2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市新街中学八年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市新街中学八年级（下）第一次段考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

2. 下列调查中，需要采用全面调查普查方式的是(    )

A. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查
B. 对长征火箭发射前各零部件的检查
C. 对全国中学生课外阅读情况的调查
D. 对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查

3. 下列事件中，是确定性事件的是(    )

A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C. 投掷一枚骰子六个面分别刻有到的点数，向上一面的点数大于
D. 任意画一个三角形，其外角和是

4. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是菱形，则四边形一定是(    )

A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

6. 今年某市有近名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是(    )

A. 每位考生的数学成绩是个体 B. 名考生是总体
C. 这名考生是总体的一个样本 D. 名学生是样本容量

7. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是▱内一点，且，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D. 无法计算

10. 如图，直角三角形中，两条直角边，，将绕着中点旋转一定角度，得到，点正好落在边上，和交于点，则的长为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. ▱中，若：：，则______．
12. 已知正方形的对角线长为，则它的面积为______．
13. 中，，，，分别为，，的中点，已知，则______．
14. 若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成和的两段，则该矩形的周长为______ ．
15. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则______度．

16. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点在轴上，顶点的坐标为若直线将▱分割成面积相等的两部分，则______．

17. 如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上．将该纸片沿折叠，使点落在边上，落点为，与相交于点随着点的移动，点移动路线长度的最大值是______．

18. 如图，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，点是线段的一个动点，连接，以为边作矩形，使边过点，已知所作矩形的面积为，连接，则在点的运动过程中，线段的最大值为______．

三．解答题（本题共8小题，共76分）

19. 某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生每人限报一课进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：
    请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
    此次共调查了______名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是______度；
    此次调查“数学思维”的人数为______；
    现该校共有名学生报名参加这四个选修项目，请你估计大约有______名学生选修“科技制作”项目．
20. 操作题
    如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
    作出关于坐标原点成中心对称的；
    若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为、，，则旋转中心坐标为______．

21. 如图，▱中，点、分别在、上，且，与相交于点，求证：．

22. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于，
    连接，求证：．
     

23. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且．
    求证：四边形是矩形；
    若：：，，求的度数．

24. 如图所示，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
    求证：是的中点；
    若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

25. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
     

求证：四边形是菱形；

若，，求的长．

26. 在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点．
    如图，当点落在边上时，直写出线段的长度为______；
    如图，当点落在线段上时，与相交于点，连接，
    求证：≌；
    直接写出线段的长度为______．
    如图设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、对长征火箭发射前各零部件的检查，适合全面调查，故本选项符合题意；
C、对全国中学生课外阅读情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故A不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，故B不符合题意；
C、投掷一枚骰子六个面分别刻有到的点数，向上一面的点数大于是随机事件，故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，其外角和是是确定事件，故D符合题意；
故选：．
根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，必然事件发生的概率为，即必然事件；不可能事件发生的概率为，即不可能事件；如果为不确定事件随机事件，那么，逐一判断即可得到答案．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，
故A可以判断四边形是平行四边形．
B、，，
四边形是平行四边形，
故B可以判断四边形是平行四边形．
C、，，
四边形是平行四边形，
故C可以判断四边形是平行四边形．
D、，，
四边形可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形是平行四边形．
故选D．
根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，分别是边，，，的中点，
，，，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
假设，
，，
则，
平行四边形是菱形，
即只有具备即可推出四边形是菱形，
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，，，要使四边形为菱形，得出，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、每位考生的数学成绩是个体，此选项正确；
B、名考生的数学成绩是总体，此选项错误；
C、这名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
D、是样本容量，此选项错误；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
根据菱形面积对角线乘积的一半可求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，，
，
同理，，，
．
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
则


．
故选A．
根据图形得出，求出，求出，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的面积的有关问题，关键是推出．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
点是中点，
，
将绕着中点旋转一定角度，得到，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，，
，
，
，
故选：．
由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，，可得，可得，由锐角三角函数可求的长，由直角三角形的性质可求的长，即可求的长．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，求的长是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意设，，
由平行四边形的性质，得，
，解得，
，
，
．
故答案为．
根据已知比例设，，再由两直线平行，同旁内角线补，可求角的度数．
本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，解决本题的关键是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：正方形的对角线长为，
它的面积．
故答案为：．
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键，记住正方形的面积公式是边长的平分或对角线乘积的一半，属于基础题中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
在中，为的中点，
，
故答案为：
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：
四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
当时，，，
此时矩形的周长是；
当时，，，
此时矩形的周长是；
故答案为：或．
根据矩形的性质得出，，，推出，求出，推出，分为两种情况，代入求出即可．
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是求出的长，注意要进行分类讨论啊．
 

15.【答案】 

【解析】解：把绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接和交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如下图所示：

四边形为平行四边形，
，，
点的坐标为，
直线将▱分割成面积相等的两部分，
该直线过点，
，
．
故答案为：．
经过平行四边形对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，故先求出对角线的交点坐标，再代入直线解析式求解．
本题考查平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题关键在于明白平分平行四边形面积的直线的特征，难度一般．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，取、的中点、，连接、交于点，

将该纸片沿折叠，使点落在边上，
垂直平分，
为的中点，
点的运动路径就是线段，
，，
，
点移动路线长度的最大值是．
故答案为：．
取、的中点、，连接、交于点，根据垂直平分，可得为的中点，所以点的运动路径就是线段，再利用三角形中位线定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形中位线定理等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，取中点，连接，，

，，
，
点坐标为，
，
，
，、均为定点，
可以看作是在以为直径的圆上，且点是中点，
则，，
当点，点，点三点共线时，的值最大．
的最大值，
故答案为：，
连接，由矩形的性质得出，，得出，可求，由，、均为定点，可以看作是在以为直径的圆上，取的中点，则的最大值．
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：调查的总学生数是：名，
“艺术欣赏”部分的圆心角是；
故答案为：，；

数学思维的人数是：名，
故答案为：；

根据题意得：名，
答：估计大约有名学生选修“科技制作”项目．
根据阅读写作的人数和所占的百分比，即可求出总学生数，再用艺术欣赏的人数除以总人数乘以，即可得出答案；
用总学生数减去“艺术欣赏”，“科技制作”，“阅读写作”，得出“数学思维”的人数，从而得出答案；
用“科技制作”所占的百分比乘以总人数，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
将绕某点逆时针旋转后得到，则旋转中心为点．

故答案为．
利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点得到；
先描点得到，然后作和的垂直平分线，则它们的交点即为旋转中心，则写出此旋转中心的坐标即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】欲证明，只要证明≌即可解决问题；
本题考查平行四边形点性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

22.【答案】
证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
又，
，
在中，，
在中，，
． 

【解析】根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角求出，根据两直线平行，内错角相等求出，然后根据等角的余角相等证明即可．
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；

解：，：：，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出，根据矩形的判定得出即可；
求出的度数，根据三角形内角和定理求出，根据矩形的性质得出，求出，即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
 

24.【答案】证明：，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是的中点；

解：若，则四边形是矩形．理由如下：
≌，
，
，
；
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
由知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，
判断出是解本题的关键．
先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
 

26.【答案】  

【解析】解：如图中，

四边形是矩形，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
，
故答案为：

证明：如图中，

当点落在线段上，
，
在和中，
，
≌；
如图中，≌，
，
，设，
在中，，
，

，
故答案为：．

存在．
理由：如图中，连接，作于．

当与共线，且时，面积最大，
由题意：，
，，
，
，
，
则，
的面积的最大值为．
如图中，在中，利用勾股定理即可解决问题；
证明：如图中，根据即可证明≌；
如图中，由≌，推出，推出，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；
存在．连接，作于当与共线，且时，面积最大，利用求出，再根据计算即可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．