专练12-30题（一次函数、反比例函数大题）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用）

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1．（2021·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 y =x+3与函数（k>0）的图象交于点 A（1，m），与x轴交于点B .
（1）求 m，k 的值；
（2）过动点 P（n，0）（n> 0）作平行于y轴的直线，交函数（k>0）的图象于点C，交直线 y = x+3于点D；
①当n =2时，求线段CD的长；
②若CDOB，结合函数的图象，直接写出 n的取值范围．
【答案】（1）m=4，k=4；（2）①CD=3；②
【解析】
【分析】
（1）把点A代入一次函数解析式求解m，然后再代入反比例函数求解k即可；
（2）①根据（1）可得：反比例函数解析式为，由题意可得如图，把n =2分别代入一次函数及反比例函数解析式得点，然后问题可求解；
②设点，当点D在点C上方时，如图①图所示，当点D在点C下方时，则有当CDOB时，则有：，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）由直线 y =x+3与函数（k>0）的图象交于点 A（1，m），与x轴交于点B ，可得：把点A代入一次函数解析式得，
∴点，
∴把点代入反比例函数解析式得：；
（2）①根据（1）可得：反比例函数解析式为，由题意可得如图所示：
∵当n =2时，
∴把n =2分别代入一次函数及反比例函数解析式得：
，
，
∴点，
∴CD=3；
②设点，
当点D在点C上方时，如图所示，
当CDOB时，则有：，解得：（不符合题意，舍去）；
∴当时，CDOB时；
当点D在点C下方时，如图所示：
∵CDOB，
∴当CDOB时，则有：，解得：（不符合题意，舍去）；
∴当CDOB时，n的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点D是的中点，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）10
【解析】
【分析】
（1）反比例函数待定系数法求解析式，将已知点A的坐标代入反比例函数即可；
（2）四边形的面积可以拆解为和四边形
【详解】
（1）把代入得，
．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵点D是的中点，
．
当时．
．
．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，第二问考查了求反比例函数图像上的点的特点，解题的关键是求出点B的坐标．
3．（2021·江苏连云港·一模）如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.
【答案】解：（1）k= 6
（2）
（3）AN=ME
【解析】
【分析】
（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值.
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.
【详解】
解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴．∴AB=3．
∴A点的坐标为（2，3）．
∴k=xy=6．
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，∴点E的纵坐标为．
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）．
设直线AE的函数表达式为，则
，解得．
∴直线AE的函数表达式为．
（3）结论：AN=ME．理由：
在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=．
∴点M（6，0），N（0，）．
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON－OF=．
∴根据勾股定理可得AN=．
∵CM=6－4=2，EC=，
∴根据勾股定理可得EM=．
∴AN=ME．
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵，
∴，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME．
4．（2021·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b<的解集；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．
【答案】（1）k2=﹣8，n=4；（2）﹣2＜x＜0或x＞4；（3）8
【解析】
【详解】
分析：（1）将A点坐标代入y=求出k2=-8，得到反比例函数的解析式y=-，再把B点坐标代入y=-得n=4;
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
详解：（1）将A（4，-2）代入y=，得k2=-8．
∴y=-,
将（-2，n）代入y=-，得n=4．
∴k2=-8，n=4
（2）根据函数图象可知：
-2＜x＜0或x＞4
（3）将A（4，-2），B（-2，4）代入y=k1x+b，得k1=-1，b=2
∴一次函数的关系式为y=-x+2
与x轴交于点C（2，0）
∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），
S△A'BC=（4+2）×（4+2）×-×4×4-×2×2=8
∴△A'BC的面积为8．
点睛：本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
5．（2021·江苏盐城·一模）如图，点A是直线y＝﹣2x与反比例函数y＝（m为常数）的图象的交点．过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）已知点P（0，n）（0＜n≤10），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x于点C（x1，y1），交反比例函数y＝（m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），若x1＜x3＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．
【答案】A（-2，4），m=-4；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点A在正比例函数y=-2x的图象上，可得点A的坐标为（-2，4），再根据点A在反比例函数y＝的图象上，即可得出m的值；
（2）依据x1＜x3＜x2，结合函数的图象，即可写出x1+x2+x3的取值范围．
【详解】
解：（1）由题意得，可知点A的横坐标是-2，
由点A在正比例函数y=-2x的图象上，
∴点A的坐标为（-2，4），
又∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴4＝，
即m=-4．
（2）∵过点P（0，n）作平行于x轴的直线，交直线y=-2x于点C（x1，y1），交反比例函数y=（m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），如图，
而x1＜x3＜x2，
∴4＜n≤10，
由（1）知，反比例函数解析式为：
∴当n=4时，把n=4代入y=-2x，得，
∴x1+x2+x3=-2-2-2=-6；
同理，当n=10时，
∴x1+x2+x3=-5-2=，
∴≤x1+x2+x3＜-6．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是运用反比例函数图象上点的坐标特征．
6．（2021·江苏泰州·一模）如图，以菱形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限内．反比例函数在第一象限内的图
像过点C，交直线OB于点D．点B的坐标为（8，4）．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）求点D的坐标．
【答案】（1）；（2）(，)．
【解析】
【分析】
（1）观察图像可知直线OB为正比例函数，设直线OB：y=kx，把B(8，4)代入计算即可；
（2）作BH⊥x轴，垂足为H，则可得到OH=8，BH=4，然后利用勾股定了和菱形的性质可计算出菱形的边长，然后算出点C的坐标，计算反比例函数表达式，联立反比例函数和正比例函数解方程即可．
【详解】
解：（1）设直线OB：y=kx，把B(8，4)代入可得：4=8k，解得：k=，
∴设直线OB的函数表达式为：；
（2）作BH⊥x轴，垂足为H，则OH=8，BH=4，
设OA=a，则AH=8-a，
∵四边形OABC是菱形
∴AB=OA=BC=a，
Rt△BHA中，BH²+AH²=AB²，即，解得a=5，
∴BC=5，点C的坐标为(3，4)，
把C(3，4)代入，解得k=12，
∴，
联立解得：，，
∴点D的坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和勾股定理，利用相关性质表示和计算边长是解题的关键．
7．（2021·江苏宿迁·二模）如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点．点为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点．
（1）求的值；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）6．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分别求出点B、C坐标，再求出直线的解析式，进而求出点坐标，的长，即可利用梯形面积公式解决问题．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为：．
（2）∵轴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标为6，代入中，得：，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点是解题关键．
8．（2021·江苏盐城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点，连接OA、OD、DC、AC，四边形为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且，求点P的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）或
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）由（1）可知点坐标为，结合图象可知在点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【详解】
解：（1）如图，连接，交轴于点，
，
，，
四边形是菱形，
，，
，
将代入直线，
得：，
解得：，
将代入反比例函数，
得：，
解得：；
一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）当时，反比例函数的值为2，
当反比例函数图象在点下方时，对应的函数值小于2，
的取值范围为：或；
（3），，
，
，
，
设点坐标为，与轴相交于点，
则，
，
，
当在的左侧时，，
，
，，
，
当在的右侧时，，
，
，，
，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】
本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想、分类讨论思想等，题目难度不大，但是属于中考常考题，熟练掌握反比例函数图像和性质及待定系数法等相关知识，并能够灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
9．（2021·江苏盐城·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点直线分别交轴、轴于、两点．
（1）直接写出不等式的解集；
（2）求的值；
（3）求点的坐标．
【答案】（1）-3＜x＜0或x＞1；（2）；（3）C(-2，0)
【解析】
【分析】
（1）取直线在双曲线的上方部分所对应的x的值，即可求解；
（2）把，代入中，用含m的代数式表示a，c，进而即可求解；
（3）令y=0，得，从而得：，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵，即：，
∴从图像上看，取直线在双曲线的上方部分所对应的x的值，
即：不等式的解集为：-3＜x＜0或x＞1；
（2）把，代入中，得：，，
∴a+c=，
∴=；
（3）把，代入中，得，解得：，
令y=0，得，解得：，
∴C(-2，0)．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
10．（2021·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数图像于点．
（1）求点的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，求直线的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数的解析式，令求解即可；
（2）结合（1）的结论，设出B的坐标，再根据反比例函数解析式求出B的坐标，然后结合平行四边形的性质，得到P的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）对原不等式进行变形，然后结合函数与不等式之间的联系判断取值范围即可．
【详解】
（1）对于一次函数，
令，得：，
解得：，
∴的坐标为；
（2）∵AB⊥x轴，
∴A、B两点的横坐标相等，即B点的横坐标为-2，
将代入反比例函数解析式，
得：，
∴B点的坐标为，AB=4，
∵四边形为平行四边形，
∴AB=OP，即：P的坐标为，
将代入直线解析式，
得：，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（3）要求的解集，即为求不等式的解集，
令，，
即为求所对应的自变量的取值范围，
由（2）可知，此时即为直线OB的解析式，
如图，根据对称性，直线OB与双曲线的交点为，，
∴所对应的自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数与不等式之间的关系是解题关键．
11．（2021·江苏常州·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数的图像与y轴交于点C，连接，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用反比例函数的性质得，求出的值，即可求出的值
（2）过点作轴于，先求出一次函数解析式，可出的长度，即可求出的面积．
【详解】
解：（1）由题意，得
．
解得
．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）过点B作轴于H．
∵，
∴．
把，和，代入得
解得
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，以及函数图像与坐标轴交点，熟练掌握反比例函数性质，以及待定系数法求一次函数解析式是解题关键．
12．（2021·江苏常州·一模）如图，将放在平面直角坐标系中，，，反比例函数经过点A．在反比例函数的图像上取一点C，使得，过点C作的垂线，交于点D，连接，并延长交于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当点E刚好是的中点时，求的度数．
【答案】（1）；（2）15°
【解析】
【分析】
（1）确定点的坐标，再代入确定的值即可；
（2）利用直角三角形、等腰三角形的性质，得出即可．
【详解】
解：（1），
，
反比例函数过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2），，
，
在中，点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数关系式，直角三角形、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键．
13．（2021·江苏苏州·一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，其中点B的坐标是（5，n）．
（1）求n的值和点C的坐标；
（2）若D是AB的中点，求OD的长．
【答案】（1）n＝2，C（2，5）；（2）OD＝．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质BC＝OA＝3，即可得到C（2，n），代入即可得n的值，从而求得C的坐标；
（2）根据A、B的坐标求得D的坐标，然后根据勾股定理求解求得．
【详解】
（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝3，
∵点B坐标为（5，n），
∴C（2，n），
∵反比例函数在第一象限的图象经过点C，
∴，
∴C（2，2）；
（2）∵n＝2，
∴B（5，2），
∵OA＝3，
∴A（3，0），
∵D是AB的中点，
∴D，即
∴OD＝．
【点睛】
本题考察反比例函数与平行四边形的综合、平行四边形的性质、中点坐标公式、两点间的距离公式，属于比较简单的函数综合题，难度不大．解题的关键是利用平行四边形的性质表示点的坐标．
14．（2021·江苏镇江·一模）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段、、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“二倍点”．
如图2，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图像位于第一象限的部分相交于点C．

（1）求点A的坐标；
（2）若点B是线段的“二倍点”，则______．（直接写出结果）
【答案】（1）A（-2，0）；（2）或或．
【解析】
【分析】
（1）把y=0代入一次函数的解析式求得x的值，即可得点A的坐标；
（2）分AB=2BC、BC=2AB、点B为AC的中点三种情况求a的值即可．
【详解】
（1）∵一次函数的解析式为，
∴当y=0时，，
∴x=-2，
∴A（-2，0）；
（2）∵点B是线段的“二倍点”，
∴AB=2BC或BC=2AB或点B为AC的中点；
过点C作轴于点M，
∴，
∴，
∵A（-2，0），
∴OA=2；
①当点B为AC的中点时，可得，
∴OM=2，
∴点C横坐标为2，
把x=2代入得y=2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入得，
，
∴；
②当AB=2BC时，可得，
∴OM=1，
∴点C横坐标为1，
把x=2代入得y=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入得，
，
∴；
③当BC=2AB时，可得，
∴OM=4，
∴点C横坐标为4，
把x=4代入得y=1，
∴C（4，1），
把C（4，1）代入得，
，
∴；
综上，点B是线段的“二倍点”时，a的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解决第（2）题时要注意分情况讨论，不要漏解．
15．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴垂线交反比例函数（）图像于点．在延长线上取点，连接，交反比例函数（）图像于点，连接，．
（1）求的值；
（2）在轴正半轴上取点，当平分时，求点的坐标．
【答案】（1）12；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用反比例函数的性质建立方程求出k的值；
（2）先求出OB＝5，再判断出BC＝OB＝5，进而求出点C的坐标，进而求出直线CD的解析式，再联立反比例函数解析式，求解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵S△ABO＝6，AB⊥y轴，
∴k＝6，
∴k＝12；
（2）由（1）知，k＝12，
∴反比例函数的解析式为y，
∵AB⊥y轴，A（0，4），
∴B（3，4），
在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，
∴OB5
∵OD平分∠OBE，
∴∠BOC＝∠COE，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴∠COE＝∠C，
∴∠BOC＝∠C，
∴OB＝BC＝5，
∴C（8，4），
设直线CD的解析式为y＝mx，
将（8，4）代入y＝mx中，得4＝8m，
∴m．
∴直线CD的解析式为yx，
联立解析式得：
解得，x＝±2，
∵点D在第一象限内，
∴D（2，）．
【点睛】
此题时反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的性质，勾股定理，角平分线，等腰三角形的判定，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
16．（2021·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
（1）求k的值．
（2）设点M在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标．
【答案】（1）k=32；（2）点M坐标为（2，16）或（6，）．
【解析】
【分析】
（1）如图，延长AD交x轴于E，根据菱形的性质可得AE//OB，即可证明AE⊥x轴，根据点D坐标可得OD的长，即可求出AE的长，可得点A坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案；
（2）由（1）可知k=32，根据点D坐标及OD的长可得菱形ABCD的面积，设M（a，），根据的面积是菱形面积的列方程求出a值即可得答案．
【详解】
（1）如图，延长AD交x轴于E，
∵菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
∴AE//OB，AD=OD，
∴AE⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE=4，DE=3，
∴OD==5，
∴AE=AD+DE=8，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴8=，
解得：k=32．
（2）∵OD=AD=5，OE=4，
∴S菱形ABCD=AD·OE=20，
∵k=32，点M在反比例函数图象上，
∴设M（a，），
∵的面积是菱形面积的，
∴S△MAD=AD·=20×，即=2，
解得：a=2或a=6，
∴点M坐标为（2，16）或（6，）．
【点睛】
本题考查菱形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
17．（2021·江苏常州·一模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，若，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出当时，的解集；
（3）若点为轴上一点，是以为底边的等腰三角形，求的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为
【解析】
【分析】
（1）先利用的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，求出点 的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接由图象，即可得出结论；
（3）先判断出，设，进而表示出 最后用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
点，在一次函数 的图象上，
，
，
一次函数的表达式为；
（2）由图象知，的解集为；
（3）如图2，
过点作轴于，
是以为底边的等腰三角形，
，
设，
由（1）知，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
，．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，三角形的面积公式，待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，求出点坐标是解本题的关键．
18．（2021·江苏南京·二模）已知反比例函数与正比例函数相交于．
（1）求值．
（2）画出反比例函数的图像．
（3）当时，直接写出的范围？
（4）根据图像，解不等式．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）和；（4）和
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）画出反比例函数图象即可；
（3）根据图象即可求得；
（4）观察图象求得即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数y1=与正比例函数y2=x相交于A （2，2）．
∴k=2×2=4；
（2）描出点（1，4），（2，2），（4，1），
用平滑的曲线连接，画出反比例函数的图象如图，
（3）由图象可知，当0＜x＜2和x＜-2时，y1＞y2．
（4）观察图象，直线y=x向下平移3个单位，与反比例函数的交点为（4，1）和（-1，-4），
∴不等式＜x-3的解集为：-1＜x＜0和x＞4．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）把点的坐标代入函数解析式是解题关键；（2）正确画出图象是根据；（3）观察图象是解题关键；（4）观察图象得出交点坐标是关键．
19．（2021·江苏泰州·二模）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与反比例函数的图像交于点B，过点B作轴于C，点D在该反比例函数的图像上，点D在点B的右侧．
请从以下三个选项中选择两个作为已知条件，剩下一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程．①；②；③．
你选择的条件是_____________，结论是__________．（填序号）
【答案】选择的条件是①②，结论是③，证明见解析．
【解析】
【分析】
由，都在反比例函数的图象可得，以及，的坐标，再求出的坐标，计算出和即可．
【详解】
解：选择的条件是①②，结论是③，
证明过程如下：
，都在反比例函数图象上，
，
，
，，
在一次函数上，
，
，
，
，
，，
作于，
，，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，明确反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积都等于是解题的关键．
20．（2021·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）10；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可得；
（2）如图（见解析），先求出点的坐标，再根据的面积等于的面积与的面积之和即可得；
（3）根据点的坐标，利用函数图象法即可得．
【详解】
解：（1）对于一次函数，
当时，，即，
将点代入得：；
（2）如图，设直线与轴的交点为点，过点作轴于点，过点作轴于点，
由（1）可知，反比例函数的解析式为，
联立，解得或，
则，
对于一次函数，
当时，，即，
，
，
则的面积为，
，
；
（3）不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
结合函数图象得：不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法、函数图象法是解题关键．
21．（2021·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴分别交于C、两点，且满足．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式：
（2）设M是x轴上一点，当时，则点M的横坐标为 ．
【答案】（1），；（2）或
【解析】
【分析】
（1）将点代入求出一次函数解析式，过点A作轴，则，利用三角形中位线的判定与性质求出A的坐标，即可求解；
（2）分情况讨论：①当M在x轴负半轴时，②当M在x轴正半轴时，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】
解：将点代入，解得，
∴一次函数解析式为，
∴，
过点A作轴，则，
∵，
∴CO为△ADE的中位线，
∴，，
∴，
∴，即反比例函数解析式为；
（2）由（1）可得，
∴，
∴，
①当M在x轴负半轴时，
∵，，
∴，
∴，
∴点；
②当M在x轴正半轴时，与关于原点对称，
∴，
综上所述，M的横坐标为或．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
22．（2021·江苏盐城·二模）如图，正比例函数y＝kx的图像与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式．
（2）若CD＝6，求△ACD的面积．
【答案】（1）a=2，y=2x；（2）6
【解析】
【分析】
（1）把点坐标代入反比例函数中即可得，再用待定系数法可求正比例函数的表达式；
（2）设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，则，可解得，故可得的高为2，最后利用求面积．
【详解】
解：（1）把点坐标代入反比例函数中，得，
．
点坐标为，
再把代入正比例函数的表达式中，得，
，
则正比例函数表达式为．
（2）设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为．
，
即，解得：，（不合题意，舍去）．
即，
则点到的距离为，
故．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，三角形面积计算，利用CD=6建立等量关系是解题关键．
23．（2021·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）8
【解析】
【分析】
（1）将代入反比例函数，求出，求出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）求出与轴相交于点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）将代入反比例函数，
得，
解得，
，
点的坐标为，
反比例函数解析式为，
将点代入，
得，
解得，
所以，点的坐标为，
将点，代入得，
解得，
则一次函数解析式为；
（2）设与轴相交于点，令，
解得，
点的坐标为，即，
．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、坐标与图形的性质是解题的关键．
24．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
【答案】(1)点A在反比例函数图象上，理由见解析
(2)Q点的横坐标为
【解析】
【分析】
（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为y＝x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q．
(1)
解：点A在该反比例函数的图象上，
理由如下：
过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG=BO=BC＝，
∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2，
∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），
∴点A在反比例函数图象上；
(2)
解：由（1）得D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
由方程，解得x＝（负数舍去），
∴Q点横坐标为．
．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．
25．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）直线和双曲线交于点，．
(1)求，，的值；
(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）将A、B两点坐标分别代入，即可解出m、n的值；
（2）线段和的最短距离问题，首先想到的是利用“将军饮马”模型进行解决，做A点关于坐标轴的对称点，在之后再进行计算，需要注意的是，本题需要进行分情况进行讨论，最终确定最短距离下的M坐标．
(1)
解：点，在直线上，
，，
，
，，
点在双曲线上，
；
(2)
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，
则，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
；
；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，
则，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
当时，，
．
，
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-轴对称、最短路线问题，注意待定系数法求直线解析式的运用．
26．（2021·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一个动点，求最大时的值；
（3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在．点的坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）先用k表示出点C，D的坐标，作轴于点轴于点，根据，列出方程，即可求解；
（2）由三角形的三边长关系可知：当在一条直线上时，最大，再求出直线CD的解析式，进而即可求解；
（3）设点的坐标为，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】
解：（1）当时，，
，
中，，
，
是边的中点，
，即：，
作轴于点轴于点，
则，解得：．
反比例函数解析式为：．
在中，，
当在一条直线上时，，
由知，，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
的解析式为：，
由，得，
最大时，的值为；
设点的坐标为，
①当∠QOC=90°时，则OQ2+OC2=QC2，即：，解得：m=，
∴点的坐标为；
②当∠OCQ=90°时，则CQ2+OC2= OQ2，即：，解得：m=，
∴点的坐标为；
③当∠OQC=90°时，则CQ2+OQ2= OC2，即：，解得：m=或，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数法，勾股定理，是解题的关键．
27．（2021·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A，与y轴交于点C．点B在x轴上，∠ABO=90°，AB=BO．
（1）求k的值；
（2）点D(m，0)在x轴正半轴上，连接AD，CD，ACD是以AC为斜边的直角三角形．请用两种不同的方法求m的值．
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上（不与A重合），若，请求出点E的坐标．
（4）若P为直线y=kx﹣4上的动点，Q为反比例函数y=（x＞0）的图象上的动点，且以点P、Q、O、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）k=3；（2）4，方法见解析；（3）(4+2，2﹣4)；（4）(，)或()
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）方法一利用勾股定理即可求解，方法二利用△ABD∽△DOC即可求解；
（3）由于点E在反比例函数的图象上（不与A重合），延长AD到M，使DM=AD，过M作MN⊥x轴于N，ME∥CD，交反比例图像于E，易证△ABD≌△MND，进而求得直线CE的表达式，即可求解点E的坐标．
（4）根据题意设P（x1，3x1﹣4），Q（x2，），再根据P、Q的横坐标相等，且|PQ|=4，进而可以求得P的坐标．
【详解】
解：（1）令AB=BO=a，
∵∠ABO=90°，
∴设点A的坐标为（a，a），
∵y=（x＞0）过点A，
∴a=，
∴a1=2，a2=﹣2（舍），
∴A（2，2）
代入y=kx﹣4得，2=2k﹣4，
∴k=3；
（2）证明：方法一，
由x=0得，y=3x﹣4=﹣4，
∴C（0，﹣4），
又∵A（2，2），D（m，0），
∴AC2=22+62=40，
AD2=（m﹣2）2+22=m2﹣4m+8，
CD2=m2+42=m2+16，
∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴m2﹣4m+8+m2+16=40，
解得，m1=4，m2=﹣2（舍），
∴m的值是4；
方法二：
∵∠ABO=∠ADC=∠COD=90°，
∴∠BAD+∠BDA=90°，∠ODC+∠BDA=90°，
∴∠BAD=∠ODC，
∴△ABD∽△DOC，
∴，
∵A（2，2），D（m，0），C（0，﹣4），
∴，
解得，m1=4，m2=﹣2（舍），
∴m的值是4；
（3）延长AD到M，使DM=AD，过M作MN⊥x轴于N，ME∥CD，交反比例图像于E，连接CM，
则S△ECD=S△CDM=S△ACD，
∵AD=DM，∠ADB=∠MDN，∠ABD=∠MND=90°，
∴△ABD≌△MND（AAS），
∴MN=AB，DN=BD，
由（2）得AB=BD=2，
∴DN=MN=2，ON=6，
∴M（6，-2），
设直线CD的解析式为：yCD=bx﹣4，
由D（4，0）得，
0=4b﹣4，
解得：b=1，
直线CD的解析式为：yCD=x﹣4，
∴设yME=x+k，将M（6，-2）代入得，k=﹣8，
∴直线CE的表达式为y=x﹣8，
解方程，得或(舍去)，
经检验，是原方程的根且符合题意，
故点E的坐标为(4+2，2﹣4)；
（4）∵点P、Q、O、C为顶点的四边形是平行四边形，而OC在y轴上，且|OC|=4，
则P、Q的横坐标相等，且|PQ|=4，
设P（x1，3x1﹣4），Q（x1，），
则，
即3x12=4或3x12﹣8x1﹣4=0，
解得，x1=或﹣（舍去），
或x1=或（舍去），
故P点坐标是(，)或()．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合运用，正确理解题意，掌握一次函数的性质、勾股定理的运用是解题的关键．
28．（2021·江苏南通·二模）【问题情境】
已知矩形的面积为（为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为，周长为，则与的函数表达式为．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
（1）结合问题情境，函数的自变量的取值范围是，
下表是与的几组对应值．
①______；
②画出该函数图象，结合图象，得出当_____时，有最小值，______；
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．
【答案】（1）① 4；②画函数图象见解析，1，2；（2）当矩形的长为时，它的周长最小，最小值是．
【解析】
【分析】
（1）①令y=并代入解析式求解即可；②根据数据表描点、连线化出函数图像，然后再运用完全平方公式配方解答即可；
（2）根据完全平方公式，进行配方可得即可解答．
【详解】
解：（1）①令y=，则，解得x=4；故填4；
（2）函数图象如图：
∵，
∴≥0
∴当x=1，函数的最小值为2；
（2）∵
∴当矩形的长为时，它的周长最小，最小值是．
【点睛】
本题主要考查对完全平方公式、反比例函数的性质、二次函数的最值、配方法的应用、一次函数的性质等知识点，能熟练地运用学过的性质成为解答解本题的关键．
29．（2021·江苏扬州·二模）我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线与的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线与的交点坐标为．请利用上述知识解决下列问题：
（1）求直线和双曲线的交点坐标；
（2）已知直线和抛物线，若直线与抛物线只有一个交点，则的值为_______________；
（3）如图已知点是x轴上的动点，，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，当正方形ABCD的边与反比例函数的图像有4个交点时，请直接求出a的取值范围．
【答案】（1）交点坐标为；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）令，解得，，即可求解；
（2）先联立方程，再利用即可求解；
（3）分a＞0、a＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．
【详解】
解：（1）令，
∴，
∴，，
当时，，
当时，，
∴交点坐标为；
（2）令，
整理，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：；
（3）①当a＞0时，如图1，

点A、B的坐标分别为：（a，0）、（0，），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝－x＋，
当线段AB与双曲线有一个交点时，
联立AB表达式与反比例函数表达式得：－x＋＝，
整理得：4x2－4ax＋2a＝0，
＝（－4a）2－16×2a＝0，
解得：a＝2，
故当a＞2时，正方形ABCD与反比例函数的图象有4个交点；
②当a＜0时，如图2，

（Ⅰ）当边AD与双曲线有一个交点时，
过点D作ED⊥x轴于点E，
∵∠BAO＋∠DAE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵AB＝AD，∠AOB＝∠DEA＝90°，
∴AOB≌DEA（AAS），
∴ED＝AO＝－a，AE＝OB＝4，
故点D（a＋4，a），
由点A、D的坐标可得，直线AD的表达式为：y＝a（x－a），
联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2－a2x－16＝0，
＝（－a2）2－4a×（－16）＝0，
解得：a＝－4（不合题意，舍去）；
（Ⅱ）当边BC与双曲线有一个交点时，
同理可得：a＝－16，
所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为－16＜a＜－4；
综上所述，a的取值范围是a＞2或－16＜a＜－4．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
30．（2021·江苏连云港·二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为
，且当时，；当时，．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）与之间的函数表达式为 ；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．
【解析】
【分析】
（1）根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨”即可列出与之间的函数表达式为；
（2）根据当时，；当时，即可求出k1、k2的值，进而得到p与x的函数关系式为，再把代入分段函数，分别求出x=4，x=40，舍去不合题意的x的值，问题得解，
（3）设每场获得的利润为（万元），分和两种情况，求出w与x的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解．
【详解】
解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
∴与之间的函数表达式为；
（2）当时，，所以有，解之得，．
当时，，所以有，解之得，．
∴，
当时，，解之得，
当时，，解得．，所以舍去．
∴的值为4；
（3）设每场获得的利润为（万元），则有
当时，，
∴当时，最大，且最大值为万元．
当时，，
∴当时，最大，且最大值为万元．
∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．
【点睛】
本题为一次函数、二次函数、反比例函数的综合应用，考查了列一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键，注意当时，函数不是反比例函数，但注意借鉴反比例函数性质即可求解．
1
2
3
2