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2021南充高级中学高一下学期阶段性检测数学试卷含答案
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南充高中高2020级阶段性检测
数 学 试 题
第I卷(选择题)
一、单选题(每小题5分,共60分)
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.如果角的终边过点,则的值等于( )
A. B. C. D.
3.已知函数,则( )
A. B. C. D.
4. 已知,且,则( )
A. B. C. D.
5.设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知,且,则( )
A. B. C.36 D.6
7.已知菱形的边长为,,则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数,若在区间上的最大值为,则
的最小值是( ).
A. B. C. D.
9.下列式子结果为的是( )
①; ②;
③; ④.
A.①② B.③ C.①②③ D.②③④
10.设是上的奇函数,且在上是减函数,又,则不等
式的解集是( )
A. B. C. D.
11.如图,直线与函数和的图象分别交于点,,
若函数的图象上存在一点,使得为等边三角形,则的值为( )
A. B.
C. D.
12.已知函数,关于的方程有
个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.边长为2的等边的外接圆的面积________.
14.化简为_______.
15.计算:_________.
16.已知,则的值为_______.
三、解答题(70分)
17.(本小题10分)已知函数(,且)满足.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)解不等式.
18.(本小题12分)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
19.(本小题12分)已知点A(2,3),B(6,1),O为坐标原点,P为x轴上一动点.
(1)若⊥,求点P的坐标;
(2)当取最小值时,求向量与的夹角的余弦值.
20.(本小题12分)已知函数.
(1)若对任意,都有成立,求实数的取值范围;
(2)若先将的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,求函数在区间内的所有零点之和.
21.(本小题12分)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数;
(2)若R=45 m,求当θ为何值时,矩形ABCD的面积S最大?最大面积是多少?(取=1.414)
22.(本小题12分)已知函数.任取,若函数在区间上的最大值为,最小值为,记.
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程;
(2)当时,求函数的解析式;
(3)设函数,,其中实数为参数,且满足关于的不等式有解.若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
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2021年3月15日考试答案
参考答案
1.D
2.C
3. B
4.C,且,所以,,解得.
5.C ,又指数函数是单调递增函数,
,即,函数在上单调递增,
,所以,即.对数函数是单调递增函数,
,即,
6.B解:根据题意,,则有,,
则,又,即,
所以,解得,因为,所以;
7.B【详解】因为,所以,
因为,,
所以,,
,,
8. B解:在区间上的最大值为,在区间上的最大值为1,,,,的最小值是.
9.C解:对于①,由于,
所以
;
对于②,由于,
所以;
对于③,因为, ;
对于④,因为, ;
10.B因为是上的奇函数,则,
由于函数在上是减函数,则该函数在上也为减函数,
,则,作出函数的大致图象如下图所示:
由,可得,
由,可得或,此时;
由,可得或,解得.
因此,不等式的解集是.
故选:B.
【点睛】
方法点睛:利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是:
(1)把不等式转化为;
(2)判断函数的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意函数奇偶性的区别.
11.C由題意,,.设,因为是等边三角形,所以点到直线的距离为,所以,.
根据中点坐标公式可得,
所以,解得.故选:C
12.D【详解】令,由,得,
设关于的二次方程的两根分别为、,
如下图所示:
由于关于的方程有8个不等的实数根,
则,,设,
则,解得.因此,实数的取值范围是.故选:D.
13.
14.1 依题意.
15.【详解】原式.
16.【答案】4042【分析】
计算,得函数图象关于点对称,然后由对称性可得值.
【详解】
∵,
∴的图像关于点对称,
∴和关于点对称,∴
∴.
故答案为:4042.
【点睛】
关键点点睛:本题考查函数的对称性,利用对称性求得参数值,若,则函数的图象关于点对称,本题也可构造奇函数求解:是奇函数,由此求解.
17.(Ⅰ)(Ⅱ)
【详解】
(Ⅰ)∵(,且),∴.
由,解得.∴的值为.
(Ⅱ)不等式即,∴.即.∵在上单调递减,∴.∴不等式的解集为.
18.(1);(2).
(1)由,两边平方得,
整理得.所以,
由,∴,又,∴,∴,
故.
(2)原式.
19.(1)(3,0)或(5,0);(2).
解:根据题意,设点P(x,0),又A(2,3),B(6,1),得(x-2,-3),(x-6,-1),
(1)由⊥,即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)=x2-8x+15=0,解得x=3或x=5,
∴P的坐标为(3,0)或(5,0);
(2)由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)=x2-8x+15=(x-4)2-1,
当x=4时,取得最小值-1,此时(2,-3),(-2,-1),||,||,
∴与夹角的余弦值为:cosθ.
20.(1),(2)
解:(1)
,
若对任意,都有成立,则只需即可,
因为,所以,
所以当即时,取得最小值为,所以,
(2)先将的图像上每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得的图像,然后再向左平移个单位得到函数的图像,
函数在区间内的所有零点,即的实数根,它的实数根共4个,设为,则根据对称性可知这4个根关于直线对称,
所以,所以
21.(1)S=R2sin-R2,θ∈;(2)当θ=时,矩形ABCD的面积S最大,最大面积为838.35 m2.
解:(1)由题意,可知点M为PQ的中点,所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsin θ,OF=Rcos θ,所以AB=OF-AD
=Rcos θ-Rsin θ.
所以S=AB·BC=2Rsin θ(Rcos θ-Rsin θ)=R2(2sin θcos θ-2sin2θ)=R2(sin 2θ-1+cos 2θ)=R2sin-R2,θ∈.
(2)因为θ∈,所以2θ+∈,所以当2θ+,即θ=时,S有最大值.Smax=(-1)R2=(-1)×452=0.414×2 025=838.35(m2).
故当θ=时,矩形ABCD的面积S最大,最大面积为838.35 m2.
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2020-2021学年四川省南充高级中学高一(下)阶段性数学试卷(3月份): 这是一份2020-2021学年四川省南充高级中学高一(下)阶段性数学试卷(3月份),共16页。