江苏省扬州市江都实验中学2021-2022学年九年级（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份江苏省扬州市江都实验中学2021-2022学年九年级（下）段考数学试卷（3月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了228×107B，23B，8米，引桥水平跨度AC=8米．，60，cs37°=0，【答案】B，【答案】C，【答案】D，【答案】x≤2等内容，欢迎下载使用。
 江苏省扬州市江都实验中学2021-2022学年九年级（下）段考数学试卷（3月份） 一．选择题（本题共8小题，共24分）今有万名家庭经济困难学生享受生活补助．万可用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 下列运算中，正确的是A.  B.
C.  D. 如图，数轴上的、、三点所表示的数分别为、、，，如果，那么该数轴的原点的位置应该在
 A. 点的左边 B. 点与点之间
C. 点与点之间 D. 点的右边若点是的外心，且，则的度数为A.  B.  C. 或 D. 或一个几何体的主视图和左视图都是边长为的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是A.   B.   C.   D.  根据下列表格中的对应值：判断方程、、为常数的一个解的范围是A.  B.
C.  D. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打A. 折 B. 折 C. 折 D. 折如图，的直角边在轴正半轴上，斜边边上的中线反向延长线交轴负半轴于，双曲线的图象经过点，若，则等于
B.
C.
D. 二．填空题（本题共10小题，共30分）函数中，自变量的取值范围是______．分解因式：______．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．有长度为，，，的四条线段，从中任取三条线段，能够组成三角形的概率是______ ．若，是一元二次方程的两根，则______．已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是______．若，则代数式的值为______如图所示，在圆内有折线，其中，，，则的长为______．

  我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”如果等腰三角形的腰长为，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于______．如图，以点为圆心，为半径作圆，点是上的一点，设，则的取值范围是______．

  三．计算题（本题共3小题，共28分）计算：
解不等式组：并在数轴上把解集表示出来．






 先化简，再求值：，其中是方程的解．






 某学校开展课外体育活动，决定开设：篮球、：乒乓球、：踢毽子、：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目每人只选取一种，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．

样本中最喜欢项目的人数所占的百分比为______，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是______度；
请把条形统计图补充完整；
若该校有学生人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？






 四．解答题（本题共7小题，共68分）已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，．
求证：；
连接交于点，延长至点，使，连接、判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
  






 某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用元，如果参加的人数能够增加到原来人数的倍，就可以享受优惠，此时只需交费用元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少元．
根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？






 如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成角的楼梯、和一段水平平台构成．已知天桥高度米，引桥水平跨度米．
求水平平台的长度；
若与地面垂直的平台立柱的高度为米，求两段楼梯与的长度之比．
参考数据：取，，







 如图，有张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：，，，，和一个等式，背面完全一致．现将张卡片分成两堆，第一堆：，，；第二堆：，，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片．

请用画树状图或列表法表示出所有可能结果；卡片可用，，，，表示
将“第一张卡片上的值是第二张卡片中方程的解”记作事件，求事件的概率．






 如图，四边形是的内接四边形，为直径，，，垂足为．
求证：平分；
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求阴影部分的面积．
  






 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标是，现有两动点、，点从点出发沿线段不包括端点，以每秒个单位长度的速度，匀速向点运动，点从点出发沿线段不包括端点，以每秒个单位长度的速度匀速向点运动．点、同时出发，同时停止，设运动时间为秒，当秒时．
Ⅰ求点的坐标，并直接写出的取值范围；
Ⅱ连接并延长交轴于点，把沿翻折交延长线于点，连接，则的面积是否随的变化而变化？若变化，求出与的函数关系式；若不变化，求出的值．
Ⅲ在Ⅱ的条件下，为何值时，？







 某种商品的进价为每件元，售价为每件元．为了促销，决定凡是购买件以上的，每多买一件，售价就降低元例如，某人买件，于是每件降价元，就可以按元件的价格购买，但是最低价为元件．同时，商店在出售中，还需支出税收等其他杂费元件．
求顾客一次至少买多少件，才能以最低价购买？
写出当一次出售件时，利润元与出售量件之间的函数关系式；
有一天，一位顾客买了件，另一位顾客买了件，结果发现卖了件反而比卖了件赚的钱少．为了使每次卖的越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价元件至少要提高到多少？为什么？







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 2.【答案】
 【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误．
故选：．
A、根据同底数幂的除法法则计算；
B、根据同底数幂的乘法法则计算；
C、根据完全平方公式计算；
D、不是同类项，不能合并．
本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，解题的关键是掌握相关运算法则．
 3.【答案】
 【解析】解：，
点到原点的距离最大，点其次，点最小，
又，
原点的位置是在点、之间且靠近点的地方．
故选：．
根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点、、到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
本题考查了数轴，绝对值，理解绝对值的定义是解题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：当点在三角形的内部时，
如图所示：
则；
当点在三角形的外部时，
如图所示；
则，
故选：．
根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可．
本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为，母线长为，
因此侧面面积为．
故选B．
根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积．
本题中要先确定出几何体的面积，然后根据其侧面积的计算公式进行计算．本题要注意圆锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．
 6.【答案】
 【解析】解：时，；时，，
关于的方程的一个解的范围是．
故选：．
根据表中数据得到时，；时，，则取到之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
 7.【答案】
 【解析】解：设可打折，则有，
解得．
即最多打折．
故选：．
本题可设打折，根据保持利润率不低于，可列出不等式：，解出的值即可得出打的折数．
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以．
 8.【答案】
 【解析】解：为的斜边上的中线，
，，
又，
，
又，
∽，
，即．
又，即．
又由于反比例函数图象在第一象限，．
所以等于．
故选：．
先根据题意证明∽，根据相似比及面积公式得出的值即为的值，再由函数所在的象限确定的值．
此题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
 9.【答案】
 【解析】解：根据题意得：，解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 10.【答案】
 【解析】解：原式
．
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 11.【答案】且
 【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义以及一元二次方程的概念，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程的概念可得，根据一元二次方程有实数根可得，解之即可．
【解答】
解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得：且，
故答案为且．  12.【答案】
 【解析】解：由四条线段中任意取条，共有种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有个结果，所以，
故答案为：．
由四条线段中任意取条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有个结果．因而就可以求出概率．
考查了概率的求法即三角形的三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边．
 13.【答案】
 【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，即，，，
则原式，
故答案为：．
根据方程的解得定义和韦达定理得，，代入原式可得答案．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和方程的解得定义，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：将点代入反比例函数的解析式得，
，
则函数解析式为，
当时，，由于图象位于一、三象限，
在每个象限内，随的增大而减小，
则时，．
故答案为．
根据点在反比例函数的图象上，求出的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求出的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，求出反比例函数解析式是解题的关键．
 15.【答案】
 【解析】解：设，
则原方程为，
解得，，
，
，
，
故答案为：．
把看作整体，解关于的一元二次方程即可，注意为非负数．
本题考查了用换元法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．解决本题易忽视的暗含条件，得两个答案．
 16.【答案】
 【解析】解：延长交于，作于；
，；
为等边三角形；
；
，又，
；
；
；
故答案为．
延长交于，根据、的度数易证得是等边三角形，由此可求出、的长；过作的垂线，设垂足为；在中，根据的长及的度数易求得的长，进而可求出的长；由垂径定理知，由此得解．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．
 17.【答案】或
 【解析】解：设最小角为，则最大角为，
当顶点为时，则，解得，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积；
当顶点为时，则，解得，所以此三角形为顶点为度的等腰三角形，如图，，，
作于，在中，，
，
三角形的面积，
综上所述，该三角形的面积等于或．
故答案为或．
根据新定理，设最小角为，则最大角为，再分类讨论：当顶点为时，根据三角形内角和可求得，则可判断此三角形为等腰直角三角形，易得此三角形的面积；当顶点为时，根据三角形内角和定理可求得，所以此三角形为顶点为度的等腰三角形，如图，，，作于，在中，利用可得，则根据三角形面积公式计算出三角形的面积，综上所述，该三角形的面积等于或．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
 18.【答案】
 【解析】解：如图所示：
当有最大值时，即有最大值，
也就是当与圆相切时，有最大值，
此时，
在中，由勾股定理得：，
则，
同理可得：当在第四象限，则，
故的取值范围是：．
故答案为：．
当有最大值时，得出有最大值，推出当与圆相切时，有最大值，根据解直角三角形得出，由勾股定理求出，代入即可得出最大值，进而得出最小值，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等知识点，关键是找出符合条件的的位置，题目比较典型，但是有一定的难度．
 19.【答案】解：原式

；

解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式的解集为：，
将不等式解集表示在数轴上如图：

 【解析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
本题主要考查实数的混合运算及解不等式组的能力，熟练掌握实数的混合运算的步骤与法则和解不等式组的基本步骤是解题的关键．
 20.【答案】解：是方程的解，
，





，
代数式的值为．
 【解析】根据题意先解方程求出的值，然后把代数式化简，再把的值代入即可．
此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 21.【答案】解：；；
抽查的学生总人数：，
人，
把条形统计图补充完整如图所示：

人．
答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是人．
 【解析】解：，
；
见答案；
见答案．
利用减去、、三部分所占百分比即可得到最喜欢项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用即可；
根据频数总数百分比可算出总人数，再利用总人数减去、、三部分的人数即可得到部分的人数，再补全图形即可；
利用样本估计总每个体的方法用样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
．

四边形是菱形．
证明：≌，
，
四边形是正方形，
平分，
，
，
又，
垂直平分三线合一定理，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
 【解析】根据正方形的性质得出，，根据证出≌即可；
根据≌，推出，推出，根据三线合一得出垂直平分，即可求出答案．
本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
 23.【答案】解：设原来报名参加的学生有人，
依题意，得，
 解这个方程，得．
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：现在报名参加的学生有人．
 【解析】设原来报名参加的学生有人，根据原来每位同学平均分摊的费用参加活动后的每位同学平均分摊的费用元，列出方程，再进行求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键；注意分式方程要检验．
 24.【答案】解：延长交于，过点作，垂足为，
，
四边形为平行四边形
在中，
米，
米，
米．
答：水平平台的长度为米．

在中，
米，
米，
即米，
又米，
米．
所以两段楼梯与的长度之比：．
 【解析】首先由已知构造直角三角形如图，延长交于，过点作，垂足为，解直角三角形求得，又由已知，四边形为平行四边形，所以．
如图解直角三角形，可求出，米，解直角三角形可求出，则，而，从而求得两段楼梯与的长度之比．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是由已知首先构建直角三角形，运用三角函数求解．
 25.【答案】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数；
因为第一张卡片上的值是第二张卡片中方程的解的结果数为，
所以事件的概率．
 【解析】画出树状图展示所有种等可能的结果数；
根据方程解得定义，找出第一张卡片上的值是第二张卡片中方程的解的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 26.【答案】证明：，
，
，
，
即平分；
解：直线与相切．理由如下：
连结，如图，
，
，
而，
，
，
，
，
为的切线；
解：作于，则四边形为矩形，
，
，，
，
，
在中，，
，
阴影部分的面积

．
 【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
根据圆周角定理，由得到，再根据圆内接四边形的性质得，所以；
连结，如图，利用内错角相等证明，而，则，于是根据切线的判定定理可得为的切线；
作于，易得四边形为矩形，所以，则，于是有，得到，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积进行计算．
 27.【答案】解：时，，，
矩形的，
，
，
又，
，
点的坐标为，
点运动到点的时间为：秒，
点运动到点的时间为：秒，
点、同时出发，同时停止，
；

的面积不变，为．
理由如下：点的速度是每秒个单位长度，
，，
轴，
∽，
，
即，
解得，
是沿翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
是定值，
的面积不变，为；

由翻折的性质，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
整理得，，
解得，，
，
为时，．
 【解析】根据求出、，再利用勾股定理列式求出的长，再求出，然后写出点的坐标即可，再根据时间路程速度分别求出点、停止时的时间，然后写出的取值范围即可；
表示出、，再根据矩形的对边平行可得轴，再利用和相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出，根据翻折的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后根据列式计算即可得解；
根据翻折的性质，根据等边对等角可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，从而得到，然后利用两组角对应相等两三角形相似求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题是相似形综合题型，主要利用了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，翻折变换的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，判断出两个三角形相似是解题的关键．
 28.【答案】解 设顾客一次至少购买件，由题意，得
，
解得：；

由题意，得
当时，

；
当时，
．

当时，

，
，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，
在对称轴的左侧随的增大而增大，
时，利润有最大值，而超过时，利润反而随的增大而减少．
要想卖的越多赚的越多，即随的增大而增大，
二次函数性质可知，，
当时，最低售价应定为元．
 【解析】设顾客一次至少购买件，则超过了件，每件就应该减少元，就可以建立等式为，求出其解就可以了；
根据利润每件售价每件进价数量建立等式就可以表示出与之间的函数关系式；
先将与之间的关系变为顶点式，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的性质就可以求出最大利润的数量，从而可以确定最低售价．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润每件售价每件进价数量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，在解答时求出利润的解析式是关键，灵活运用解析式解决问题是难点．