高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用课文配套课件ppt

这是一份高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用课文配套课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了必备知识生成，水平面，水平宽度，关键能力探究，核心知识，核心素养，方法总结，易错提醒，数学问题，课堂素养达标等内容，欢迎下载使用。
【知识生成】　实际测量问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_____(如图(1)).(2)方位角指从正北方向___时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(2)).
(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等.
(4)坡角与坡度:坡面与_______所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_________之比叫坡度 如图.
探究点一　测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离【典例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.
【思维导引】在三角形中由正弦定理计算距离.【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得, 所以AB= 即A,B两点间的距离为20 m.
【类题通法】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【定向训练】　如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位: km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为__________ km. 
【解析】在△ACD中,由余弦定理得cs D= 在△ABC中,由余弦定理得cs B=
又因为∠B与∠D互补,所以cs B=-cs D,即 解得AC=7.答案:7
探究点二　测量都不可到达的两个点之间的距离【典例2】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(　　)
A.30( +1)mB.120( -1)mC.180( -1)mD.240( -1)m
【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由 =tan75°=tan(45°+30°)= 得到OB= 在Rt△AOC中,由 =tan30°= 得到OC= =60 ,
所以河流的宽度BC等于OC-OB=60 -60(2- )=120( -1)m.
方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cs 45°+cs 30°sin 45°= 所以AB=
在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理,得 得BC=
【类题通法】解三角形的注意事项(1)根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算.(2)优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值能计算 sin 15°= 等.
【定向训练】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D的距离.(计算结果用根号表示)
【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.
【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∠ACB=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,在△ABC中, 即AB=
因此,BD= .故B,D的距离为 km.
【补偿训练】　　　如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.
【解题指南】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,然后在△ABD中由余弦定理求得AB.
【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得: 解得AD=
在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD= CD=40 (海里).在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠ADB=800+3 200-2×20 ×40 × =2 400,解得AB=20 (海里).
探究点三　有关距离的综合问题【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+ )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间?
【思维导引】已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.观察CD所在的三角形,有△ACD和△BCD,确定用△BCD来求CD.
【解析】由题意知AB=5(3+ )海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△ADB中,由正弦定理得所以DB=
又因为∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=20 海里,所以在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcs ∠DBC=300+1 200-2×10 ×20 × =900,
所以CD=30(海里),所以需要的时间t= =1(小时),即救援船到达D点至少需要1小时.
【类题通法】航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向解三角形转化.
【定向训练】1.若本例条件不变,该救援船应沿东偏北多少度的方向去营救?
【解析】由本例解析知在△BCD中,DB=10 ,BC=20 ,CD=30,故DB2+CD2=BC2.所以∠CDB=90°,又因为∠CBD=60°.所以∠DCB=30°.过C作AB的平行线CE,
即∠BCE=∠CBA=30°,所以∠DCE=60°.故该救援船应沿东偏北60°的方向去营救.
2.本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?【解析】设救援船的速度为v海里/小时,由本例解析求得CD=30海里,由 得v≥45.即救援船的最小速度为45海里/小时.
余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语；2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求距离；4.数学模型：在适当的三角形中解距离。
1 解决应用题的思想方法 把实际问题转化为数学问题2.求解三角形应用题的一般步骤（1）审题（分析题意，根据题意，画出示意图）（2）建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）（4）还原。
1.选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解2.若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解
1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=30°,则A,B间的距离应为(　　)A.6米　　　B.4 米　　　C.6 米　　　D.12 米【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan 30°= ,得AB=ACtan 30°=4 (米).
2.如图,已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,测得AB=3 km,B=45°,C=30°,则A,C两地的距离为(　　)A.3 kmB.4 kmC.3 km D.5 km
【解析】选C.根据题意,由正弦定理可得 代入数值得 解得AC=3 .
3.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔船的最短时间是________. 【解析】如图,设经过t小时渔船和舰艇同时到达B处,此即为舰艇到达渔船的最短时间.
在△ABC中,∠C=45°+75°=120°,CA=10,CB=9t,AB=21t.由余弦定理,得(21t)2=102+(9t)2-2·10·9t·cs 120°,即36t2-9t-10=0,解得t= 或- (舍).答案:40分钟
4.如图,某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向北偏东 角方向的OB.位于该市的某医院M与市中心O的距离OM=3 km,且∠AOM=β.新冠肺炎疫情期间,为了更快地将患者送到医院救治,要修筑一条公路L,在OA上设一中转站A,在OB上设一中转站B,公路在AB部分为直线段,且经过医院M.其中tan α=2,cs β= ,AO=15 km.
(1)求医院M与中转站A的距离AM;(2)求公路AB段的长度.
【解析】(1)在△AOM中,AO=15 km,∠AOM=β且cs β= ,OM=3 km,由余弦定理得,AM2=OA2+OM2-2OA·OM·cs∠AOM=152+(3 )2-2×15×3 × =72.所以AM=6 km,即医院M与中转站A的距离AM为6 km.
(2)因为cs β= ,且β为锐角,所以sin β= ,在△AOM中,由正弦定理得, 即所以sin∠MAO= ,由题意知∠AOB> ,所以∠MAO= ,所以∠ABO=α- ,