 此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
17．当a=3，a﹣b=﹣1时，a2﹣ab的值是 ﹣3 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 直接提取公因式，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵a=3，a﹣b=﹣1，
∴a2﹣ab=a（a﹣b）=3×（﹣1）=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
18．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解答： 解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
19．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 50 度．
考点： 三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=∠ACE，
∴∠A=∠ACE=×100°=50°．
故答案为：50．
点评： 本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
20．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2m+4 ．
考点： 平方差公式的几何背景．
专题： 压轴题．
分析： 根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解答： 解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x=2m+4．
故答案为：2m+4．
点评： 本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分82分）
21．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣．
考点： 整式的加减—化简求值．
分析： 首先根据整式的加减运算法则将原式化简，然后把给定的值代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
解答： 解：原式=15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b=﹣8ab2，
当a=，b=﹣时，原式=﹣8××=﹣．
点评： 熟练地进行整式的加减运算，并能运用加减运算进行整式的化简求值．
22．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
考点： 因式分解的应用；整式的加减．
专题： 开放型．
分析： 本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
解答： 解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
23．解方程：=．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．如图，AB=DE，BE=CF，AB∥DE．求证：∠A=∠D．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先证得BC=EF，根据平行线的性质证得∠B=∠DEF，根据SAS即可证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可证得．
解答： 解：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+DE，
即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个角相等常用的方法是转化成三角形全等．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案．
解答：解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠AEB=180°﹣20°﹣20°=140°．
点评： 本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是得出关于∠B的方程，题目比较好，难度适中．
26．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的性质；全等三角形的判定．
分析： （1）要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．
（2）延长AD，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．
解答： 证明：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．
点评： 利用等腰三角形的性质，可以证得线段和角相等，为证明全等和相似奠定基础，从而进行进一步的证明．
27．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
解答： 证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．
28．解方程：
①的解x= 0 ．
②的解x= 1 ．
③的解x= 2 ．
④的解x= 3 ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
考点：解分式方程．
专题： 计算题；规律型．
分析： （1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4，第6个式子的解是x=5．
（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n﹣1．
解答： 解：①x=0②x=1③x=2④x=3．
（1）第⑤个方程：解为x=4．
第⑥个方程：解为x=5．
（2）第n个方程：解为x=n﹣1．
方程两边都乘x+1，得n=2n﹣（x+1）．
解得x=n﹣1．
点评： 解决本题的关键是根据所给的条件，找到相同的部分，以及不同的部分与第n个式子的联系．
29．海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．
考点： 分式方程的应用．
专题： 阅读型．
分析： 本题用到的关系式为：总金额=单价×数量，等量关系为：三通前购买的苹果数量+20000=今年购买的苹果的数量．
解答： 解：设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为x元/公斤，则该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格为2x元/公斤，
根据题意列方程得：．
解得：x=2.5．
经检验：x=2.5是原方程的根．
当x=2.5时，2x=5．
答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/公斤．
点评： 列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
30．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
解答： 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，
根据题意得：（+）×15+=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天），
则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．
答：该工程的费用为180000元．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
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