【解析版】2022年房山区周口店中学七年级下期中数学试卷

2022学年北京市房山区周口店中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共计10个小题，每小题3分，共30分）

1．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　）

　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

2．下列运算中正确的是（　　）

　 A． a3•a4=a12 B． （a2b）2=a4b2 C． （a3）4=a7 D． 3x2•5x3=15x6

3．化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（　　）

　 A． ﹣x6 B． x6 C． x5 D． ﹣x5

4．方程组的解是（　　）

　 A． B． C． D．

5．设（a+2b）2=（a﹣2b）2+A，则A=（　　）

　 A． 8ab B． ﹣8ab C． 8b2 D． 4ab

6．如果|x+y﹣1|和2（2x+y﹣3）2互为相反数，那么x，y的值为（　　）

　 A． B． C． D．

7．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）

　 A． （2a+b）（2b﹣a） B． C． （3x﹣y）（﹣3x+y） D． （﹣m﹣n）（﹣m+n）

8．方程3x+y=7的正整数解的个数是（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．下列运算结果错误的是（　　）

　 A． （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B． （a﹣b）2=a2﹣b2

　 C． （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4 D． （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6

10．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（　　）

　 A． 3 B． ﹣5 C． 7 D． 7或﹣1

二、填空题（每题3分，共18分）

11．已知是方程3mx﹣y=﹣1的解，则m=　　　　　　．

12．计算：（1）a5•a3•a=　　　　　　，（2）（a5）3÷a6=　　　　　　，（3）（﹣2x2y）3=　　　　　　．

13．已知在0摄氏度及一个标准大气压下1cm3空气的质量是0.001293克，数0.001293用科学记数法表示为　　　　　　．

14．若﹣x4y6与3x1﹣my3n的和仍是单项式，则mn=　　　　　　．

15．计算：（x﹣2y）2=　　　　　　．

16．若a+b=5，ab=6，则a2+b2=　　　　　　．

三、解答题（本题满分52分）

17．（10分）（2015春•房山区校级期中）解方程组：

（1）

（2）．

18．（20分）（2015春•房山区校级期中）计算

（1）1022（用简便方法）　            

（2）a3•a3+（2a3）2+（﹣a2）3

（3）|﹣3|+（﹣1）2013×（π﹣3）0﹣（）﹣1

（4）先化简，再求值：已知3x2﹣x﹣4=0，求（x﹣1）（2x﹣1）+（x+1）2+1的值．

19．甲乙两种商品的原价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%．乙商品提价5%后，甲乙两种产品的单价和别原来单价和提高了2%，求甲乙两种商品的原价各是多少元？

20．计算如图阴影部分面积：

（1）用含有a，b的代数式表示阴影面积；

（2）当a=1，b=2时，其阴影面积为多少？

21．观察两个图形中阴影部分面积的关系．

（1）可以用这两个图形中阴影部分的面积解释的乘法公式是　　　　　　．

（2）请你利用这个乘法公式完成下面的计算．

①100.3×99.7；②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

22．找规律填空：

（x﹣1）（x+1）=　　　　　　

（x﹣1）（x2+x+1）=　　　　　　

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　　　　　　

…

（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=　　　　　　（其中n为正整数）

2022学年北京市房山区周口店中学七年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共计10个小题，每小题3分，共30分）

1．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　）

　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 二元一次方程组的定义． 

分析： 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；未知数的项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．

解答： 解：在方程组、、、、、中，

是二元一次方程组的有、、．

故选B．

点评： 主要考查二元一次方程组的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程．

2．下列运算中正确的是（　　）

　 A． a3•a4=a12 B． （a2b）2=a4b2 C． （a3）4=a7 D． 3x2•5x3=15x6

考点： 单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 

分析： 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘法的运算方法，利用排除法求解．

解答： 解：A、应为a3•a4=a3+4=a7，故本选项错误；

B、（a2b）2=a2×2b2=a4b2，故本选项正确；

C、应为（a3）4=a3×4=a12，故本选项错误；

D、3x2•5x3=（3×5）x2+3=15x5，故本选项错误．

故选：B．

点评： 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

3．化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（　　）

　 A． ﹣x6 B． x6 C． x5 D． ﹣x5

考点： 同底数幂的乘法． 

分析： 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．

解答： 解：（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．

故选D．

点评： 主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

4．方程组的解是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 解二元一次方程组． 

专题： 计算题．

分析： 解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降元，观察发现两式中y的系数互为相反数，所以可以直接将两式相加去y，解出x的值，将x的值代入①式中求出y的值．

解答： 解：将①式与②相加得，

3x=6解得，

x=2，将其代入①式中得，

y=1，

此方程组的解是：

故选A．

点评： 本题考查的是二元一次方程的解法之一：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数．

5．设（a+2b）2=（a﹣2b）2+A，则A=（　　）

　 A． 8ab B． ﹣8ab C． 8b2 D． 4ab

考点： 完全平方公式． 

分析： 直接利用完全平方公式去括号求出即可．

解答： 解：∵（a+2b）2=（a﹣2b）2+A，

∴a2+4ab+4b2=a2﹣4ab+4b2+A，

∴4ab=﹣4ab+A，

∴A=8ab．

故选：A．

点评： 此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．

6．如果|x+y﹣1|和2（2x+y﹣3）2互为相反数，那么x，y的值为（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 

分析： 根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．

解答： 解：根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，

所以有，

解得．

故选C．

点评： 考查了绝对值和平方数的非负性．互为相反数的两个数相加等于0，|x+y﹣1|和2（2x+y﹣3）2都是非负数，所以这个数都是0．

7．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）

　 A． （2a+b）（2b﹣a） B． C． （3x﹣y）（﹣3x+y） D． （﹣m﹣n）（﹣m+n）

考点： 平方差公式． 

分析： 可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

解答： 解：A、（2a+b）（2b﹣a）=ab﹣2a2+2b2不符合平方差公式的形式，故错误；

B、原式=﹣（+1）（+1）=（+1）2不符合平方差公式的形式，故错误；

C、原式=﹣（3x﹣y）（3x﹣y）=（3x﹣y）2不符合平方差公式的形式，故错误；

D、原式=﹣（n+m）（n﹣m）=﹣（n2﹣m2）=﹣n2+m2符合平方差公式的形式，故正确．

故选D．

点评： 本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式的结构．公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

8．方程3x+y=7的正整数解的个数是（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 解二元一次方程． 

专题： 计算题．

分析： 要先把其中一个未知数用另一个未知数表示出来．然后根据解为正整数分析它的解的情况．

解答： 解：由已知得y=7﹣3x，

要使x，y都是正整数，

∴x=1，2时，

相应的y=4，1．

∴正整数解为．

故选B．

点评： 本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．

9．下列运算结果错误的是（　　）

　 A． （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B． （a﹣b）2=a2﹣b2

　 C． （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4 D． （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6

考点： 平方差公式；多项式乘多项式；完全平方公式． 

分析： 根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．

解答： 解：A、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2，正确，不符合题意；

B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误，符合题意；

C、（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）═x4﹣y4，正确，不符合题意；

D、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，正确，不符合题意．

故选B．

点评： 本题考查了平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．

10．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（　　）

　 A． 3 B． ﹣5 C． 7 D． 7或﹣1

考点： 完全平方式． 

专题： 计算题．

分析： 利用完全平方公式的结构特征判断即可．

解答： 解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，

∴m﹣3=±4，

解得：m=7或﹣1，

故选D．

点评： 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

二、填空题（每题3分，共18分）

11．已知是方程3mx﹣y=﹣1的解，则m=　﹣3　．

考点： 二元一次方程的解． 

专题： 方程思想．

分析： 知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．

解答： 解：把代入方程3mx﹣y=﹣1，得

3m+8=﹣1，

解得m=﹣3．

点评： 解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数m为未知数的一元一次方程，再求解．

12．计算：（1）a5•a3•a=　a9　，（2）（a5）3÷a6=　a9　，（3）（﹣2x2y）3=　﹣8x6y3　．

考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方． 

分析： （1）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算解答；

（2）根据幂的乘方，底数不变、指数相乘，同底数幂相除，底数不变、指数相减计算；

（3）根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘解答．

解答： 解：（1）a5•a3•a

=a5+3+1，

=a9；

（2）（a5）3÷a6，

=a5×3÷a6，

=a15﹣6，

=a9；

（3）（﹣2x2y）3，

=（﹣2）3（x2）3y3，

=﹣8x6y3．

点评： 本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

13．已知在0摄氏度及一个标准大气压下1cm3空气的质量是0.001293克，数0.001293用科学记数法表示为　1.293×10﹣3　．

考点： 科学记数法—表示较小的数． 

分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答： 解：0.001293=1.293×10﹣3，

故答案为：1.293×10﹣3．

点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

14．若﹣x4y6与3x1﹣my3n的和仍是单项式，则mn=　9　．

考点： 合并同类项． 

分析： 单项式﹣x4y6与3x1﹣my3n的和仍为单项式，则它们是同类项．由同类项的定义可先求得m和n的值，从而求出mn的值．

解答： 解：根据题意得，

解得，

则mn=（﹣3）2=9．

故答案为：9．

点评： 本题主要考查同类项的定义：所含字母相同，相同的字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．

15．计算：（x﹣2y）2=　x2﹣4xy+4y2　．

考点： 完全平方公式． 

分析： 利用完全平方公式展开即可．

解答： 解：（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2，

故答案为：x2﹣4xy+4y2

点评： 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

16．若a+b=5，ab=6，则a2+b2=　13　．

考点： 完全平方公式． 

分析： 先把a+b=5两边平方得（a+b）2=25，展开为a2+2ab+b2=25，再整体代入计算即可．

解答： 解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=13．

点评： 本题考查了完全平方公式的运用，一般情况下a2+b2与（a+b）2有着内在的联系，此题经常是通过完全平方式和整体代入ab的值来求得a2+b2的值．

三、解答题（本题满分52分）

17．（10分）（2015春•房山区校级期中）解方程组：

（1）

（2）．

考点： 解二元一次方程组． 

分析： （1）①+②得出3x=15，求出x=5，把x=5代入①得出5+y=7，求出y即可．

（2）①×2+②×5得出29x=87，求出x=3，把x=3代入①求出y即可．

解答： 解：（1）

①+②得：3x=15，

解得：x=5，

把x=5代入①得：5+y=7，

解得：y=2，

即方程组的解是；

（2）

①×2+②×5得：29x=87，

解得：x=3，

把x=3代入①得：6﹣5y=1，

解得：y=1，

即方程组的解是．

点评： 本题考查了解二元一次方程组的应用，解此题的关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．

18．（20分）（2015春•房山区校级期中）计算

（1）1022（用简便方法）　            

（2）a3•a3+（2a3）2+（﹣a2）3

（3）|﹣3|+（﹣1）2013×（π﹣3）0﹣（）﹣1

（4）先化简，再求值：已知3x2﹣x﹣4=0，求（x﹣1）（2x﹣1）+（x+1）2+1的值．

考点： 整式的混合运算—化简求值；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 

分析： （1）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可；

（2）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；

（3）先算乘方，再算加减即可；

（4）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

解答： 解：（1）1022

=（100+2）2

=1002+2×100×2+22

=10000+400+4

=10404；

（2）a3•a3+（2a3）2+（﹣a2）3

=a6+4a6﹣a6

=4a6；

（3）|﹣3|+（﹣1）2013×（π﹣3）0﹣（）﹣1

=3﹣1×1﹣2

=0；

（4）（x﹣1）（2x﹣1）+（x+1）2+1

=2x2﹣x﹣2x+1+x2+2x+1+1

=3x2﹣x+3，

∵3x2﹣x﹣4=0，

∴3x2﹣x=4，

∴原式=4+3=7．

点评： 本题考查了完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，整式的混合运算和求值的应用，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键，注意运算顺序．

19．甲乙两种商品的原价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%．乙商品提价5%后，甲乙两种产品的单价和别原来单价和提高了2%，求甲乙两种商品的原价各是多少元？

考点： 一元一次方程的应用． 

分析： 设甲种商品的原价为x元，则乙种商品的原价为（100﹣x）元，本题中等量关系为：调价后单价和为102，根据等量关系列出方程，最后解答即可．

解答： 解：设甲种商品的原价为x元，则乙种商品的原价为（100﹣x）元，根据题意得

（1﹣10%）x+（1+5%）（100﹣x）=100（1+2%），

0.9x+1.05（100﹣x）=102，

整理得，0.15x=3，

解得x=20．

答：甲种商品的原价为20元，乙种商品的原价为80元．

点评： 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

20．计算如图阴影部分面积：

（1）用含有a，b的代数式表示阴影面积；

（2）当a=1，b=2时，其阴影面积为多少？

考点： 整式的混合运算；代数式求值． 

专题： 计算题．

分析： （1）由三个矩形面积之和表示出阴影部分面积即可；

（2）将a与b的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）根据题意得：4a2+2ab+3b2；

（2）当a=1，b=2时，原式=4+4+12=20．

点评： 此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．观察两个图形中阴影部分面积的关系．

（1）可以用这两个图形中阴影部分的面积解释的乘法公式是　（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2　．

（2）请你利用这个乘法公式完成下面的计算．

①100.3×99.7；②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

考点： 平方差公式的几何背景． 

分析： （1）本题通过（1）中的面积=a2﹣b2；

（2）根据得出平方差公式计算即可．

解答： 解：（1）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

（2）①100.3×99.7=（100+0.3）×（100﹣0.3）=9999.91；

②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28+1）（28﹣1）（216+1）（232+1）

=（216﹣1）（216+1）（232+1）

=（232﹣1）（232+1）

=264﹣1．

故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

点评： 本题主要考查了利用面积公式证明平方差公式，熟记公式结构是利用平方差公式解决实际问题．

22．找规律填空：

（x﹣1）（x+1）=　x2﹣1　

（x﹣1）（x2+x+1）=　x3﹣1　

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　x4﹣1　

…

（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=　xn+1﹣1　（其中n为正整数）

考点： 平方差公式． 

专题： 规律型．

分析： 观察其右边的结果：第一个是x2﹣1；第二个是x3﹣1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．

解答： 解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，

 …

（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）=xn+1﹣1．            

故答案为：x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1，xn+1﹣1．

点评： 本题考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解题的关键．