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2021-2022学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（3分）某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（ ）
成绩（分）
6
7
8
9
10
频数
1
6
13
14
16
A．10 B．16 C．9 D．14
3．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x2+3
4．（3分）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，若EF∥BC，，EF＝4，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，则∠ABD等于（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
7．（3分）如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4
8．（3分）如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）方程x2＝2的解是 ．
10．（4分）二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 ．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
12．（4分）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，则净含量较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．（4分）阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 m．
14．（4分）如图，在方格纸中，以点O为位似中心，菱形ABCD的位似图形可能是 ．
15．（4分）如图、直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．若∠P＝60°．⊙O的半径为6cm，则弧的长为 cm．（结果保留π）
16．（4分）如图，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为半径作⊙C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是 ．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（10分）（1）计算：20220﹣sin60°﹣；
（2）解方程：x2+2x﹣3＝0．
18．（8分）国庆黄金周期间，电影《长津湖》的单日票房信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）票房的中位数为 亿元：平均数为 亿元（精确至0.1）；
（2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？
19．（8分）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：
A．交流谈心；
B．有氧运动；
C．欣赏音乐；
D．安静休息．
考生可从中选择一种方式进行减压．
（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 ；
（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
20．（8分）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
21．（8分）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
（1）用数学的眼光观察，图2 ．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．
22．（10分）果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；
（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？
23．（10分）如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由．
24．（10分）如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30°，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75°．已知CD＝12m．
（1）若D到CA的距离为 m；
（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）
25．（12分）如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：
1+m﹣2＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
2．（3分）某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（ ）
成绩（分）
6
7
8
9
10
频数
1
6
13
14
16
A．10 B．16 C．9 D．14
【分析】根据众数的定义进行判断即可．
【解答】解：这组数据中，成绩为10分的出现的次数最多，是16次，因此成绩的众数是10分，
故选：A．
3．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x2+3
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0），向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（0，3）；
可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣x2+3．
故选：D．
4．（3分）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，若EF∥BC，，EF＝4，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先利用比例的性质得到＝，再证明△AEF∽△ABC，然后利用相似比得到BC＝EF．
【解答】解：∵，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝EF＝×4＝10．
故选：C．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，则∠ABD等于（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【分析】由圆周角定理得出∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝α，由直角三角形的性质求出∠ABD＝90°﹣α即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝α，
∴∠ABD＝90°﹣α．
故选：C．
7．（3分）如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4
【分析】根据图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：已知两函数图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，
∴当有y1＞y2时，有0＜x＜4．
故选：D．
8．（3分）如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB＝2x，则DA＝（﹣1）x，根据矩形性质可得CD＝AB＝2x，由折叠可得CF＝BC＝DA＝（﹣1）x，所以DF＝CD﹣CF＝（3﹣）x，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵DA：AB＝，
设AB＝2x，则DA＝（﹣1）x，
∴CD＝AB＝2x，
由折叠可知：CF＝BC＝DA＝（﹣1）x，
∴DF＝CD﹣CF＝2x﹣（﹣1）x＝（3﹣）x，
∴tan∠DAF＝＝＝．
故选：B．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）方程x2＝2的解是 x1＝﹣，x2＝ ．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2＝2，
x＝±，
x1＝﹣，x2＝．
故答案为：x1＝﹣，x2＝．
10．（4分）二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】根据抛物线顶点式求解．
【解答】解：∵y＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
12．（4分）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，则净含量较为稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，
∴S乙2＜S甲2，
∴净含量较为稳定的是乙，
故答案为：乙．
13．（4分）阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 12 m．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【解答】解：设旗杆的高度为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比例．
∴0.8：0.6＝h：9．
∴h＝12．
故答案是：12．
14．（4分）如图，在方格纸中，以点O为位似中心，菱形ABCD的位似图形可能是 菱形NPMQ ．
【分析】根据位似图形的概念解答即可．
【解答】解：如图，以点O为位似中心，菱形ABCD的位似图形是菱形NPMQ，
故答案为：菱形NPMQ．
15．（4分）如图、直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．若∠P＝60°．⊙O的半径为6cm，则弧的长为 4π cm．（结果保留π）
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，根据四边形的性质得到∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝120°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝120°，
∵⊙O的半径为6cm，
∴弧的长＝＝4π（cm），
故答案为：4π．
16．（4分）如图，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为半径作⊙C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是 2 ．
【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣1＝0，则x＝±3，
故点B（3，0），
设圆的半径为r，则r＝1，
当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，
而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，
则OE＝BD＝（BC﹣r）＝（﹣1）＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（10分）（1）计算：20220﹣sin60°﹣；
（2）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简即可求解；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣2
＝1﹣；
（2）x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
18．（8分）国庆黄金周期间，电影《长津湖》的单日票房信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）票房的中位数为 4.7 亿元：平均数为 4.6 亿元（精确至0.1）；
（2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？
【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．据此求解即可；
（2）将国庆黄金周期间每天的票房与平均数比较，即可求解．
【解答】解：（1）将7个数据按从小到大的顺序排列为：3.9，4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，
第四个数是4.7，所以中位数为4.7亿元，
平均数为×（3.9+4.1+4.4+4.7+4.8+4.9+5.1）≈4.6（亿元）．
故答案为：4.7，4.6；
（2）∵这7天票房的平均数为4.6亿元，
而这7天的票房分别是4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，3.9，
∴单日票房高于平均数的日期为10月3日，4日，5日，6日．
即最佳票房期为10月3日，4日，5日，6日．
19．（8分）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：
A．交流谈心；
B．有氧运动；
C．欣赏音乐；
D．安静休息．
考生可从中选择一种方式进行减压．
（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 ；
（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种，
则至少有一人选择“有氧运动”的概率是．
20．（8分）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为（3﹣x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为﹣x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x＝时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1．
21．（8分）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
（1）用数学的眼光观察，图2 C ．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．
【分析】（1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可；
（2）正方形的对角线的交点即为所求；
（3）利用勾股定理求出BC，即可判断．
【解答】解：（1）图2既是轴对称图形又是中心对称图形，
故答案为：C；
（2）如图2中，点O即为所求；
（3）如图3中，连接BC．
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∵BC＝＝＝≈3.6（cm），
∴这枚古钱币是真品．
22．（10分）果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；
（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据总产量＝树的数量×每棵树产量求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）由题意得y＝（100+x）（600﹣5x）＝﹣5x2+100x+6．
（2）∵y＝﹣5x2+100x+6＝﹣5（x﹣10）2+60500，
∴当x＝10时，y取最大值为60500．
23．（10分）如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由．
【分析】根据题目的已知易证BE⊥AC，然后证明△BAE∽△ADC，然后进行解答即可．
【解答】解：点E是AD的中点，理由是：
由题意得：BE⊥AC，
∴∠BOA＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△BAE∽△ADC，
∴＝，
∵＝，
∴设AB＝a，则AD＝a，
∴＝，
∴AE＝a，
∴AE＝AD，
∴点E是AD的中点．
24．（10分）如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30°，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75°．已知CD＝12m．
（1）若D到CA的距离为 6 m；
（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）
【分析】（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）根据题意可得△ADH是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）根据题意可知：AB⊥BC，∠ACB＝30°，CD＝12m．
如图，过点D作DH⊥AC于点H，
∴DH＝AD＝6m，
故答案为：6；
（2）根据题意可知：∠ACB＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠DAH＝45°，CH＝6m，
∴AH＝DH＝6m，
∴AC＝AH+CH＝6（+1）m，
∴AB＝AC＝3（+1）m．
答：建筑物的高AB为3（+1）m．
25．（12分）如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），然后将（0，﹣3）代入解析式即可求出a的值；
（2）过点P作PN⊥BC于点N，作y轴的平行线交BC于点M，用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，设P（m，﹣m﹣3），则M（m，m﹣3），根据三角形PBC的面积求出PN的表达式，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）存在．
过点P作PN⊥BC于点N，作y轴的平行线交BC于点M，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（m，﹣m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝（﹣m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣+3m，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S△PBC＝PM•OB＝BC•PN，
∴PN＝＝﹣m＝﹣，
∴m＝2时，PN有最大值为，
∴⊙P的面积的最大值为π．
2021-2022学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（3分）某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（ ）
成绩（分）
6
7
8
9
10
频数
1
6
13
14
16
A．10 B．16 C．9 D．14
3．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x2+3
4．（3分）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，若EF∥BC，，EF＝4，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，则∠ABD等于（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
7．（3分）如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4
8．（3分）如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）方程x2＝2的解是 ．
10．（4分）二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 ．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
12．（4分）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，则净含量较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．（4分）阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 m．
14．（4分）如图，在方格纸中，以点O为位似中心，菱形ABCD的位似图形可能是 ．
15．（4分）如图、直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．若∠P＝60°．⊙O的半径为6cm，则弧的长为 cm．（结果保留π）
16．（4分）如图，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为半径作⊙C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是 ．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（10分）（1）计算：20220﹣sin60°﹣；
（2）解方程：x2+2x﹣3＝0．
18．（8分）国庆黄金周期间，电影《长津湖》的单日票房信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）票房的中位数为 亿元：平均数为 亿元（精确至0.1）；
（2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？
19．（8分）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：
A．交流谈心；
B．有氧运动；
C．欣赏音乐；
D．安静休息．
考生可从中选择一种方式进行减压．
（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 ；
（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
20．（8分）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
21．（8分）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
（1）用数学的眼光观察，图2 ．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．
22．（10分）果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；
（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？
23．（10分）如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由．
24．（10分）如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30°，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75°．已知CD＝12m．
（1）若D到CA的距离为 m；
（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）
25．（12分）如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：
1+m﹣2＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
2．（3分）某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（ ）
成绩（分）
6
7
8
9
10
频数
1
6
13
14
16
A．10 B．16 C．9 D．14
【分析】根据众数的定义进行判断即可．
【解答】解：这组数据中，成绩为10分的出现的次数最多，是16次，因此成绩的众数是10分，
故选：A．
3．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x2+3
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0），向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（0，3）；
可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣x2+3．
故选：D．
4．（3分）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，若EF∥BC，，EF＝4，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先利用比例的性质得到＝，再证明△AEF∽△ABC，然后利用相似比得到BC＝EF．
【解答】解：∵，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝EF＝×4＝10．
故选：C．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，则∠ABD等于（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【分析】由圆周角定理得出∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝α，由直角三角形的性质求出∠ABD＝90°﹣α即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝α，
∴∠ABD＝90°﹣α．
故选：C．
7．（3分）如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4
【分析】根据图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：已知两函数图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，
∴当有y1＞y2时，有0＜x＜4．
故选：D．
8．（3分）如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB＝2x，则DA＝（﹣1）x，根据矩形性质可得CD＝AB＝2x，由折叠可得CF＝BC＝DA＝（﹣1）x，所以DF＝CD﹣CF＝（3﹣）x，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵DA：AB＝，
设AB＝2x，则DA＝（﹣1）x，
∴CD＝AB＝2x，
由折叠可知：CF＝BC＝DA＝（﹣1）x，
∴DF＝CD﹣CF＝2x﹣（﹣1）x＝（3﹣）x，
∴tan∠DAF＝＝＝．
故选：B．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）方程x2＝2的解是 x1＝﹣，x2＝ ．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2＝2，
x＝±，
x1＝﹣，x2＝．
故答案为：x1＝﹣，x2＝．
10．（4分）二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】根据抛物线顶点式求解．
【解答】解：∵y＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
12．（4分）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，则净含量较为稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，
∴S乙2＜S甲2，
∴净含量较为稳定的是乙，
故答案为：乙．
13．（4分）阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 12 m．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【解答】解：设旗杆的高度为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比例．
∴0.8：0.6＝h：9．
∴h＝12．
故答案是：12．
14．（4分）如图，在方格纸中，以点O为位似中心，菱形ABCD的位似图形可能是 菱形NPMQ ．
【分析】根据位似图形的概念解答即可．
【解答】解：如图，以点O为位似中心，菱形ABCD的位似图形是菱形NPMQ，
故答案为：菱形NPMQ．
15．（4分）如图、直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．若∠P＝60°．⊙O的半径为6cm，则弧的长为 4π cm．（结果保留π）
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，根据四边形的性质得到∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝120°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝120°，
∵⊙O的半径为6cm，
∴弧的长＝＝4π（cm），
故答案为：4π．
16．（4分）如图，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为半径作⊙C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是 2 ．
【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣1＝0，则x＝±3，
故点B（3，0），
设圆的半径为r，则r＝1，
当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，
而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，
则OE＝BD＝（BC﹣r）＝（﹣1）＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（10分）（1）计算：20220﹣sin60°﹣；
（2）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简即可求解；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣2
＝1﹣；
（2）x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
18．（8分）国庆黄金周期间，电影《长津湖》的单日票房信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）票房的中位数为 4.7 亿元：平均数为 4.6 亿元（精确至0.1）；
（2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？
【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．据此求解即可；
（2）将国庆黄金周期间每天的票房与平均数比较，即可求解．
【解答】解：（1）将7个数据按从小到大的顺序排列为：3.9，4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，
第四个数是4.7，所以中位数为4.7亿元，
平均数为×（3.9+4.1+4.4+4.7+4.8+4.9+5.1）≈4.6（亿元）．
故答案为：4.7，4.6；
（2）∵这7天票房的平均数为4.6亿元，
而这7天的票房分别是4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，3.9，
∴单日票房高于平均数的日期为10月3日，4日，5日，6日．
即最佳票房期为10月3日，4日，5日，6日．
19．（8分）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：
A．交流谈心；
B．有氧运动；
C．欣赏音乐；
D．安静休息．
考生可从中选择一种方式进行减压．
（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 ；
（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种，
则至少有一人选择“有氧运动”的概率是．
20．（8分）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为（3﹣x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为﹣x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x＝时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1．
21．（8分）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
（1）用数学的眼光观察，图2 C ．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．
【分析】（1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可；
（2）正方形的对角线的交点即为所求；
（3）利用勾股定理求出BC，即可判断．
【解答】解：（1）图2既是轴对称图形又是中心对称图形，
故答案为：C；
（2）如图2中，点O即为所求；
（3）如图3中，连接BC．
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∵BC＝＝＝≈3.6（cm），
∴这枚古钱币是真品．
22．（10分）果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；
（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据总产量＝树的数量×每棵树产量求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）由题意得y＝（100+x）（600﹣5x）＝﹣5x2+100x+6．
（2）∵y＝﹣5x2+100x+6＝﹣5（x﹣10）2+60500，
∴当x＝10时，y取最大值为60500．
23．（10分）如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由．
【分析】根据题目的已知易证BE⊥AC，然后证明△BAE∽△ADC，然后进行解答即可．
【解答】解：点E是AD的中点，理由是：
由题意得：BE⊥AC，
∴∠BOA＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△BAE∽△ADC，
∴＝，
∵＝，
∴设AB＝a，则AD＝a，
∴＝，
∴AE＝a，
∴AE＝AD，
∴点E是AD的中点．
24．（10分）如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30°，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75°．已知CD＝12m．
（1）若D到CA的距离为 6 m；
（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）
【分析】（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）根据题意可得△ADH是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）根据题意可知：AB⊥BC，∠ACB＝30°，CD＝12m．
如图，过点D作DH⊥AC于点H，
∴DH＝AD＝6m，
故答案为：6；
（2）根据题意可知：∠ACB＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠DAH＝45°，CH＝6m，
∴AH＝DH＝6m，
∴AC＝AH+CH＝6（+1）m，
∴AB＝AC＝3（+1）m．
答：建筑物的高AB为3（+1）m．
25．（12分）如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），然后将（0，﹣3）代入解析式即可求出a的值；
（2）过点P作PN⊥BC于点N，作y轴的平行线交BC于点M，用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，设P（m，﹣m﹣3），则M（m，m﹣3），根据三角形PBC的面积求出PN的表达式，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）存在．
过点P作PN⊥BC于点N，作y轴的平行线交BC于点M，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（m，﹣m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝（﹣m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣+3m，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S△PBC＝PM•OB＝BC•PN，
∴PN＝＝﹣m＝﹣，
∴m＝2时，PN有最大值为，
∴⊙P的面积的最大值为π．
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