高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

任意角

[课程目标] 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角，了解象限角的概念；2.理解并掌握终边相同角的概念，能写出终边相同角组成的集合．

知识点一　任意角

1．角的概念：角可以看成__一条射线__绕着它的__端点__旋转所成的图形．

2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

　　[研读]角的概念中，“旋转”是关键，要注意旋转方向和旋转量的大小．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)零角的始边与终边重合．(　√　)

(2)始边与终边重合的角是零角．(　×　)

(3)360°角是指一条射线绕其端点逆时针旋转一周所得的图形．(　√　)

(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90°.(　×　)

【解析】 (1)符合零角的概念．

(2)始边与终边重合的角不一定是零角，也可以是其他角，如720°角的始边与终边重合．

(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了－90°.

知识点二　象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是

__第几象限角__．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

[研读]象限角满足的条件：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边不在坐标轴上．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)－50°角是第四象限角．(　√　)

(2)钝角是第二象限的角．(　√　)

(3)180°角不是象限角．(　√　)

(4)第一象限角都是锐角．(　×　)

【解析】 (4)第一象限角不一定都是锐角，如－300°是第一象限角，但不是锐角．

知识点三　终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|__β＝α＋k·360°，k∈Z__}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__整数个周角__的和．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)终边落在同一条射线上的角有无数个．(　√　)

(2)30°角与－330°角的终边相同．(　√　)

(3)角α与角β的终边相同，则α＋β＝360°.(　×　)

(4)若α＝β＋180°，则角α与角β的终边相反．(　√　)

【解析】 (1)根据终边相同的角的概念知说法正确．

(3)角α与角β的终边相同，则α－β＝k·360°(k∈Z).

 下列结论中正确的是__②__．(填序号)

①三角形的内角必是第一、二象限角；

②始边相同而终边不同的角一定不相等；

③小于90°的角为锐角；

④第三象限角大于第二象限角；

⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．

【解析】 90°角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；

始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；

小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；

终边落在第三象限的角可以是正角，也可以是负角，终边落在第二象限的角可以是正角也可以是负角，故④不正确；

0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．

活学活用

设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　D　)

A．B⊆C⊆A

B．B⊆A⊆C

C．D⊆

D．C∩D＝B

【解析】 小于90°的角、锐角、第一象限角及小于90°而不小于0°的角的范围，如下表所示．

所以C∩D＝B.

 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

活学活用

给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角．其中真命题有(　D　)

A．1个    B．2个

C．3个    D．4个

【解析】 对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角，正确；

对于②：如图2所示，225°角是第三象限角，正确；

对于③：如图3所示，475°角是第二象限角，正确；

对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角，正确．

【迁移探究】已知α是第四象限角，则角所在的象限是__第二或第四象限__．

【解析】 因为α是第四象限角，

所以k·360°－90°<α<k·360°(k∈Z)，

所以k·180°－45°<<k·180°(k∈Z).当k为偶数时，是第四象限角；当k为奇数时，是第二象限角．所以角在第二或第四象限．

 已知θ＝－290°.

(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求α，使α与θ终边相同，且－1 000°<α<－300°.

解：(1)因为θ＝－290°＝－360°＋70°.所以把θ改写成

k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为θ＝－360°＋70°，

它是第一象限角．

(2)与－290°角终边相同的角为α＝k·360°＋70°(k∈Z)，

由－1 000°<k·360°＋70°<－300°，得－107<36k<－37.

因为k∈Z，所以k＝－2，此时α＝－650°.

即所求满足条件的α为－650°.

[规律方法]

1．终边落在直线上的角的集合的步骤：

(1)写出在0°～360°范围内相应的角；

(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；

(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．

2．终边相同角常用的三个结论：

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．

(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．

活学活用

如图，α，β分别是终边在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.

(1)求终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合；

(2)求终边在阴影部分(不包括边界)，且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合．

解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°＜γ＜k·360°＋60°，k∈Z}．

(2){θ|0°≤θ＜60°或315°＜θ≤360°}．

1．下列说法正确的是(　A　)

A．锐角是第一象限角

B．第二象限角是钝角

C．第三象限角都大于180°

D．第四象限角是负角

【解析】 根据象限角的概念知，只有选项A正确．

2．与－390°终边相同的最小正角是(　D　)

A．－210°    B．30°

C．60°    D．330°

【解析】 与－390°终边相同的角是α＝k·360°－390°，k∈Z，当k＝2 时，α＝330°，即330°为最小正角．

3．与－60°角终边相同的角的集合是(　B　)

A．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}

B．{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}

C．{α|α＝k·360°－120°，k∈Z}

D．{α|α＝k·360°－300°，k∈Z}

【解析】 因为300°＝360°－60°，所以300°角与－60°角的终边相同，所以与－60°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．

4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　C　)

5．已知α＝－1 120°.

(1)把α写成k ·360°＋β(k∈Z)的形式，其中0°≤β＜360°；

(2)写出与角α终边相同的角θ的集合，并求出适合不等式－720°≤θ＜0°的角θ.

解：(1)用－1 120°除以360°，商为－4，余数为320°，

∴α＝－4×360°＋320°.

(2)与角α＝－1 120°终边相同的角的集合是

{α|α＝k·360°＋320°，k∈Z}．

解法一：(赋值法)由所求角θ的范围，可得：

当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°，

当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°，

故θ＝－400°或－40°.

解法二：(不等式法)由－720°≤k·360°＋320°<0°，得

－≤k<－，k∈Z，∴k＝－2或－1.∴θ＝－400°或－40°.