高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算第2课时测试题

第2课时　复数的乘除运算

【概念认知】

1．复数乘法的运算法则和运算律

(1)复数乘法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，

则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

(2)复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

(3)复数的乘方

复数的乘方是相同复数的积，即对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，则有：

zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz．

2．复数除法的运算法则

(1)共轭复数的概念

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数，那么称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi．

(2)复数除法运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，

则＝＝＋i(c＋di≠0).

3．in(n∈N*)的周期性

计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方，in(n∈N*)有如下性质：

i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i2＝1，从而对于任何n∈N*，有i4n＝1，i4n＋1＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.上述公式中，说明in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期是4，n可以推广到整数集．

【自我小测】

1．i为虚数单位，＝(　　)

A．－1    B．1　    C．－i    D．i

【解析】选A.＝＝＝－1.

2．(教材练习改编)复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．1＋i     B．1－i    C．－1＋i     D．－1－i

【解析】选B.化简可得z＝＝＝1＋i，

所以z的共轭复数为1－i.

3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R，则a＋b＝________．

【解析】因为＝＝1＋i，

所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.

答案：2

4．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝的实部是________．

【解析】z＝＝3＋i，则实部为3.

答案：3

5．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

【解析】因为i·z＝1＋2i，所以z＝＝2－i，故z的实部为2.

答案：2

6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝1＋i的复数z＝________．

【解析】根据题中条件可有，2zi＋z＝1＋i，z＝分子分母上下同时

乘以(2i－1)得，所以化简为－i.

答案：－i

7．已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：

(1)z1＋2；(2)z1·z2；(3).

【解析】z2＝＝＝

＝＝1－3i.

(1) z1＋2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.

(2) z1·z2＝＝2－9－9i＝－7－9i.

(3)＝＝＝＝＋i.

【基础全面练】

一、单选题

1．(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)

A．－3－4i      B．－3＋4i

C．3－4i       D．3＋4i

【解析】选C.在等式iz＝4＋3i两边同时乘i得，－z＝4i－3，所以z＝3－4i.

2．已知复数z满足z(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)

A．－i    B．i    C．1    D．－1

【解析】选D.因为复数z满足z(1＋i)＝1－i，

所以z＝＝＝－i，

所以z的虚部为－1.

3．(2020·全国Ⅲ卷)复数·(1＋i)＝1－i，则z＝(　　)

A．1－i    B．1＋i    C．－i    D．i

【解析】选D.因为＝＝＝＝－i，所以z＝i.

4．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为(　　)

A．1    B．2    C．    D．

【解析】选C.由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，

因为z2＝－i，

所以

解得a＝.

5．若a＋i＝2＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i      B．5＋4i

C．3－4i       D．3＋4i

【解析】选D.因为a＋i＝2＋bi，所以a＝2，b＝1，所以(z＋i)2＝3＋4i.

6.＝(　　)

A．1＋i       B．1－i

C．－1＋i      D．－1－i

【解析】选D.原式＝(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.

二、填空题

7．设复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数＝

________．

【解析】因为复数z＝＝＝＝2－3i，所以z的共轭复数＝2＋3i.

答案：2＋3i

8．若2＋i(i 是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，

则m＋n等于________．

【解析】因为2＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，所以(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，所以2m＋n＋3＋(4＋m)i＝0，

所以所以m＋n＝1.

答案：1

9．若复数z满足i·z＝1＋2，则z＝________．

【解析】设z＝a＋bi，则ai－b＝1＋2(a－bi)，所以所以a＝－，b＝，所以z＝－＋i.

答案：－＋i

10．已知复数z1＝4＋3i，z2＝1＋2i，则z1·z2＝________；＝________．

【解析】z1·z2＝(4＋3i)(1＋2i)＝4＋8i＋3i－6＝－2＋11i，＝＝＝＝2－i.

答案：－2＋11i　2－i

三、解答题

11．计算：(1)(2＋i)(2－i)；

(2)(1＋2i)2；(3)6＋.

【解析】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.

(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

(3)原式＝6＋＝i6＋i＝－1＋i.

12．计算：···…·.

【解析】因为＝i，所以原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.

【综合突破练】

一、选择题

1．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)

A．1＋i      B．1－i

C．－1＋i     D．－1－i

【解析】选A.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，

所以2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

由复数相等的条件得

所以

所以z＝1＋i.

2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)

A．    B．    C．1    D．2

【解析】选A.方法一：因为z＝

＝＝＝＝

＝－＋，所以＝－－，所以z·＝.

方法二：因为z＝，

所以|z|＝＝＝＝，

所以z·＝.

3．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)

A．a－5b＝0    B．3a－5b＝0

C．a＋5b＝0    D．3a＋5b＝0

【解析】选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.

由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.

【误区警示】解此题时，一定要特别注意“理想复数”与共轭复数的区别，注意共轭复数的思维定式．

4．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)

A．     B．

C．        D．2

【解析】选BC.根据题意M＝

中n＝4k时，in＝1；

n＝4k＋1时，in＝i；n＝4k＋2时，in＝－1；n＝4k＋3时，in＝－i，

所以M＝.

选项A中＝2∉M；

选项B中，＝＝－i∈M；

选项C中，＝＝i∈M；

选项D中2＝－2i∉M.

二、填空题

5．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．

【解析】z＝＝＝

＝＋i.

由题意知＝3，所以a＝－1，所以z＝3＋i.

所以z的虚部为1.

答案：1

6．已知：复数z＝2＋，其中i为虚数单位．若z2＋az＋b＝2＋3i，则实数a＝________，b＝________．

【解析】z＝2＋＝2i＋i＝－1＋3i，由z2＋az＋b＝2＋3i得(－1＋3i)2＋a(－1－3i)＋b＝2＋3i，

即＋i＝2＋3i

所以解得

答案：－3　7

7．已知z为复数，且z＋2i和都为实数，则z＝________．

【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，所以b＝－2，又＝＝＝＋i为实数，所以＝0，所以a＝－2b，所以a＝4，所以z＝4－2i.

答案：4－2i

8．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)，若复数(1＋ai)z是纯虚数，则实数a的值为________；若复数z的共轭复数为，则复数＝________．

【解析】解得z＝－1－2i，因为复数(1＋ai)z是纯虚数，则(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，所以实数a的值为.因为z的共轭复数为＝－1＋2i，所以复数＝－1－i.

答案：　－1－i

三、解答题

9．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.

【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝(a－1＋bi)·(－i)

＝b－(a－1)i.

因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.

又因为＝

＝为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.

10．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.

(1)求z的实部的取值范围．

(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数；

(3)求ω－μ2的最小值．

【解析】(1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，

所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，

可得⇒x2＋y2＝1，

此时，ω＝2x⇒－<x<1；

(2)因为μ＝＝＝

＝－i，因为y≠0，－＜x＜1，所以μ为纯虚数；

(3)ω－μ2＝2x－，然后化简和计算得到ω－μ2＝2(x＋1)＋－3≥

2－3＝1.

当且仅当x＝0时等号成立，所以ω－μ2的最小值为1.

 (60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

1．设i是虚数单位，则2 022＝(　　)

A．i    B．－i    C．1    D．－1

【解析】选D.由于＝＝＝－i，

所以＝(－i)2 022＝(－i)4×505＋2＝(－i)2＝－1.

2．复数z＝的实部为(　　)

A．－2    B．－i    C．i    D．－1

【解析】选A.因为z＝＝＝－2＋i，所以实部为－2.

3．复数z＝的虚部为(　　)

A．－i    B．－    C．i    D．

【解析】选D.∵z＝＝＝－＋i，∴复数z＝的虚部为.

4．已知复数z满足＝2－i，其中i是虚数单位，则复数z是(　　)

A．4－3i      B．4＋3i

C．－4i       D．4

【解析】选B.因为＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋2i)＝4＋3i.

5．复数i(1＋i)2＝(　　)

A．2    B．－2    C．2i    D．－2i

【解析】选B.i(1＋i)2＝i·2i＝－2.

6．复数z满足z－1＝(z＋1)i，则的值是(　　)

A．1＋i       B．1－i

C．i        D．－i

【解析】选D.因为z－1＝(z＋1)i，所以z＝＝＝＝i，所以＝－i.

7．(多选)下面关于复数：z＝的叙述中正确的是(　　)

A．z的虚部为－i       B．|z|＝

C．z的共轭复数为1＋i     D．z2＝2i

【解析】选BD.z＝＝＝－1－i，则其虚部为－1，A错误；|z|＝＝，B正确；z的共轭复数为－1＋i；

z2＝(－1－i)2＝2i，D正确．

8．(多选)已知复数z＝，则以下说法正确的是(　　)

A．复数z的虚部为

B．z的共轭复数＝－

C．|z|＝

D．复数z的的实部是－

【解析】选CD.因为z＝＝＝－＋i，所以复数z的虚部为，实部是－，所以A错误，D正确．z的共轭复数＝－－，B错误．

|z|＝＝，故C正确．

9．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)

A．z的虚部为－1      B．z＝1－i

C．z2为纯虚数       D．z的共轭复数为－1－i

【解析】选ABC.因为z＝＝＝＝1－i，B正确；

z的虚部为－1，A正确；

因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，C正确；z的共轭复数为1＋i，D错误．

二、填空题(每小题5分，共15分)

10．复数的共轭复数是________．

【解析】＝＝i，故其共轭复数为－i.

答案：－i

11．若i为虚数单位，则复数＝________．

【解析】由题意＝＝＝＝i.

答案：i

12．若z1＝1－3i，z2＝6－8i，且＋＝，则z的值为

________．

【解析】由z1＝1－3i，得＝＝＝＋i，

又由z2＝6－8i，得＝＝＝＝＋i，那么＝－＝－，

所以z＝－＝－＝－＝－＋i.

答案：－＋i

三、解答题(每小题10分，共40分)

13．已知z1，z2满足z＋z1z2＋z＝0，且z2≠0，求复数.

【解析】z＋z1z2＋z＝0，则2＋＋1＝0，则＝.

14．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.

(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；

(2)若是纯虚数，求a.

【解析】(1)因为z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i，所以z1＋z2＝5＋(a－4)i，由z1＋z2是实数，得a＝4.

所以z1＝2＋4i，z2＝3－4i，

则z1·z2＝(2＋4i)(3－4i)＝22＋4i；

(2)由＝＝＝＋i是纯虚数，得即a＝.

15．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.

(1)求z1·z2；

(2)若＝＋，求z.

【解析】(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，

所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.

(2)由＝＋，得z＝，

所以z＝＝＝＝－i.

16．计算：－20.

【解析】＝＝＝－i，2＝＝i，2－20＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10

＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.