人教版数学九年级上册《二次函数图象性质》同步练习（2份，2课时含答案+原卷版）

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二次函数的图象与性质（一）一．选择题1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（　　）A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0）2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（　　）A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞03．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（　　）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（　　）A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（　　）A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x=2 6．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（　　）A．4 B．4+4 C．12 D．2+47．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（　　）A． B． C． D．二．填空题8．函数y=ax2+c（a≠0）的图象是一条______，对称轴是______，顶点是______，当a＞0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______，当a＜0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______．9．抛物线y=﹣2x2﹣3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．10．若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为______．11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是______．12．点A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为______．13．若抛物线y=x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m=______．14．若一条抛物线与y=的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为______．15．与抛物线y=﹣+3关于x轴对称的抛物线的解析式为______．16．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y=ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是______．（用“＜”连接）    三．解答题17．已知抛物线y=ax2+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）（1）求这个函数的关系式；（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．    18．已知直线y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点A（2，b），求a，b的值．      19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．　        二次函数的图象与性质（一）参考答案1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（　　）A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0）【解答】解：抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故选：B．2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（　　）A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0【解答】解：∵开口向上，∴a＞0；∵抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，∴0﹣4ab＞0，∴b＜0．故选A．3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（　　）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m【解答】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=x2+3.5中得：x=±1.5（舍去负值），即OB=1.5，所以l=AB=2.5+1.5=4．令解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得：x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），∴L=2.5+1.5=4米．故选：B．4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（　　）A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣3顶点坐标为（0，﹣3），抛物线y=2x2顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2向下平移3个单位长度得到的，故选B．5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（　　）A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x=2【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x=0（y轴），故选C．6．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（　　）A．4 B．4+4 C．12 D．2+4【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4与x轴交于B、C两点，顶点为A，∴B（﹣2，0），C（2，0），A（0，﹣4）．∴AB=4，BC=AC==2，∴△ABC周长为：AB+BC+AC=4+4．故应选B．7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（　　）A． B． C． D．【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0  c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；B、由一次函数的图象可知a＜0  c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；C、由一次函数的图象可知a＜0  c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；D、由一次函数的图象可知a＜0  c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．故选B．二．填空题8．函数y=ax2+c（a≠0）的图象是一条　抛物线　，对称轴是　y轴　，顶点是　（0，c）　，当a＞0，抛物线开口　向上　，顶点是抛物线的　最低点　，当a＜0，抛物线开口　向下　，顶点是抛物线的　最高点　．【解答】解：函数y=ax2+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是（0，c），当a＞0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a＜0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．故答案为：抛物线，y轴，（0，c），向上，最低点，向下，最高点．9．抛物线y=﹣2x2﹣3的开口　向下　，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，﹣3）　，当x　＜0　时，y随x的增大而增大，当x　＞0　时，y随x的增大而减小．【解答】解：抛物线y=﹣2x2﹣3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，﹣3），当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．故答案为：向下，y轴，（0，﹣3），＜0，＞0．10．若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为　c　．【解答】解：∵在y=ax2+c中，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴抛物线的对称轴是y轴，∴x1，x2互为相反数，∴x1+x2=0，当x=0时，y=c．故填空答案：c．　11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是　①②③④　．【解答】解：抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都向上，故相同，正确；②对称轴都是y轴，故相同；正确，③形状相同；正确，④都有最底点．正确．其中判断正确的是①②③④．故答案为：①②③④12．点A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为　（3，﹣8）　．【解答】解：∵A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，∴m=9﹣1=8，∴A点坐标为（3，8），∴点A关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．故答案为（3，﹣8）．13．若抛物线y=x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m=　2　．【解答】解：∵y=x2+（m﹣2）x+3，∴其对称轴方程为x=﹣，∵其对称轴为y轴，∴﹣=0，解得m=2，故答案为：2．14．若一条抛物线与y=的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为　y=x2+2　．【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=x2+b，把x=0，y=2代入得：2=b，则抛物线解析式为y=x2+2，故答案为：y=x2+215．与抛物线y=﹣+3关于x轴对称的抛物线的解析式为　y=x2﹣3　．【解答】解：y=﹣+3的顶点坐标为（0，3），而点（0，3）关于x轴对称的点的坐标为（0，﹣3），所以抛物线y=﹣+3关于x轴对称后抛物线的解析式为y=x2﹣3．故答案为y=x2﹣3．　16．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y=ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是　y1＜y2＜y3　．（用“＜”连接）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=ax2﹣1（a＞0），∴抛物线的对称轴为直线x=0，∵A（﹣1，y1）、B（，y2）、C（2，y3），∴点C离直线x=0最远，点A离直线x=0最近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2＜y3．故答案为y1＜y2＜y3．三．解答题17．已知抛物线y=ax2+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）（1）求这个函数的关系式；（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．【解答】解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y=ax2+b得，解得所以这个函数的关系式为y=﹣3x2+9；（2）∵这个函数的关系式为y=﹣3x2+9；∴对称轴x=0，∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．　18．已知直线y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点A（2，b），求a，b的值．【解答】解：把A（2，b）代入y=2x得b=2×2=4，则A点坐标为（2，4），把A（2，4）代入y=ax2+3得4a+3=4，解得a=．　19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线的顶点为A（0，1），∴抛物线的对称轴为y轴，∵四边形CDEF为矩形，∴C、F点为抛物线上的对称点，∵矩形其面积为8，OB=2∴CF=4，∴F点的坐标为（2，2），设抛物线解析式为y=ax2+1，把F（2，2）代入得4a+1=2，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+1．　
二次函数的图象和性质（二）一.选择题1．二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）A．y=x2+3 B．y=x2﹣3 C．y=（x+3）2 D．y=（x﹣3）22．抛物线y=﹣2（x﹣3）2的顶点坐标和对称轴分别为（　　）A．（﹣3，0），直线x=﹣3 B．（3，0），直线x=3C．（0，﹣3），直线x=﹣3 D．（0，3），直线x=﹣33．已知二次函数y=3（x+1）2﹣8的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y14．把抛物线y=6（x+1）2平移后得到抛物线y=6x2，平移的方法可以是（　　）A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位5．若二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（　　）A．2 B．﹣2 C．0 D．±26．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是（　　）A．y=﹣x2+2 B．y=x2+2 C．y= D．y=3（x﹣2）27．对于函数y=3（x﹣2）2，下列说法正确的是（　　）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＞2时，y随x的增大而增大D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小8．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题10．抛物线y=﹣3（x﹣1）2的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______．11．当x______时，函数y=﹣（x+3）2y随x的增大而增大，当x______时，随x的增大而减小．12．若抛物线y=a（x﹣h）2的对称轴是直线x=﹣1，且它与函数y=3x2的形状相同，开口方向相同，则a=______，h=______．13．抛物线y=（x﹣5）2的开口，对称轴是______，顶点坐标是______，它可以看做是由抛物线y=x2向______平移______个单位长度得到的．抛物线______向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2．14．已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y=﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______．15．顶点是（2，0），且抛物线y=﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为______．16．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为______．三、解答题17．抛物线y=a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．   18．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．      19．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．　
二次函数的图象和性质（二）参考答案一.选择题1．二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）A．y=x2+3 B．y=x2﹣3 C．y=（x+3）2 D．y=（x﹣3）2【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（3，0）．可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x﹣3）2．故选：D．　2．抛物线y=﹣2（x﹣3）2的顶点坐标和对称轴分别为（　　）A．（﹣3，0），直线x=﹣3 B．（3，0），直线x=3C．（0，﹣3），直线x=﹣3 D．（0，3），直线x=﹣3【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），对称轴为x=3．故选：B．　3．已知二次函数y=3（x+1）2﹣8的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：由二次函数y=3（x+1）2﹣8可知，对称轴为x=﹣1，开口向上，可知，A（1，y1），B（2，y2）两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，由1＜2得y1＜y2，A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故y3最小．故选B．　4．把抛物线y=6（x+1）2平移后得到抛物线y=6x2，平移的方法可以是（　　）A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位【解答】解：∵y=6x2=6（x+1﹣1）2，∴抛物线y=6x2可由y=6（x+1）2沿x轴向右平移1个单位得出；故选D．　5．若二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（　　）A．2 B．﹣2 C．0 D．±2【解答】解：∵二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，∴m=±2．故选：D．　6．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是（　　）A．y=﹣x2+2 B．y=x2+2 C．y= D．y=3（x﹣2）2【解答】解：A、y=﹣x2+2，对称轴是x=0，此选项错误；B、y=x2+2，对称轴是x=0，此选项错误；C、y=（x+2）2，对称轴是x=﹣2，此选项正确；D、y=3（x﹣2）2，对称轴是x=2，此选项错误．故选：C．7．对于函数y=3（x﹣2）2，下列说法正确的是（　　）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＞2时，y随x的增大而增大D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【解答】解：∵二次函数y=3（x﹣2）2，的对称轴为x=2，a=3＞0，∴开口向上，当x＞2时y随x的增大而增大，故A、B、D错误，C正确．故选：C．　8．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①因为a=3＞0，它们的图象都是开口向上，此选项正确；②y=3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，0），此选项错误；③二次函数y=3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y=3（x﹣1）2当x10时，y随着x的增大而增大；④因为a=3，所以它们的开口的大小是一样的，此选项正确．综上所知，正确的有①④两个．故选：B．　9．抛物线　y=2（x+2）2　向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2．【解答】解：依题意知 原抛物线是由抛物线y=2（x﹣1）2向左平移3个单位长度得到的．抛物线y=2（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），则向左平移3个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，0），故原抛物线的解析式为：y=2（x+2）2故答案是：y=2（x+2）2．　二、填空题10．抛物线y=﹣3（x﹣1）2的开口方向　下　，对称轴是　x=1　，顶点坐标是　（1，0）　．【解答】解：由y=﹣3（x﹣1）2可知，二次项系数为﹣3＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）．故本题答案为：向下，x=1，（1，0）．　11．当x　＜﹣3　时，函数y=﹣（x+3）2y随x的增大而增大，当x　＞﹣3　时，随x的增大而减小．【解答】解：∵函数y=﹣（x+3）2的对称轴为x=﹣3，且开口向下，∴当x＜﹣3时，函数y=﹣（x+3）2y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，随x的增大而减小．故答案为：＜﹣3，＞﹣3．　12．若抛物线y=a（x﹣h）2的对称轴是直线x=﹣1，且它与函数y=3x2的形状相同，开口方向相同，则a=　3　，h=　﹣1　．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2的对称轴是直线x=﹣1，∴h=﹣1，∵它与函数y=3x2的形状相同，开口方向相同，∴a=3．故答案为3，﹣1． 13．抛物线y=（x﹣5）2的开口，对称轴是　x=5　，顶点坐标是　（5，0）　，它可以看做是由抛物线y=x2向　右　平移　5　个单位长度得到的．抛物线　y=2（x+2）2　向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2．【解答】解：抛物线y=（x﹣5）2的开口向上，对称轴是直线x=5，顶点坐标是（5，0），它可以看作是由抛物线y=x2向右平移5个单位长度得到的．抛物线y=2（x+2）2向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2．故答案为：向上，x=5，（5，0），右，5，y=2（x+2）2．　14．已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y=﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y2＞y1＞y3　．【解答】解：∵二次函数的解析式为y=﹣2（x+2）2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2，∵A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），∴点B在直线x=﹣2上，点C离直线x=﹣2最远，而抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3；故答案为y2＞y1＞y3．　15．顶点是（2，0），且抛物线y=﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　y=﹣3（x﹣2）2　．【解答】解：由题意可得抛物线的解析式为y=﹣3（x﹣2）2．故答案为：y=﹣3（x﹣2）2． 16．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为　y=　．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得4a=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=，故答案为：y=．　三、解答题17．抛物线y=a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y=a（x﹣2）2得a•（1﹣2）2=﹣1解得a=﹣1（2）抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2，当y=0时，﹣（x﹣2）2=0，解得x=2，所以抛物线与x轴交点坐标为（2，0）；当x=0时，y=﹣（x﹣2）2=﹣4，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣4）． 18．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．【解答】解：根据题意得y=a（x﹣2）2，把（1，﹣3）代入得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，所以当x＜2时，y随x的增大而增大．　19．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．【解答】解：（1）∵OM=ON=4，∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2，把N（0，4）代入得16a=4，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x﹣4）2=x2﹣2x+4；（2）∵点A的横坐标为t，∴DM=t﹣4，∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8，把x=t代入y=x2﹣2x+4得y=t2﹣2t+4，∴AD=t2﹣2t+4，∴l=2（AD+CD）=2（t2﹣2t+4+2t﹣8）=t2﹣8（t＞4）．