山东省济南市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

2020-2021学年下学期期中质量检测

高二数学试题

一．单选题（每小题5分，共8小题）

1．设函数f（x）＝x2+ax，且，则a＝（　　）

A． B． C．1 D．﹣1

2．下列求导结果正确的是（　　）

A．        B    

C．       D．（sin2x）′＝cos2x

3．已知f（x）＝+x，则f'（1）的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C． D．

4．在二项式（+）n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N＝72，则n的值为（　　）

A．1 B．3 C．2 D．4

5．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（　　）

A．15 B．20 C．30 D．42

6．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（　　）

A．  B．  C．  D．CCC

7．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＜0，其中f'（x）是函数f（x）的导函数，若f（m﹣2021）＞（m﹣2021）f（1），则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，2021） B．（0，2022） 

C．（2021，+∞） D．（2021，2022）

8．已知函数，g（x）＝+ln，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最大值为（　　）A．1﹣ln2                  B．ln2                 C．2ln2                  D．ln2﹣1

二．多选题（每小题5分，共4小题，全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分）

9．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．﹣1是函数f（x）的极小值点 

B．﹣3是函数f（x）的极小值点 

C．函数f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增 

D．函数f（x）在x＝0处切线的斜率小于零

10．现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（　　）

A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种 

B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种 

C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种 

D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种

11．已知（x﹣2）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+⋅⋅⋅+a10（x﹣1）10，则下列结论正确的有（　　）

A．a0＝1                               B．a6＝﹣210 

C．       D．a0+a2+a4+a6+a8+a10＝512

12．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）不存在两个不同的零点   B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值 

C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 

D．若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝，则t的最大值为2

三、填空题（每小题5分，共4小题，20分）

13．电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有　   　种         （用数字作答）

14．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝     

15．函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，4]上是增函数，则实数a的取值范围为　   　．

16．已知函数f（x）＝．则函数的最大值等于　   　；若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≤成立，则实数a的最小值是　   　．

四、解答题（共6个题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)）

17．（10分）函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在点A（1，f（1））处的切线斜率为﹣2．

（1）求实数a的值；

（2）求f（x）的单调区间和极值．

18．（12分）已知二项式．

（1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1：8，求二项展开式的系数之和．

（2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．

19、（12分）从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：（1）如果故事书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？

（2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？

（3）如果选出的4本书中至少有3本故事书，共有多少种不同的送法？

20．（12分）在①函数f（x）的单调减区间为；②函数f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝8x+14，且b＞0；③函数f（x）在x＝1处取得极小值10；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．

已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，且_______．

（1）求a、b的值；

（2）若x∈[﹣1，2]，求函数f（x）的最小值．

21、（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）2+lnx，a∈R．

（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＝﹣1时，令函数g（x）＝f（x）+lnx﹣2x+1+m，若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．

22、（12分）已知函数，（m∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若2f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）成立，求正实数m的取值范围；

（3）证明：（x＞0）．

数学答案

一、单选题：1、D  2、C  3、C  4、B  5、C  6、A  7、D  8、A

二、多选题：9、BC  10. AC  11.ACD  12. BCD

三、填空题： 13、24．14、﹣1，15、  16、， （2分） 1 ，（3分）

四、解答题：

17、（10分）解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣a，

∵在点A（1，f（1））处的切线斜率为k＝1﹣a＝﹣2，

∴a＝3；                  ..............................................4分

（2）由（1）得，f′（x）＝lnx﹣2，x＞0，

令f′（x）＞0，解得x＞e2，令f′（x）＜0，解得0＜x＜e2，     ....................6分

∴f（x）的单调递减区间为（0，e2），单调递增区间为（e2，+∞），.......................8分

在x＝e2处取得极小值1﹣e2，无极大值．     .......................................................10分

18（12分）解：（1）二项式的展开式的通项为，           .....................2分

所以第二项系数为，第四项系数为，

所以，

所以n＝5．  ................................................................4分

所以二项展开式的系数之和．  .....................................6分

（2）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，

所以展开式有11项，所以n＝10．  ......................................................8分

令，            

∴r＝2．                           ...........................................10分

所以常数项为．     ..............................................12分

19、（12分）解：（1）由题意，先从5本不同的故事书和4本不同的数学书中各选2本，再送给4位同学，可得        ....................................（4分）

（2）故事书甲和数学书乙必须送出，从其余7本中选2本，再送给4位同学，可得                    .   ........................................（8分）

（3）选出的4本书中至少有3本故事书，包括3本故事书1本数学书、4本故事书，可得.             ................................................（12分）

20、（12分）解：（1）若选①，函数f（x）的单调减区间为，

f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，则f′（x）＝3x2+2ax+b，

则，1是方程3x2+2ax+b＝0的根，   .........................2分

故+1＝﹣，且×1＝，  .....................................4分

解得：a＝﹣2，b＝1；      ..................................................6分       

若选②，函数f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝8x+14，且b＞0，

若f′（x）＝3x2+2ax+b，则f（﹣1）＝﹣a2﹣6a﹣b﹣1，f′（﹣1）＝3﹣2a+b，

故切线方程是：y﹣（﹣a2﹣6a﹣b﹣1）＝（3﹣2a+b）（x+1），

即y＝（3﹣2a+b）x﹣a2﹣8a+2＝8x+14，

故，解得：a＝﹣2，b＝1； .......................................6分

若选③，f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，

f′（x）＝3x2+2ax+b，则f′（1）＝0，

且f（1）＝10，则，a＝﹣2，b＝1，或a＝﹣6，b＝9，..............................4分

当a＝﹣2，b＝1时，当时，函数递减，当x＞1时，函数递增，

则函数在x＝1处取得极小值，与题意相符； ...............................................

当a＝﹣6，b＝9时，当时，函数递增，当x＞1时，函数递减，

函数在x＝1处取得极大值，不符合题意； .....................................................5分

则a＝﹣2，b＝1，     ......................................................................6分

（2）由（1）得：a＝﹣2，b＝1，

则f（x）＝x3﹣2x2+x+10，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），....................7分

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，           

故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，

故f（x）在[﹣1，）递增，在（，1）递减，在（1，2]递增，  ...............10分

而f（﹣1）＝6，f（1）＝10，

故函数f（x）的最小值为6．               .................................................12分

21、（12分）解：（1）当a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）2+lnx＝2x2﹣4x+lnx+2．.......1分

当x＝1时，f（1）＝0，所以点P（1，f（1））为P（1，0），       .....................2分

又，因此k＝f'（1）＝1．                     .......................3分

因此所求切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1）⇒y＝x﹣1．               ....................4分

（2）解：当a＝﹣1时，g（x）＝2lnx﹣x2+m，

则．

因为，所以当g'（x）＝0时，x＝1，

且当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0；    ..........................6分

故g（x）在x＝1处取得极大值也即最大值g（1）＝m﹣1．       ......................7分

又，g（e）＝m+2﹣e2，

＝4﹣e2+，

则，所以g（x）在区间上的最小值为g（e），..................10分

故g（x）在区间上有两个零点的条件是：

，

所以实数m的取值范围是．   .............................................................12分

22、（12分）解：（1）∵，∴．

令f'（x）＞0，解得0＜x＜e；f'（x）＜0，解得x＞e．∴f（x）的单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）．           .......................................3分 

解：（2）“2f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）成立”等价于“对任意x∈（0，+∞）恒成立”．   

令，则．       ..............4分

当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）上单调递减；

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，  .......6分   

∴h（x）min＝h（1）＝4                     ..    ......................................7分

又∵m＞0，∴0＜m≤4．

即所求实数m的取值范围是（0，4]．  .        ...................................................8分

证明：（3）“”等价于“”． 

据（1）求解知f（x）≤f（e）（）．         ........................9分

令（x＞0），则．     

分析知，φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，.......10.分

∴．∴f（x）＜φ（x）对任意x∈（0，+∞）成立..11分

即（x＞0）．       ..................................12分