2021济南德润高级中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

济南德润高级中学2020-2021学年第二学期期中考试

高一数学试题

考试时间：120 分钟             满分： 150 分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数的虚部为

A. 3 B.  C.  D.

2.设向量，向量，若向量与向量共线，则m的值为

A.  B.  C. 6 D.

3.设向量，向量，若向量与向量垂直，则n的值为

A.  B.  C.  D.

4.已知是边长为a的正三角形，那么平面直观图的面积为

A.  B.  C.  D.

5.如图，在中，点D在BC边上，，，，则sinB的值为

A.  B.  C.  D.

6.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为 

A.  B.  C.  D.

7.用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为，则球的体积为

A.  B.  C.  D.

8.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为

A.         B.           C.     D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是

A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为

11.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是

A. AF与CN平行B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线D. BN与DE是异面直线

12. 在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是

A. 异面直线与所成的角大小为
B. 四面体的每个面都是直角三角形
C. 二面角的大小为
D. 正方体的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.空间两个角，的两边分别对应平行，且，则          ．

14.在四边形ABCD中，已知，，，则四边形ABCD的面积是________．

15.如图，在三棱锥中，，，平面ABC，，则点P到BC的距离是          ．



 

16.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得，，米，则          ，这条河的宽度为          ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分）已知平面向量，，，且，．

求和若，，求向量与向量的夹角的大小．

 

18.（12分）在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________．

求角C；

若，，求的面积．

 

19.（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，M为CE的中点．

求证：平面ADEF；求证：平面BDE．


 

20.（12分）如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，F，分别是AC，的中点．求证：

平面平面；平面平面．

 

21.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面底面ABCD．
 

求证：平面VAD；求平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值．

 

22.（12分）如图，四边形ABCD中，，，，沿对角线AC将翻折成，使得．

证明：；求直线BE与平面所成角的正弦值．
 

济南德润高级中学2020-2021学年第二学期期中考试高一数学试题

【答案】

1. A 2. D 3. D 4. A 5. D 6. A 7. D
8. C 9. AD 10. CD 11. CD 12. ABD 

13. 或  

14. 30  

15.   

16.   

17. 解：，．．

，．
．，．

，
．

设，的夹角为，
则．

，，即，的夹角为．

18. 解：若选：由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，解得，
因为，所以．
若选：由正弦定理得，
即，即，
因为，所以，
所以，所以．
由余弦定理得，得，
即，解得，
则的面积，
故的面积为．  

19. 证明：取DE中点N，连接MN，AN，
在中，M，N分别为EC，ED的中点，
，且，
由已知中，，，
，且，
四边形ABMN为平行四边形，
，
又平面ADEF，
平面ADEF，
平面

四边形ADEF为正方形，
，
又正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且平面ADEF，
平面ABCD，
平面ABCD
，
在直角梯形ABCD中，，，可得
在中，，，
，，
又，
平面BDE．  

20. 证明：在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，
，分别是AC，的中点，
，；
又，，
平面平面．
在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，
平面，平面，
；
又，，
平面，
又平面，
平面平面．  

21. 证明：底面ABCD是正方形，
．
又平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，
平面VAD．
取VD的中点E，连接AE，BE，

是正三角形，
，．
平面VAD，平面VAD，
，
又，AB，平面ABE， 
平面 
底面ABE，
，
就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角．
在中，
．
平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值为．  

22. Ⅰ解法1：取的中点为K，连EK，BK．
，  ．
又，．
在中，，．
平面BEK，．
解法连，设，则，
，，，．
又在等腰中，，
平面，．
Ⅱ解法1：取的中点F，连EF，BF，     
，  ．
又，．
又由题意知为等边三角形，
，平面BEF．
在平面BEF内作于H，又，
平面．
即为直线BE与平面所成的角．
设，则，，，

直线BE与平面所成角的正弦值为．
解法2：由题意可得平面，建立如图所示的空间直角坐标．
不妨设，则，，，．
，．
设平面的一个法向量为，
由，得
解得．
又，
设直线BE与平面所成角为，
则，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．