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2021-2022学年广东省深圳市南山区三校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省深圳市南山区三校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版，共25页。
2021-2022学年广东省深圳市南山区三校联考九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每题3分，共10小题。每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）
1．（3分）把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
2．（3分）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
5．（3分）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
6．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．
7．（3分）如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×
B．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×（1﹣）
C．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×
D．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×（1﹣）
9．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
10．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（每题3分，共5小题。请把正确答案填写在答题卡上）
11．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
12．（3分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．（结果保留根号）
13．（3分）若≠0，则＝ ．
14．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 ．
三．解答题（55分，共7题，其中16题12分，17题7分，18题7分，19题7分，20题6分，21题8分，22题8分.）
16．（12分）用适当的方法解方程．
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x﹣9＝0；
（3）2x2+3x﹣1＝0；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3）．
17．（7分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．
18．（7分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长，
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
21．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
22．（8分）（1）如图1，Rt△ABC与与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BD，AC，请问BC，AC，CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC与绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点为点D，点C对应点为点E，连接DE，请你根据以上思路求出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．直接写出BE+BF的最小值 ．
2021-2022学年广东省深圳市南山区三校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共10小题。每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）
1．（3分）把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），将原方程化简即可．
【解答】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
∴y2+2y﹣2﹣3y＝0，
∴y2﹣y﹣2＝0．
故选：A．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出m，n，进而代入化简即可．
【解答】解：∵，
∴设m＝3a，则n＝4a，
则＝＝．
故选：D．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答．
【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；
④正方形既是菱形又是矩形，故正确；
⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2CD，求得AB＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6，
∴AB＝12，
∵CE⊥AB于点E，CE＝5，
∴△ABC的面积＝AB•CE＝×12×5＝30，
故选：D．
5．（3分）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故选：D．
6．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当AC2＝AD•AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由DE∥BC，推出＝，求出AC，可得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，
故选：C．
8．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×
B．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×（1﹣）
C．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×
D．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×（1﹣）
【分析】设彩条的宽为xcm，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程．
【解答】解：设彩条的宽度是xcm，则
（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×（1﹣），
故选：B．
9．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，由题意
根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，
可得FH：DE＝3：4，
∴＝（）2＝，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．
故选：D．
10．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得：AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
二．填空题（每题3分，共5小题。请把正确答案填写在答题卡上）
11．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 9 个．
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
30×0.3＝9（个），
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
12．（3分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ 5﹣5 cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金比值是列式计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝（5﹣5）cm，
故答案为：5﹣5．
13．（3分）若≠0，则＝ ．
【分析】设＝k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后把它们代入原式进行分式的运算即可．
【解答】解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝＝．
故答案为．
14．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 ．
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝10，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 ．
【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB＝PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行线分线段成比例的，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AC∥PE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠B＝∠E，
∴PB＝PE，
∵PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴∠BPD＝∠EPC，
∴在△PCE和△PDB中，
，
∴△PCE≌△PDB（SAS），
∴BD＝CE，
∵AC∥PE，
∴，
∵PA＝AB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（55分，共7题，其中16题12分，17题7分，18题7分，19题7分，20题6分，21题8分，22题8分.）
16．（12分）用适当的方法解方程．
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x﹣9＝0；
（3）2x2+3x﹣1＝0；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用配方法求解可得；
（3）整理为一般式，再利用公式法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣6x﹣9＝0，
∴x2﹣6x＝9，
则x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，
则x﹣3＝±3，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；
（3）2x2+3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
则（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
17．（7分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（﹣2，﹣4），C2（8，﹣8）．
18．（7分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）从两个统计图中可知，“棋类”的频数为30名，占调查人数的15%，根据频率＝可求出调查人数；
（2）求出“书画”“戏曲”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中“戏曲”所占的百分比，即可估计总体中“戏曲”所占的百分比，进而求出相应的人数；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）调查人数为：30÷15%＝200（名），
答：调查抽取200名学生；
（2）选择“书画”课程的学生有200×25%＝50（名），
选择“戏曲”课程的学生有200﹣50﹣80﹣30＝40（名）．
补全条形统计图如图所示：
（3）1600×＝320（名）．
答：该校1600名学生中选择“戏曲”课程的学生有320名；
（4）画树状图如下：
由树状图，知共有12种等可能出现的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，
所以P（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）＝．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长，
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC＝2OE＝6，由勾股定理可求CE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，且CE⊥AB
∴AC＝2OE＝6
在Rt△ACE中，CE＝＝
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）
＝k2+2k+1﹣8k+12
＝k2﹣6k+13
＝（k﹣3）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3，
∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
当AB＝3为底时，则AC，BC为腰，
方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，
由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，k＝3．
21．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
答：单价应降低13元或15元．
22．（8分）（1）如图1，Rt△ABC与与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BD，AC，请问BC，AC，CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC与绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点为点D，点C对应点为点E，连接DE，请你根据以上思路求出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．直接写出BE+BF的最小值 2 ．
【分析】（1）通过证明△ADE∽△ABC，可得∠BAC＝∠DAE，，可得∠BAD∽△CAE，可得，即可求解；
（2）将△ABC绕点A逆时针90°，并放大2倍，点B对应点D，点C落点为点E，连接DE，可得＝2，∠ADE＝∠ABC，∠E＝∠ACB，利用四点共圆可证∠E＝∠ADB，可得，可求AE＝2AC，可得结论；
（3）连接CF，作△FBI∽△FCE，连接IE，延长IE交BC的延长线于L，过I作IM⊥AD，交DA的延长线于M，作平行四边形IEI1B，I2是I1关于AD的对称点，连接I1E，I2E，I1I2，可证△FEI∽△FCB，可求IE＝4 ，由平行四边形的性质和轴对称的性质可得IE＝BI1＝4 ，IB＝I1E，I1E＝I2E，则BE+BF＝BE+BI＝BE+EI1＝BE+EI2≥BI2，由相似三角形的性质分别求出BN，NI2，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD∽△CAE，
∴，
∵＝，
∴BC＝2AB，
∴AC＝＝AB，
＝＝；
（2）解：CD+2BC＝AC，理由如下：
如图3，将△ABC绕点A逆时针90°，并放大2倍，点B对应点D，点C落点为点E，连接DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝2，∠ADE＝∠ABC，∠E＝∠ACB，
∴DE＝2BC，
∵四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADE＝180°，
∴点C，点D，点E三点共线，
∵四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠E＝∠ADB，
又∵∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴AE＝2AC，
∴CE＝＝AC，
∴CD+2BC＝AC；
（3）解：∵，AB＝5，
∴BC＝2AB＝10，EF＝2CE，
∴CF＝＝CE，
如图4，连接CF，作△FBI∽△FCE，连接IE，延长IE交BC的延长线于L，过I作IM⊥AD，交DA的延长线于M，
∴∠BFI＝∠CFE，，，
∴∠EFI＝∠CFB，，IB＝BF，
∴△FEI∽△FCB，
∴＝＝，∠FIE＝∠FBC，
∴IE＝10×＝4，
作平行四边形IEI1B，I2是I1关于AD的对称点，连接I1E，I2E，I1I2交BC于N，
∴IE＝BI1＝4，IB＝I1E，I1E＝I2E，
∴BE+BF＝BE+BI＝BE+EI1＝BE+EI2≥BI2，
∵∠FIE＝∠FBC，∠IEF＝∠BEL，
∴∠L＝∠IFE，
∵IE∥BI1，
∴∠L＝∠I1BC，
又∵∠BNI1＝∠FEC＝90°，
∴△BNI1∽△FEC，
∴＝＝，＝＝，
∴BN＝8，I1N＝4，
∴I1I2＝2×（4+5）＝18，
∴NI2＝14，
∴BI2＝＝＝2，
∴BE+BF的最小值为2．
故答案为：2．
2021-2022学年广东省深圳市南山区三校联考九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每题3分，共10小题。每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）
1．（3分）把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
2．（3分）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
5．（3分）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
6．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．
7．（3分）如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×
B．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×（1﹣）
C．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×
D．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×（1﹣）
9．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
10．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（每题3分，共5小题。请把正确答案填写在答题卡上）
11．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
12．（3分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．（结果保留根号）
13．（3分）若≠0，则＝ ．
14．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 ．
三．解答题（55分，共7题，其中16题12分，17题7分，18题7分，19题7分，20题6分，21题8分，22题8分.）
16．（12分）用适当的方法解方程．
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x﹣9＝0；
（3）2x2+3x﹣1＝0；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3）．
17．（7分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．
18．（7分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长，
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
21．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
22．（8分）（1）如图1，Rt△ABC与与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BD，AC，请问BC，AC，CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC与绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点为点D，点C对应点为点E，连接DE，请你根据以上思路求出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．直接写出BE+BF的最小值 ．
2021-2022学年广东省深圳市南山区三校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共10小题。每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）
1．（3分）把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），将原方程化简即可．
【解答】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
∴y2+2y﹣2﹣3y＝0，
∴y2﹣y﹣2＝0．
故选：A．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出m，n，进而代入化简即可．
【解答】解：∵，
∴设m＝3a，则n＝4a，
则＝＝．
故选：D．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答．
【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；
④正方形既是菱形又是矩形，故正确；
⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2CD，求得AB＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6，
∴AB＝12，
∵CE⊥AB于点E，CE＝5，
∴△ABC的面积＝AB•CE＝×12×5＝30，
故选：D．
5．（3分）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故选：D．
6．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当AC2＝AD•AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由DE∥BC，推出＝，求出AC，可得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，
故选：C．
8．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×
B．（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×（1﹣）
C．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×
D．（20﹣x）（30﹣x）＝20×30×（1﹣）
【分析】设彩条的宽为xcm，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程．
【解答】解：设彩条的宽度是xcm，则
（20﹣2x）（30﹣2x）＝20×30×（1﹣），
故选：B．
9．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，由题意
根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，
可得FH：DE＝3：4，
∴＝（）2＝，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．
故选：D．
10．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得：AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
二．填空题（每题3分，共5小题。请把正确答案填写在答题卡上）
11．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 9 个．
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
30×0.3＝9（个），
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
12．（3分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ 5﹣5 cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金比值是列式计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝（5﹣5）cm，
故答案为：5﹣5．
13．（3分）若≠0，则＝ ．
【分析】设＝k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后把它们代入原式进行分式的运算即可．
【解答】解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝＝．
故答案为．
14．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 ．
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝10，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 ．
【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB＝PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行线分线段成比例的，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AC∥PE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠B＝∠E，
∴PB＝PE，
∵PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴∠BPD＝∠EPC，
∴在△PCE和△PDB中，
，
∴△PCE≌△PDB（SAS），
∴BD＝CE，
∵AC∥PE，
∴，
∵PA＝AB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（55分，共7题，其中16题12分，17题7分，18题7分，19题7分，20题6分，21题8分，22题8分.）
16．（12分）用适当的方法解方程．
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x﹣9＝0；
（3）2x2+3x﹣1＝0；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用配方法求解可得；
（3）整理为一般式，再利用公式法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣6x﹣9＝0，
∴x2﹣6x＝9，
则x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，
则x﹣3＝±3，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；
（3）2x2+3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（4）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
则（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
17．（7分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（﹣2，﹣4），C2（8，﹣8）．
18．（7分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）从两个统计图中可知，“棋类”的频数为30名，占调查人数的15%，根据频率＝可求出调查人数；
（2）求出“书画”“戏曲”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中“戏曲”所占的百分比，即可估计总体中“戏曲”所占的百分比，进而求出相应的人数；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）调查人数为：30÷15%＝200（名），
答：调查抽取200名学生；
（2）选择“书画”课程的学生有200×25%＝50（名），
选择“戏曲”课程的学生有200﹣50﹣80﹣30＝40（名）．
补全条形统计图如图所示：
（3）1600×＝320（名）．
答：该校1600名学生中选择“戏曲”课程的学生有320名；
（4）画树状图如下：
由树状图，知共有12种等可能出现的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，
所以P（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）＝．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长，
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC＝2OE＝6，由勾股定理可求CE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，且CE⊥AB
∴AC＝2OE＝6
在Rt△ACE中，CE＝＝
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）
＝k2+2k+1﹣8k+12
＝k2﹣6k+13
＝（k﹣3）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3，
∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
当AB＝3为底时，则AC，BC为腰，
方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，
由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，k＝3．
21．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
答：单价应降低13元或15元．
22．（8分）（1）如图1，Rt△ABC与与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BD，AC，请问BC，AC，CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC与绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点为点D，点C对应点为点E，连接DE，请你根据以上思路求出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．直接写出BE+BF的最小值 2 ．
【分析】（1）通过证明△ADE∽△ABC，可得∠BAC＝∠DAE，，可得∠BAD∽△CAE，可得，即可求解；
（2）将△ABC绕点A逆时针90°，并放大2倍，点B对应点D，点C落点为点E，连接DE，可得＝2，∠ADE＝∠ABC，∠E＝∠ACB，利用四点共圆可证∠E＝∠ADB，可得，可求AE＝2AC，可得结论；
（3）连接CF，作△FBI∽△FCE，连接IE，延长IE交BC的延长线于L，过I作IM⊥AD，交DA的延长线于M，作平行四边形IEI1B，I2是I1关于AD的对称点，连接I1E，I2E，I1I2，可证△FEI∽△FCB，可求IE＝4 ，由平行四边形的性质和轴对称的性质可得IE＝BI1＝4 ，IB＝I1E，I1E＝I2E，则BE+BF＝BE+BI＝BE+EI1＝BE+EI2≥BI2，由相似三角形的性质分别求出BN，NI2，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD∽△CAE，
∴，
∵＝，
∴BC＝2AB，
∴AC＝＝AB，
＝＝；
（2）解：CD+2BC＝AC，理由如下：
如图3，将△ABC绕点A逆时针90°，并放大2倍，点B对应点D，点C落点为点E，连接DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝2，∠ADE＝∠ABC，∠E＝∠ACB，
∴DE＝2BC，
∵四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADE＝180°，
∴点C，点D，点E三点共线，
∵四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠E＝∠ADB，
又∵∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴AE＝2AC，
∴CE＝＝AC，
∴CD+2BC＝AC；
（3）解：∵，AB＝5，
∴BC＝2AB＝10，EF＝2CE，
∴CF＝＝CE，
如图4，连接CF，作△FBI∽△FCE，连接IE，延长IE交BC的延长线于L，过I作IM⊥AD，交DA的延长线于M，
∴∠BFI＝∠CFE，，，
∴∠EFI＝∠CFB，，IB＝BF，
∴△FEI∽△FCB，
∴＝＝，∠FIE＝∠FBC，
∴IE＝10×＝4，
作平行四边形IEI1B，I2是I1关于AD的对称点，连接I1E，I2E，I1I2交BC于N，
∴IE＝BI1＝4，IB＝I1E，I1E＝I2E，
∴BE+BF＝BE+BI＝BE+EI1＝BE+EI2≥BI2，
∵∠FIE＝∠FBC，∠IEF＝∠BEL，
∴∠L＝∠IFE，
∵IE∥BI1，
∴∠L＝∠I1BC，
又∵∠BNI1＝∠FEC＝90°，
∴△BNI1∽△FEC，
∴＝＝，＝＝，
∴BN＝8，I1N＝4，
∴I1I2＝2×（4+5）＝18，
∴NI2＝14，
∴BI2＝＝＝2，
∴BE+BF的最小值为2．
故答案为：2．
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