2021南充高级中学高一下学期阶段性检测数学试卷含答案

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南充高中高2020级阶段性检测

数 学 试 题

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．已知集合，集合，则（    ）

   A． B． C． D．

2．如果角的终边过点，则的值等于（    ）

   A．    B．    C．   D．

3．已知函数，则（    ）

   A．    B．    C．    D．

4． 已知，且，则（    ）

   A．    B．    C．    D．

5．设，则的大小关系为（    ）

   A．   B．   C．  D．

6．已知，且，则（    ）

   A．    B．    C．36    D．6

7．已知菱形的边长为，，则的值为（    ）

   A．    B．    C．    D．

8．已知函数，若在区间上的最大值为，则

   的最小值是（    ）．

   A．    B．    C．    D．

9．下列式子结果为的是（    ）

   ①； ②；

   ③；       ④.

   A．①②    B．③    C．①②③   D．②③④

10．设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等

   式的解集是（    ）

   A．   B．     C． D．

11．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，

   若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为（    ）

   A．   B． 

   C．   D．

12．已知函数，关于的方程有

   个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

   A．   B．   C．   D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．边长为2的等边的外接圆的面积________.

14．化简为_______.

15．计算：_________．

16．已知，则的值为_______．

三、解答题（70分）

17．（本小题10分）已知函数（，且）满足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）解不等式.

18．（本小题12分）已知，.

（1）求的值；

（2）求的值.

19．（本小题12分）已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.

（1）若⊥，求点P的坐标；

（2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.

20．（本小题12分）已知函数.

（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；

（2）若先将的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在区间内的所有零点之和.

21．（本小题12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；

（2）若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)

22.（本小题12分）已知函数.任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.

（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；

（2）当时，求函数的解析式；

（3）设函数，，其中实数为参数，且满足关于的不等式有解.若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

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2021年3月15日考试答案

参考答案

1．D

2．C

3． B

4．C，且，所以，，解得.

5．C ，又指数函数是单调递增函数，

，即，函数在上单调递增，

，所以，即.对数函数是单调递增函数，

，即，

6．B解：根据题意，，则有，，

则，又，即，

所以，解得，因为，所以；

7．B【详解】因为，所以，

因为，，

所以，，

，，

8． B解：在区间上的最大值为，在区间上的最大值为1，，，，的最小值是．

9．C解：对于①，由于，

所以

；

对于②，由于，

所以；

对于③，因为， ；

对于④，因为， ；

10．B因为是上的奇函数，则，

由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，

，则，作出函数的大致图象如下图所示：

由，可得，

由，可得或，此时；

由，可得或，解得.

因此，不等式的解集是.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

11．C由題意，，.设，因为是等边三角形，所以点到直线的距离为，所以，.

根据中点坐标公式可得，

所以，解得.故选：C

12．D【详解】令，由，得，

设关于的二次方程的两根分别为、，

如下图所示：

由于关于的方程有8个不等的实数根，

则，，设，

则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.

13．

14．1    依题意.

15．【详解】原式.

16．【答案】4042【分析】

计算，得函数图象关于点对称，然后由对称性可得值．

【详解】

∵,

∴的图像关于点对称，

∴和关于点对称，∴

∴．

故答案为：4042．

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的对称性，利用对称性求得参数值，若，则函数的图象关于点对称，本题也可构造奇函数求解：是奇函数，由此求解．

17．（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】

（Ⅰ）∵（，且），∴.

由，解得.∴的值为.

（Ⅱ）不等式即，∴.即.∵在上单调递减，∴.∴不等式的解集为.

18．（1）；（2）.

（1）由，两边平方得，

整理得.所以，

由，∴，又，∴，∴，

故.

（2）原式.

19．（1）(3,0)或(5,0)；（2）.

解：根据题意，设点P(x,0)，又A(2,3)，B(6,1)，得(x-2,-3)，(x-6,-1)，

（1）由⊥，即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，解得x＝3或x＝5，

∴P的坐标为(3,0)或(5,0)；

（2）由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝(x-4)2-1，

当x＝4时，取得最小值-1，此时(2,-3)，(-2,-1)，||，||，

∴与夹角的余弦值为：cosθ.

20．（1），（2）

解：（1）

，

若对任意，都有成立，则只需即可，

因为，所以，

所以当即时，取得最小值为，所以，

（2）先将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图像，然后再向左平移个单位得到函数的图像，

函数在区间内的所有零点，即的实数根，它的实数根共4个，设为，则根据对称性可知这4个根关于直线对称，

所以，所以

21．（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.

解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.

设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD

＝Rcos θ－Rsin θ.

所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝R2sin－R2，θ∈.

（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).

故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.