2021淮北树人高级中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

2020-2021学年度第二学期期中考试

高一年级数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.

1.若,且α是第三象限角,则(   )
A.1   B.7   C.-7   D.-1

2.已知函数.给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.

其中所有正确结论的序号是(   )

A.① B.①③ C.②③ D.①②③

3.已知非零向量满足，且b，则a与b的夹角为(   )

A． B． C． D．

4.在中,向量与满足,且,则为(   )
A.三边均不相等的三角形       B.直角三角形    C.等腰(非等边)三角形    D.等边三角形

5.若,则在复平面内对应的点所在象限为(   )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知复数的实部为4，其中为正实数，则的最小值为(   )

A.2 B.4 C. D.

7.已知函数,若方程有两个解,则实数a的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.

8.已知集合，非空集合，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.函数的部分图象如图所示，已知函数在区间

有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是 （   ）

A．函数的最小正周期为2

B．点为函数的一个对称中心

C．函数的图象向左平移个单位后得到的图象

D．函数在区间上是增函数

10.下列各式中，值为的是(   )

A. B.

C. D.

11.已知是单位向量,且,则(   )
A. B.与垂直 C.与的夹角为 D.

12.在梯形ABCD中,分别是AB,CD的中点,AC与BD交于M.设,则下列结论正确的是(   )
A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.若，，且，则__________.

14.如图,在中, ,则的值为________.
 

15.当时,函数的最大值是________,（3分）最小值是_______.（2分）

16.设复数满足，则___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.

（17题10分，18-22题每题12分，共70分。）

17.已知函数，且

(1)求的值；(4分)

(2)判断的奇偶性并证明；（6分）

18.已知在复平面内，平行四边形OABC的三个顶点O, A,C对应的复数分别为.

（1）求点B所对应的复数；（4分）

（2）若复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的集合是什么图形？（8分）

19.设O为内任一点,且满足.
(1)若D,E分别是边BC,CA的中点,求证:D,E,O三点共线;（5分）
(2)求与的面积之比.（7分）

20.已知函数.

（1）求的最小正周期和对称轴.（4分）

（2）求的单调区间.（8分）

21.若，求的值.（12分）

22.已知函数.
（1）求的值；（4分）
（2）求在区间上的最大值．（8分）

高一期中数学参考答案

1.答案：B

解析：由,则.又α是第三象限角,所以,所以.故选B.

2.答案：B

解析：对于①，的最小正周期为，故①正确；对于②，因为，所以不是的最大值，故②错误；对于③，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，故③正确.故选B.

3.答案：C

解析：

4.答案：D

解析：如图分别在AB,AC上取点D,E，使得,则.以AD,AE为一组邻边作平行四边形ADFE则平行四边形ADFE为菱形，即对角线AF为的平分线.由，即，即，所以，即的平分线AF满足，所以.又,即,所以，所以，所以为等边三角形.故选D.
 

5.答案：D

解析：本题考查复数的运算以及复数的几何意义.，故选D.

6.答案：D

解析：，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选D.

7.答案：C

解析：当时,由,得,

由方程有两个解知,

当时,方程有唯一解.

令,

则在上单调递减,所以当时,有唯一解,

则,得,故选C.

8.答案：B

解析：本题考查由集合的包含关系求解参数的取值范围. ，由且B为非空集合可知，应满足解得，故实数a的取值范围为.故选B.

9.答案：BCD

解析：

10.答案：BC

解析：选项A，，错误；

选项B，，正确；

选项C，，正确；

选项D，，错误.

故选：BC.

11.答案：BC

解析：由两边平方，得，则，所以A选项错误；因为是单位向量，所以，得，所以B选项正确；由所，所以D选项错误；设与的夹角为,

则，所以与的夹角为，所以C选项正确.故选BC.

12.答案：ABD

解析：由题意可得，，故A正确；,故B正确;，故C错误;，故D正确.故选ABD.

13.答案：

解析：因为，，且，所以，

14.答案：

解析：.

15.答案：;

解析：.
当,即时,.
当,即时,.

16.答案：

解析：方法一（代数法）：设，则.由，
得，即因为，所以.
方法二（复数的几何意义）：设在复平面内对应的向量分别为.
由题意知，则以为邻边的平行四边形为菱形，且，如图所示.则.

方法三（向量法）：原题等价于平面向量满足，且，求.因为，所以，所以.

17.答案：（1），.得

（2），为偶函数

解析：

18.答案：（1）由已知得，

∴点B对应的复数.

（2）设复数z在复平面内所对应的点为Z.
，
∴点Z到点的距离为1，
∴满足的点Z的集合是以为圆心，1为半径的圆.

解析：

19.答案：(1)如图，.
,即与共线.又OD与OE有公共点O,三点共线.

(2)由(1)知，
,
.

解析：

20.答案：（1）周期，对称轴为 。

（2）单调递增区间为 ，

单调递减区间为 。

解析：

21.答案：（1）                                 

原式 

解析：

22.答案：（1），
，
，
，
（2），
，

结合正弦函数的性质可知，当即时，函数取得最大值．