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2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列长度四根木棒中，能与长为4，9的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．14
2．（3分）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
4．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
5．（3分）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
6．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A． B．4 C．6 D．12
7．（3分）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝54°，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．44° C．27° D．54°
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 ．
12．（3分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）
13．（3分）如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是 ．
15．（3分）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为 ．
16．（3分）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝ ．
17．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
18．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是线段BC上一动点（与B，C不重合），延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
下列四个结论中：
①∠AMQ＝∠APQ；
②∠PAC＝∠MQP；
③∠AMQ﹣∠PAC＝45°；
④∠QMA＝∠QAM．
正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共46分，其中19，20，21，23每题5分；22，24每题6分；25，26每题7分）
19．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F．
③作射线BF交AC于点P，则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明：
证明：连接DF，FE．
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF（SSS）．
∴∠ABF＝∠CBF（ ）（填推理的依据①）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（ ）（填推理的依据②）．
20．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
21．（5分）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AE＝CF，BE＝DF，求证：BE∥DF．
22．（6分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是 ；（每个小正方形的边长为1）
（2）△ABC是格点三角形．
①在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；
②在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．
23．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝AC，CE＝5，CF＝7，求DB的长．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作DF∥AB，且DF＝AB，连接FA．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AF与BD的位置关系是 ，数量关系是 ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系．
（3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值．
26．（7分）在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分线MB，在MB上找一点D，使得DC＝DA，过点D作DE⊥BP交于点E．
（1）在图1中，依题意补全图形；
（2）直接写出BE的值 ；
（3）如图2，当∠ABC为钝角时，猜想AB，BC，BE之间的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列长度四根木棒中，能与长为4，9的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．14
【分析】由三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．
【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9−4，即13＞c＞5．只有9符合要求．
故选：C．
2．（3分）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：C．
3．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
4．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：C．
5．（3分）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A． B．4 C．6 D．12
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得DE＝DF，再根据三角形面积公式，利用S△ACD＝•DF•AC＝3得到DF＝DE＝3，然后利用三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵AC＝2，△ACD的面积为3，
∴×2•DF＝3，解得DF＝3，
∴DE＝3，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积＝×3×4＝6．
故选：C．
7．（3分）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP＝∠NOP，可证OP是∠AOB的平分线．
【解答】解：由题意得：∠OMP＝∠ONP＝90°，OM＝ON，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：B．
8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝54°，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．44° C．27° D．54°
【分析】利用三角形的内角和定理在△BCD中先求出∠BCD，利用角平分线的性质再求出∠ACB，最后在△ABC中利用三角形的内角和定理求出∠A．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°．
∵∠DBC＝54°，
∴∠DCB＝90°﹣54°＝36°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝72°．
∵∠A＝∠ABD，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠A+54°+72°＝180°．
∴∠A＝27°．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC＝AE，CD＝DE；再对构成△DEB的几条边进行变换，可得到其周长等于AB的长．
【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于点D
∴∠CAD＝∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠AED＝∠C＝90
∵AD＝AD
∴△ACD≌△AED．（AAS）
∴AC＝AE，CD＝DE
∵∠C＝90°，AC＝BC
∴∠B＝45°
∴DE＝BE
∵AC＝BC，AB＝6cm，
∴2BC2＝AB2，即BC＝＝＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝6﹣3，
∴BC+BE＝3+6﹣3＝6cm，
∵△DEB的周长＝DE+DB+BE＝BC+BE＝6（cm）．
另法：证明三角形全等后，
∴AC＝AE，CD＝DE．
∵AC＝BC，
∴BC＝AE．
∴△DEB的周长＝DB+DE+EB＝DB+CD+EB＝CB+BE＝AE+BE＝6cm．
故选：B．
10．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】证明BE∥AD，则可对①进行判断；证明∠BCE＝∠CAD，则可根据“AAS”证明△CEB≌△ADC，则可对②进行判断；根据全等三角形的性质可对③④进行判断．
【解答】解：∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴BE∥AD，
∴∠ABE＝∠BAD，所以①正确；
∵∠BCE+∠DCA＝90°，∠DCA+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），所以②正确；
∴CE＝AD，所以③错误；
BE＝CD，
∴AD﹣BE＝CE﹣CD＝DE，所以④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 360° ．
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【解答】解：正六边形的外角和是360°．
故选：360°．
12．（3分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：1.9．
13．（3分）如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是 AE＝CE ．
【分析】由题意得，BE＝DE，∠AEB＝∠CED（对顶角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．
【解答】解：添加AE＝CE，
在△ABE和△CDE中，
∵，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
故答案为：AE＝CE．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是 35° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠BAD即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B+∠C＝110°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝35°，
故答案为35°．
15．（3分）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为 2 ．
【分析】只要证明△ABC≌△EFD，即可推出AC＝CE，由AE＝10，AC＝6，推出AD＝CE＝4，再根据CD＝AC﹣AD即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD，
∴AC＝CE，
∵AE＝10，AC＝CD＝6，
∴CE＝AE﹣AC＝4，CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2．
故答案为2．
16．（3分）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝ 75° ．
【分析】由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∠EAC是△ABF的一个外角，
∴∠ABF＝∠EAC﹣∠F＝45°﹣30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠ABF＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°．
17．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【分析】求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
18．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是线段BC上一动点（与B，C不重合），延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
下列四个结论中：
①∠AMQ＝∠APQ；
②∠PAC＝∠MQP；
③∠AMQ﹣∠PAC＝45°；
④∠QMA＝∠QAM．
正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】由余角的性质可求∠PAC＝∠PQH，故②正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得∠AMQ＝∠ABC+∠BQM＝45°+∠PAC，故③正确；由“SAS”可证△ACQ≌△ACP，可得∠QAC＝∠PAC，可证∠QMA＝∠QAM，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵AP⊥QM，
∴∠QHP＝∠ACB＝90°，
∴∠APC+∠PAC＝90°＝∠APC+∠PQH，
∴∠PAC＝∠PQH，故②正确；
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠AMQ＝∠ABC+∠BQM＝45°+∠PAC，
∴∠AMQ﹣∠PAC＝45°，故③正确；
在△ACQ和△ACP中，
，
∴△ACQ≌△ACP（SAS），
∴∠QAC＝∠PAC，
∴∠QAC＝∠PQH，
∴∠QMA＝∠QAM，故④正确；
∵点P是线段BC上一动点，
∴∠PAB≠∠PAC，
∴∠PAB≠∠BQM，
∴∠AMQ≠∠APQ，故①错误，
故答案为②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共46分，其中19，20，21，23每题5分；22，24每题6分；25，26每题7分）
19．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F．
③作射线BF交AC于点P，则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明：
证明：连接DF，FE．
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF（SSS）．
∴∠ABF＝∠CBF（ 全等三角形的对应角相等 ）（填推理的依据①）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（ 角平分线上的点到角的两边距离相等 ）（填推理的依据②）．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图所示即为补全的图形；
（2）证明：连接DF，FE．
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF△BEF（SSS）．
∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角的两边距离相等．
20．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°
又∵∠D＝110°
∴∠ACB＝∠D
∵AB∥DE
∴∠CAB＝∠E
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
21．（5分）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AE＝CF，BE＝DF，求证：BE∥DF．
【分析】求出AB＝CD，证△ABE≌△CDF，推出∠B＝∠D即可．
【解答】证明：∵AC＝BD，
∴AC+BC＝BD+BC，即AB＝CD．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠B＝∠D，
∴BE∥DF．
22．（6分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是 6 ；（每个小正方形的边长为1）
（2）△ABC是格点三角形．
①在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；
②在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．
【分析】（1）利用分割法求解即可．
（2）根据三角形的判定，画出图形即可．
（3）利用旋转法画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，S△ABC＝3×5﹣×3×3﹣×1×5﹣×2×2＝6，
故答案为：6．
（2）①如图2中，△BCD即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，△AFE即为所求作（答案不唯一）．
23．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝AC，CE＝5，CF＝7，求DB的长．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，根据AAS证明△ADE≌△CFE即可；
（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，
∴AE＝CE．
又∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，
∴CF＝AD＝7，
∵AB＝AC，E是边AC的中点，CE＝5，
∴AC＝2CE＝10．
∴AB＝10，
∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明AB＝AC，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（2）结论：∠CBF＝∠ADE．证明∠CBF＝∠DAC，∠ADE＝∠DAC，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
（2）结论：∠CBF＝∠ADE．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AB∥DE，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAC，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CBF＝∠DAC，
∴∠CBF＝∠ADE．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作DF∥AB，且DF＝AB，连接FA．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AF与BD的位置关系是 DB∥AF ，数量关系是 AF＝BD ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系．
（3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值．
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）由“SAS”可证△ABF≌△DFB，可得AF＝BD，∠AFB＝∠DBF，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由“SSS”可证△AFC≌△DGF，可得∠FAC＝∠GDF＝140°，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图1，连接BF，
∵DF∥AB，
∴∠DFB＝∠ABF，
又∵DF＝AB，BF＝BF，
∴△ABF≌△DFB（SAS），
∴AF＝BD，∠AFB＝∠DBF，
∴DB∥AF，
故答案为：DB∥AF，AF＝BD；
（3）如图2，
∵∠ABM＝80°，AF∥BD，
∴∠BAF＝100°＝∠FDB，
∴∠FAC＝∠BAC+∠BAF＝140°，
当点G在直线FD的下方时，
∵AC＝AB＝DF，FC＝FG，DG＝DB＝AF，
∴△AFC≌△DGF（SSS），
∴∠FAC＝∠GDF＝140°，
∴∠BDG＝40°，
当点G在直线DF的上方时，
同理可求∠FDG'＝∠FAC＝140°，
∴∠BDG'＝360°﹣140°﹣100°＝120°，
综上所述：∠BDG＝120°或40°．
26．（7分）在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分线MB，在MB上找一点D，使得DC＝DA，过点D作DE⊥BP交于点E．
（1）在图1中，依题意补全图形；
（2）直接写出BE的值 1 ；
（3）如图2，当∠ABC为钝角时，猜想AB，BC，BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）依照题意补全图形；
（2）在射线BP上截取BH＝AB＝5，连接DH，由“SAS”可证△ABD≌△HBD，可得AD＝HD，由等腰三角形的性质可得CE＝EH，即可求解；
（3）在射线BP上截取BH＝AB，连接DH，由“SAS”可证△ABD≌△HBD，可得AD＝HD，由等腰三角形的性质可得CE＝EH，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图1﹣1，在射线BP上截取BH＝AB＝5，连接DH，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABD＝∠DBH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（SAS），
∴AD＝HD，
∵AD＝CD，
∴CD＝DH，
又∵DE⊥CP，
∴CE＝EH，
∴BH＝HE+BE＝BC+BE+BE，
∴5＝2BE+3，
∴BE＝1，
故答案为：1；
（3）如图2，在射线BP上截取BH＝AB，连接DH，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABD＝∠DBH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（SAS），
∴AD＝HD，
∵AD＝CD，
∴CD＝DH，
又∵DE⊥CP，
∴CE＝EH，
∴BH＝HE+BE＝BC+BE+BE＝AB，
∴AB＝2BE+BC．
2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列长度四根木棒中，能与长为4，9的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．14
2．（3分）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
4．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
5．（3分）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
6．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A． B．4 C．6 D．12
7．（3分）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝54°，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．44° C．27° D．54°
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 ．
12．（3分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）
13．（3分）如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是 ．
15．（3分）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为 ．
16．（3分）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝ ．
17．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
18．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是线段BC上一动点（与B，C不重合），延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
下列四个结论中：
①∠AMQ＝∠APQ；
②∠PAC＝∠MQP；
③∠AMQ﹣∠PAC＝45°；
④∠QMA＝∠QAM．
正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共46分，其中19，20，21，23每题5分；22，24每题6分；25，26每题7分）
19．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F．
③作射线BF交AC于点P，则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明：
证明：连接DF，FE．
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF（SSS）．
∴∠ABF＝∠CBF（ ）（填推理的依据①）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（ ）（填推理的依据②）．
20．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
21．（5分）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AE＝CF，BE＝DF，求证：BE∥DF．
22．（6分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是 ；（每个小正方形的边长为1）
（2）△ABC是格点三角形．
①在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；
②在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．
23．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝AC，CE＝5，CF＝7，求DB的长．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作DF∥AB，且DF＝AB，连接FA．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AF与BD的位置关系是 ，数量关系是 ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系．
（3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值．
26．（7分）在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分线MB，在MB上找一点D，使得DC＝DA，过点D作DE⊥BP交于点E．
（1）在图1中，依题意补全图形；
（2）直接写出BE的值 ；
（3）如图2，当∠ABC为钝角时，猜想AB，BC，BE之间的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列长度四根木棒中，能与长为4，9的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．14
【分析】由三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．
【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9−4，即13＞c＞5．只有9符合要求．
故选：C．
2．（3分）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：C．
3．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
4．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：C．
5．（3分）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A． B．4 C．6 D．12
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得DE＝DF，再根据三角形面积公式，利用S△ACD＝•DF•AC＝3得到DF＝DE＝3，然后利用三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵AC＝2，△ACD的面积为3，
∴×2•DF＝3，解得DF＝3，
∴DE＝3，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积＝×3×4＝6．
故选：C．
7．（3分）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP＝∠NOP，可证OP是∠AOB的平分线．
【解答】解：由题意得：∠OMP＝∠ONP＝90°，OM＝ON，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：B．
8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝54°，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．44° C．27° D．54°
【分析】利用三角形的内角和定理在△BCD中先求出∠BCD，利用角平分线的性质再求出∠ACB，最后在△ABC中利用三角形的内角和定理求出∠A．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°．
∵∠DBC＝54°，
∴∠DCB＝90°﹣54°＝36°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝72°．
∵∠A＝∠ABD，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠A+54°+72°＝180°．
∴∠A＝27°．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC＝AE，CD＝DE；再对构成△DEB的几条边进行变换，可得到其周长等于AB的长．
【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于点D
∴∠CAD＝∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠AED＝∠C＝90
∵AD＝AD
∴△ACD≌△AED．（AAS）
∴AC＝AE，CD＝DE
∵∠C＝90°，AC＝BC
∴∠B＝45°
∴DE＝BE
∵AC＝BC，AB＝6cm，
∴2BC2＝AB2，即BC＝＝＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝6﹣3，
∴BC+BE＝3+6﹣3＝6cm，
∵△DEB的周长＝DE+DB+BE＝BC+BE＝6（cm）．
另法：证明三角形全等后，
∴AC＝AE，CD＝DE．
∵AC＝BC，
∴BC＝AE．
∴△DEB的周长＝DB+DE+EB＝DB+CD+EB＝CB+BE＝AE+BE＝6cm．
故选：B．
10．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】证明BE∥AD，则可对①进行判断；证明∠BCE＝∠CAD，则可根据“AAS”证明△CEB≌△ADC，则可对②进行判断；根据全等三角形的性质可对③④进行判断．
【解答】解：∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴BE∥AD，
∴∠ABE＝∠BAD，所以①正确；
∵∠BCE+∠DCA＝90°，∠DCA+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），所以②正确；
∴CE＝AD，所以③错误；
BE＝CD，
∴AD﹣BE＝CE﹣CD＝DE，所以④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 360° ．
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【解答】解：正六边形的外角和是360°．
故选：360°．
12．（3分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：1.9．
13．（3分）如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是 AE＝CE ．
【分析】由题意得，BE＝DE，∠AEB＝∠CED（对顶角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．
【解答】解：添加AE＝CE，
在△ABE和△CDE中，
∵，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
故答案为：AE＝CE．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是 35° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠BAD即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B+∠C＝110°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝35°，
故答案为35°．
15．（3分）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为 2 ．
【分析】只要证明△ABC≌△EFD，即可推出AC＝CE，由AE＝10，AC＝6，推出AD＝CE＝4，再根据CD＝AC﹣AD即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD，
∴AC＝CE，
∵AE＝10，AC＝CD＝6，
∴CE＝AE﹣AC＝4，CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2．
故答案为2．
16．（3分）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝ 75° ．
【分析】由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∠EAC是△ABF的一个外角，
∴∠ABF＝∠EAC﹣∠F＝45°﹣30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠ABF＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°．
17．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【分析】求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
18．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是线段BC上一动点（与B，C不重合），延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
下列四个结论中：
①∠AMQ＝∠APQ；
②∠PAC＝∠MQP；
③∠AMQ﹣∠PAC＝45°；
④∠QMA＝∠QAM．
正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】由余角的性质可求∠PAC＝∠PQH，故②正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得∠AMQ＝∠ABC+∠BQM＝45°+∠PAC，故③正确；由“SAS”可证△ACQ≌△ACP，可得∠QAC＝∠PAC，可证∠QMA＝∠QAM，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵AP⊥QM，
∴∠QHP＝∠ACB＝90°，
∴∠APC+∠PAC＝90°＝∠APC+∠PQH，
∴∠PAC＝∠PQH，故②正确；
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠AMQ＝∠ABC+∠BQM＝45°+∠PAC，
∴∠AMQ﹣∠PAC＝45°，故③正确；
在△ACQ和△ACP中，
，
∴△ACQ≌△ACP（SAS），
∴∠QAC＝∠PAC，
∴∠QAC＝∠PQH，
∴∠QMA＝∠QAM，故④正确；
∵点P是线段BC上一动点，
∴∠PAB≠∠PAC，
∴∠PAB≠∠BQM，
∴∠AMQ≠∠APQ，故①错误，
故答案为②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共46分，其中19，20，21，23每题5分；22，24每题6分；25，26每题7分）
19．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F．
③作射线BF交AC于点P，则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明：
证明：连接DF，FE．
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF（SSS）．
∴∠ABF＝∠CBF（ 全等三角形的对应角相等 ）（填推理的依据①）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（ 角平分线上的点到角的两边距离相等 ）（填推理的依据②）．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图所示即为补全的图形；
（2）证明：连接DF，FE．
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF△BEF（SSS）．
∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角的两边距离相等．
20．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°
又∵∠D＝110°
∴∠ACB＝∠D
∵AB∥DE
∴∠CAB＝∠E
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
21．（5分）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AE＝CF，BE＝DF，求证：BE∥DF．
【分析】求出AB＝CD，证△ABE≌△CDF，推出∠B＝∠D即可．
【解答】证明：∵AC＝BD，
∴AC+BC＝BD+BC，即AB＝CD．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠B＝∠D，
∴BE∥DF．
22．（6分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是 6 ；（每个小正方形的边长为1）
（2）△ABC是格点三角形．
①在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；
②在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．
【分析】（1）利用分割法求解即可．
（2）根据三角形的判定，画出图形即可．
（3）利用旋转法画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，S△ABC＝3×5﹣×3×3﹣×1×5﹣×2×2＝6，
故答案为：6．
（2）①如图2中，△BCD即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，△AFE即为所求作（答案不唯一）．
23．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝AC，CE＝5，CF＝7，求DB的长．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，根据AAS证明△ADE≌△CFE即可；
（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，
∴AE＝CE．
又∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，
∴CF＝AD＝7，
∵AB＝AC，E是边AC的中点，CE＝5，
∴AC＝2CE＝10．
∴AB＝10，
∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明AB＝AC，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（2）结论：∠CBF＝∠ADE．证明∠CBF＝∠DAC，∠ADE＝∠DAC，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
（2）结论：∠CBF＝∠ADE．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AB∥DE，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAC，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CBF＝∠DAC，
∴∠CBF＝∠ADE．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作DF∥AB，且DF＝AB，连接FA．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AF与BD的位置关系是 DB∥AF ，数量关系是 AF＝BD ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系．
（3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值．
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）由“SAS”可证△ABF≌△DFB，可得AF＝BD，∠AFB＝∠DBF，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由“SSS”可证△AFC≌△DGF，可得∠FAC＝∠GDF＝140°，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图1，连接BF，
∵DF∥AB，
∴∠DFB＝∠ABF，
又∵DF＝AB，BF＝BF，
∴△ABF≌△DFB（SAS），
∴AF＝BD，∠AFB＝∠DBF，
∴DB∥AF，
故答案为：DB∥AF，AF＝BD；
（3）如图2，
∵∠ABM＝80°，AF∥BD，
∴∠BAF＝100°＝∠FDB，
∴∠FAC＝∠BAC+∠BAF＝140°，
当点G在直线FD的下方时，
∵AC＝AB＝DF，FC＝FG，DG＝DB＝AF，
∴△AFC≌△DGF（SSS），
∴∠FAC＝∠GDF＝140°，
∴∠BDG＝40°，
当点G在直线DF的上方时，
同理可求∠FDG'＝∠FAC＝140°，
∴∠BDG'＝360°﹣140°﹣100°＝120°，
综上所述：∠BDG＝120°或40°．
26．（7分）在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分线MB，在MB上找一点D，使得DC＝DA，过点D作DE⊥BP交于点E．
（1）在图1中，依题意补全图形；
（2）直接写出BE的值 1 ；
（3）如图2，当∠ABC为钝角时，猜想AB，BC，BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）依照题意补全图形；
（2）在射线BP上截取BH＝AB＝5，连接DH，由“SAS”可证△ABD≌△HBD，可得AD＝HD，由等腰三角形的性质可得CE＝EH，即可求解；
（3）在射线BP上截取BH＝AB，连接DH，由“SAS”可证△ABD≌△HBD，可得AD＝HD，由等腰三角形的性质可得CE＝EH，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图1﹣1，在射线BP上截取BH＝AB＝5，连接DH，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABD＝∠DBH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（SAS），
∴AD＝HD，
∵AD＝CD，
∴CD＝DH，
又∵DE⊥CP，
∴CE＝EH，
∴BH＝HE+BE＝BC+BE+BE，
∴5＝2BE+3，
∴BE＝1，
故答案为：1；
（3）如图2，在射线BP上截取BH＝AB，连接DH，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABD＝∠DBH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（SAS），
∴AD＝HD，
∵AD＝CD，
∴CD＝DH，
又∵DE⊥CP，
∴CE＝EH，
∴BH＝HE+BE＝BC+BE+BE＝AB，
∴AB＝2BE+BC．
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