2021-2022学年江苏省徐州二十六中九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省徐州二十六中九年级（下）第一次段考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线

3. 在下列的计算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列一次函数中，随的增大而减小的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知双曲线过点、、，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；不等式的解集为，正确的结论个数是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，是线段上一动点，，都是等边三角形，，分别是，的中点，若，则线段的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 的立方根是______．
10. 反比例函数的图象经过点，则的值为______．
11. 若代数式有意义，则的取值范围是______ ．
12. 若，则的值为______ ．
13. 若关于的一元二次方程的一个根是，则 ______ ．
14. 分解因式：______．
15. 若、是方程的两个根，则 ______ ．
16. 如图，是的直径，点、在上，若，则______
    
     

17. 如图的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、若四边形的面积为，则的值为______ ．
    
     

18. 矩形中，为边上的一点，动点沿着运动，到停止，动点沿着运动到停止，它们的速度都是，设它们的运动时间为，的面积记为，与的关系如图所示，则矩形的面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共76.0分）

20. 解方程：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解方程组：．
    解不等式组．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
    求证≌；
    若，，，求的长．

23. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处已知，．
    求证：是等腰三角形；
    求线段的长．
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线经过点，它与轴交于点，点在轴正半轴上，且．
    求直线的函数解析式；
    若直线也经过点，且与轴交于点，如果的面积为，求点的坐标．

25. 某水果超市以每千克元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于元，经市场调查发现，樱桃的日销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：

直接写出与之间的函数表达式______；
该超巿要想获得元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大并求出最大利润．






 

26. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点 ．
    求抛物线的解析式和顶点的坐标；
    动点以相同的速度从点同时出发，分别在线段，上向点，方向运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点
    当四边形为矩形时，求点的坐标；
    过点作于点，连接，，，设的面积为，的面积为，当将的面积分成：两部分时，请直接写出的值．
    连接，，请直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义可得的倒数是．
本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了整式的运算，完全平方公式等，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：、原式不能合并，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：
在中，当时，随的增大而减小，
在、和中，的值分别为、、，
函数、和中，随的增大而增大，
在中，，
随的增大而减小，
故选：．
根据一次函数的增减性逐项判断即可．
本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数函数的增减性是解题的关键，即在中，当时随的增大而增大，当时随的增大而减小．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，
反比例函数的图象过点、、，
点、在第四象限，在第二象限，
，，
．
故选：．
根据的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大．
 

6.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向上，则，故正确；
由图象可知：抛物线与轴无交点，即
，故错误；
由图象可知：抛物线过点，，即当时，，
当时，，
，即，
，故正确；
故正确；
点，在直线上，
由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，
的解集为，故正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，如图所示：

和为等边三角形，
，，，
，
是的中点，
，，
，
设，则，
，
，
，
根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，
得，
当时，取得最小值，
故答案选：．
连接，根据等边三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理，可得，根据二次函数的性质可求的最小值．
本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理，二次函数求最值等，熟练掌握等边三角形的性质以及添加辅助线将构造到直角三角形里是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：的立方根为，
故答案为：．
利用立方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：把代入函数中，得，解得．
故答案为：．
将点代入解析式可求出的值．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设，再把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
由题意得：，解不等式即可得出答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，






，
故答案为：．
先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，再整体代入，即可得出结果．
利用提公因式法把多项式进行因式分解，分步整体代入计算是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：把代入方程得，解得．
故答案为．
直接把代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，

．
应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

15.【答案】
 

【解析】解：、是方程的两个根，，，
．
故答案为：．
由、是方程的两个根，利用根与系数的关系可得出的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于”是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故答案为：．
根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，
∽∽，
、是的三等分点，
，，
，
四边形的面积为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
易证∽∽，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出的面积，进而可求出的面积，则的值也可求出．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数的几何意义，正确的求出是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
过点作于，

由三角形面积公式得：，
解得，
，
由图可知当时，点与点重合，

，
矩形的面积为．
故答案为：．
过点作，由三角形面积公式求出，由图可知当时，点与点重合，则，可得出答案．
本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，掌握数形结合思想方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

．
 

【解析】化简绝对值，算术平方根，有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减；
先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法．
本题考查分式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：，
或，
所以，；
去分母得，
解得，
检验：当时，，则为原方程的解；
所以原方程的解为．
 

【解析】利用因式分解法解方程；
先把方程化为整式方程，然后解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程．
 

21.【答案】解：，
把得：，
解得，
把代入可得：，
解得，
所以此二元一次方程组的解为；

，
由得，，
由得，，
故此不等式组的解集为：．
 

【解析】利用加减消元法求解可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】证明：在和中，

≌；
解：由得：≌，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：．
 

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再证∽，得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：由折叠性质可知，，
由矩形性质可得，
，
．
，
故为等腰三角形．
解：由折叠可得，设，
则，
，
在中，有，
即，解得：．
由结论可得，
故FD．
 

【解析】由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证；
由折叠性质并结合中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
在轴正半轴，
，
设直线解析式为：，
在此图象上，代入得
，
解得．
；
，
，
，
设，
，
，
解得：或，
或．
 

【解析】先求出，再由待定系数法求出直线的解析式；
根据三角形面积公式可求，依此可求点的坐标．
主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握待定系数法．
 

25.【答案】
 

【解析】解：设，
由题意得：，
解得：，
所以与之间的函数表达式为．
故答案为：．
根据题意得：，
解得：，，
，
不合题意，应舍去，
，
答：每千克樱桃的售价应定为元．
设日销售利润为，
则，

，
，
当时，随的增大而增大，
又，
当时，取得最大值，最大值为．
即当每千克樱桃的售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元．
利用待定系数法求解即可．
根据日利润每千克的利润日销售量列出关于的方程，解之求出的值，结合的取值范围可得答案．
设日销售利润为，根据以上相等关系列出关于的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
 

26.【答案】解：将点、代入解析式

解得
，
当时，，

设点的坐标为，则点，点，
四边形为矩形，
，
，
解得舍，．

令，，
，
将的面积分成：两部分，
将线段分成：两部分，
情况一：当过靠近点的四等分点时，点的坐标为，点，
点，
直线的解析式为，
当时，，
点，
如图所示，

，
，
，
，
，，
．
情况二：当过靠近点的四等分点时，点，点，点，点，
，
，
，
，，
．
综上所述：或．
如图所示，

，，，
≌，
，
，
作点关于轴的对称点，
连接，与轴的交点即为点，
．
的最小值为．
 

【解析】将点、代入抛物线解析式即可，则点坐标可求．
四边形为矩形，可分析出，设点坐标表示线段长度列式求解即可．
分三角形的面积之比为：，可分析出分线段为：，分两种情况讨论，分别求出和，则比值可求．
转化线段为线段，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的长度就是的最小值．
此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转化为线段长度，以及最短路径问题，最后一问将线段转换为线段为解题关键．