专练14-30题（二次函数压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用）

2022中考考点必杀500题

专练14（二次函数压轴大题）（30道）

1．（2021·江苏扬州·二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P从点B向点A运动，点Q从点A向点C运动，两点同时出发，当点P到达点A时停止（同时点Q也停止），连接PQ，以PQ为边顺时针方向作正方形PQEF．已知AB＝10，tanA＝，BP＝AQ．

（1）若点P运动到AB中点处，求正方形PQEF的边长；

（2）若点E落在△ABC的一边上，求BP长；

（3）在点P、Q的运动过程中，△APQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由．

2．（2021·江苏盐城·三模）【阅读理解】设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形中，若，则称为边的“和谐点”．

【解题运用】已知，点在矩形内部，且，．

（1）设是边的“和谐点”，则_____边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接，，求的值．

（2）若是边的“和谐点”，连接，，当时，求的值；

（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接；，，求的最大值．

3．（2021·江苏苏州·一模）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点和抛物线E上的点，请完成下列任务；

【尝试】判断点A是否在抛物线E上．

【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_______．

【应用】以为边作矩形，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．

4．（2021·江苏无锡·一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．

（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；

（2）设D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

5．（2021·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，A(−3，0)，B(2，0)，D在y轴上．直线l从出发，以每秒1个单位长度的速度沿向左平移，分别与交于．设的面积为S，直线l平移时间为．

（1）求点C的坐标

（2）求S与t的函数表达式；

（3）过点B作，垂足为G，连接，设的面积为的面积为，当时，若点在内部（不包括边），求a的取值范围．

6．（2021·江苏苏州·一模）题一：已知二次函数：（为常数），当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”．我们发现：是当取不同数值时，此二次函数的图像的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是______．

问题二：已知直线交轴于点.交y轴于点，抛物线（为常数）图像的顶点为．

（1）如图1，若点在的内部（不包括边界），求的取值范围；

（2）如图2，当抛物线的图像经过点A，时，在抛物线上（的下方）是否存在点．使？若存在，求出点的横坐标；若不存在．请说明理由．

7．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作交x轴于点C，交抛物线于点D，连接．将线段沿线段平移得到（点E与点A对应、点F与点B对应），连接．

（1）填空：线段______；

（2）若点F恰好落在直线l上，求的长；

（3）连接并延长交抛物线于点Q，若，求点Q的坐标．

8．（2021·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，P为线段上一动点，将射线绕P逆时针方向旋转后与函数图像交于点Q．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时的长；

（3）求线段的最大值；

（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

9．（2021·江苏南通·二模）定义：有一条边等于这条边上高的两倍的三角形叫做底倍高三角形，这条边叫做这个三角形的倍底．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－2，－2），点B（4，－8），△ABC是以AB为倍底的底倍高三角形．

（1）概念理解

请你根据上述定义举一个底倍高三角形的例子；

（2）问题探究

设点P（m，m2），其中－2＜m＜4，当PC取最小值时，求点C的坐标；

（3）应用拓展

已知⊙I的半径为1，圆心I在直线y＝x－6上，且点C在⊙I上，设圆心I的横坐标为a，试直接写出a的取值范围．

10．（2021·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，且）．

（1）求二次函数的顶点坐标；

（2）设该二次函数图像上两点、，点和点间（含点、）的图像上有一点，将点纵坐标的最大值和最小值的差记为．

①当时，若点和点关于二次函数对称轴对称，求的值；

②若存在点和点使得的值是4，则的取值范围是______．

11．（2021·江苏南京·二模）已知二次函数．

（1）若图像经过点．

①的值为______；

②无论为何值，图像一定经过另一个定点______．

（2）若图像与轴只有1个公共点，求与的数量关系．

（3）若该函数图像经过，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的的取值范围．

12．（2021·江苏连云港·一模）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．

（1）如图1，若，，

①求抛物线的解析式；

②Р为抛物线上一点，连接、，若，求点P的坐标；

（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连，，若，求点D的纵坐标．

13．（2021·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，点、是二次函数图像上的两个点．

（1）当时，求该二次函数图像与x轴的交点坐标：

（2）当时，

①判断的值是否随着a的变化而变化？若不变，求的值；若变化，说明理由；

②若，求t的值；

（3）若，且，求出所有符合条件的正整数m的值；

14．（2021·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点、．与y轴交于点C，点P是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接AP、BP将沿直线AP翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；

（3）如图2，过点P作轴交抛物线于点E、F，连接AC，交线段EF于M，AC、OF交于点N．求的最大值．

15．（2021·江苏连云港·二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点A、B，已知与y轴交于点，该抛物线的顶点为点D．

（1）二次函数的表达式为            ，点D的坐标为            ；

（2）连接BC．

①在抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；

②若是抛物线上动点，则是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

16．（2021·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB于E、F．求MF•NE最小值；

（3）点J是抛物线顶点，连接JC、JA，点H为抛物线对称轴上一动点，设纵坐标为m，过点H的直线交边CJ于P，交边JA于Q，若对于每个确定的m值，有且只有一个△JQP与△JCA相似，请直接写出m的取值范围．

17．（2021·江苏扬州·二模）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．

（1）下列关于该函数图像的性质正确的是　 　；（填序号）

①y随x的增大而增大；

②该函数图像关于y轴对称；

③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；

④该函数图像不经过第三象限．

（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；

②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是　 　；

（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图像上，且﹣＜[a]≤2，则b的取值范围是　 　．

18．（2021·江苏盐城·二模）如图坐标系中，矩形ABCD的边BC在 y轴上，B（0，8），BC＝10，CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点D、C′和原点O．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

19．（2021·江苏淮安·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线AC的解析式；

(3)试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2，点Q是x轴上一动点，将△ACQ沿CQ翻折，得△DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值．

20．（2021·江苏盐城·一模）如图1，一次函数y=-x-3的图像与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于另一点B（1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，连接BC，若点D为BC的中点．

①求直线AD的表达式；

②以AC为直径作⊙M交直线AD于点N，求点N的坐标；

（3）如图3，若点E为AB的中点，点F为抛物线上一点，直线EF与AC所夹锐角为α，且tanα=，求点F的坐标（直接写出坐标）．

21．（2021·江苏苏州·一模）立志成为数学家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：

如图1，点M，N在线段上，点M在点N的左侧，若线段，，满足，则称点M、N是线段的钻石分割点．

（1）【类比探究】如图2，D、E是、上两点，且，M、N是边的钻石分割点，连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的钻石分割点．

（2）【知识迁移】如图3，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的钻石分割点．

（3）【拓展应用】如图4，已知一次函数与坐标轴交于A、B两点，与二次函数交于C、D两点，若C、D是线段的钻石分割点，求m的值．

22．（2021·江苏苏州·二模）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；

（2）移动点P，求线段的最大值；

（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标．

23．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，2），点P为二次函数图像上一动点且在直线AB上方，作PC平行于y轴交AB于点C，连接PB，OC

图1                                           图2                                     备用图

(1)求二次函数的表达式；

(2)当线段PC=2时，求点P的坐标；

(3)在（2）的条件下：

①判断四边形PBOC的形状，并说明理由；

②如图2，将四边形PBOC沿射线BA平移得到四边形，直线与x轴交于点D，连接，，当为等腰三角形时，直接写出点D的坐标.

24．（2021·江苏扬州·二模）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为cm/s（当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止）．连接PQ，设P的运动的时间为t（单位：s）．设CQ=y，运动时间为x（s），y与x函数关系如图②所示：

解答下列问题：

（1）的值_______________；当_______________时，；

（2）设面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某一时刻使得为等腰三角形，如果存在请直接写出t的值，如果不存在请说明理由．

（4）如图3连接BQ、CP交于点E，求当时，t的值．

25．（2021·江苏盐城·二模）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如，两点）作轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在轴上的“足距”，记作．根据该约定，完成下列各题：

（1）若点，．当点，在函数的图象上时，______；当点，在函数的图象上时，______．

（2）若反比例函数（）的图象上有两点，，当时，求正整数的值．

（3）在（2）条件下抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．如图，点是该抛物线的顶点，点是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求的值．

26．（2021·江苏盐城·三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式．       

（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．

①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；

②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

27．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．

（1）填空：_______；

（2）设抛物线的顶点是D，连接，，将绕点B顺时针旋转，当射线经过点D时，射线与抛物线交于点P，求点P的坐标；

（3）设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点，轴且，点H是线段上一点，以、为邻边作矩形，，垂足为T，连接，．若与相似，求的长．

28．（2021·江苏淮安·二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴交于O、A两点，其顶点B的坐标为（2，﹣6）．

（1）求a、b的值；

（2）如图1，点C是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO、CO，当△OBC是以BC为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；

（3）如图2，P是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP，与对称轴交于点M，点Q在OP上，满足＝，设点P的横坐标为n；

①请用含n的代数式表示点Q的坐标（，）；

②连接BQ，OB，当△OBQ的面积为15时，求点P的坐标；

③当∠POA＝2∠OBM时，直接写出点P的横坐标．

29．（2021·江苏镇江·二模）已知抛物线交x轴于点和点，其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为，射线沿着直线翻折，交l于点F，如图（1）所示．

（1）______，_______；

（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，且，求证：．

（3）在（2）的条件下，直接写出的值=______；直接写出点P的坐标（____，____）．

30．（2021·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．