2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.11.2《导数与函数的极值、最值》(2份，教师版+原卷版)

2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练

2.11.2《导数与函数的极值、最值》

一 、选择题

1.若函数y=aex＋3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－3，＋∞)   B.(－∞，－3)  C.（- ，＋∞）   D.(－∞，－)

【答案解析】答案为：B

解析：y=aex＋3x，求导，y′=aex＋3，

由若函数y=aex＋3x在R上有小于零的极值点，

则y′=aex＋3=0有负根，则a≠0，则ex=－在y轴的左侧有交点，

∴0<－<1，解得：a<－3，实数a的取值范围为(－∞，－3).故选B.

2.函数f(x)=x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则x＋x等于(　　)

A.           B.          C.           D.

【答案解析】答案为：C

解析：由图象可得f(x)=0的根为0,1,2，故d=0，f(x)=x(x2＋bx＋c)，

则1,2为x2＋bx＋c=0的根，由根与系数的关系得b=－3，c=2，

故f(x)=x3－3x2＋2x，则f′(x)=3x2－6x＋2，

由图可得x1，x2为3x2－6x＋2=0的根，则x1＋x2=2，x1x2=，

故x＋x=(x1＋x2)2－2x1x2=.故选C.

3.设a∈R，若函数y=ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)

A.a＜－1　　    B.a＞－1       C.a＞－         D.a＜－

【答案解析】答案为：A

解析：∵y=ex＋ax，∴y′=ex＋a.

∵函数y=ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′=ex＋a=0有大于零的解，

∵x＞0时，－ex＜－1，∴a=－ex＜－1.选A.

4.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2在x=1处有极值10，则f(2)等于(　　)

A.11或18         B.11       C.18         D.17或18

【答案解析】答案为：C

解析：∵函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2在x=1处有极值10，∴f(1)=10，且f′(1)=0，

f′(x)=3x2＋2ax＋b，即解得或

而当时，f′(x)=3x2－6x＋3=3(x－1)2，x∈(－∞，1)，

f′(x)＞0，x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，故舍去.

∴f(x)=x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)=18.选C.

5.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)

A.y=x3　　       B.y=ln(－x)         C.y=xe－x         D.y=x＋

【答案解析】答案为：D

解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.

6.若a＞0，b＞0，且函数f(x)=4x3－ax2－2bx＋2在x=1处有极值，若t=ab，则t的最大值为(　　)

A.2         B.3        C.6         D.9

【答案解析】答案为：D

解析：∵f(x)=4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)=12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x=1处有极值，

∴f′(1)=12－2a－2b=0⇒a＋b=6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2， ∴ab≤9，

当且仅当a=b=3时等号成立.故选D.

7.若函数f(x)=2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是(　　)

A.[1，＋∞)                B.[1,)       C.[1，2)        D.[,2)

【答案解析】答案为：B；

解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)=4x－，

所以由f′(x)=0解得x=，由题意得解得1≤k＜.

8.函数f(x)=x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)

A．－2         B．0     C．2         D．4

【答案解析】答案为：C.

解析：f′(x)=3x2－6x，令f′(x)=0，得x=0或2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，

f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.

9.已知函数f(x)=lnx－，若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，则a的值为(　　)

A．－         B．－       C．－         D．e0.5

【答案解析】答案为：A.

解析：由题意，f′(x)=＋，若a≥0，则f′(x)>0，函数单调递增，所以f(1)=－a=，矛盾；若－e<a<－1，函数f(x)在[1，－a]上递减，在[－a，e]上递增，所以f(－a)=，

解得a=－；若－1≤a<0，函数f(x)是递增函数，所以f(1)=－a=，矛盾；若a≤－e，函数f(x)单调递减，所以f(e)=，解得a=－，矛盾．综上，a=－，故选A.

10.若函数f(x)=ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为(　　) 

A.[2，＋∞)      B.[4，＋∞)    C.{4}     D.[2,4]

【答案解析】答案为：C

解析：f′(x)=3ax2－3，当a≤0时，f(x)min=f(1)=a－2≥0，a≥2，不合题意；

当0<a≤1时，f′(x)=3ax2－3=3a，f(x)在[－1,1]上为减函数，f(x)min=f(1)=a－2≥0，a≥2，不合题意；

当a>1时，f(－1)=－a＋4≥0，且f=－＋1≥0，

解得a=4.综上所述，a=4.故选C.

11.已知≤＋1对于任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则(　　)

A.a的最小值为－3           B.a的最小值为－4

C.a的最大值为2           D.a的最大值为4

【答案解析】答案为：A

解析：≤＋1对于任意的x∈(1，＋∞)恒成立，

转化为a2＋2a＋2≤＋x=f(x)的最小值.f′(x)=，

可得x=3时，函数f(x)取得极小值即最小值f(3)=5.

∴a2＋2a＋2≤5，化为a2＋2a－3≤0，即(a＋3)(a－1)≤0，解得－3≤a≤1.

因此a的最小值为－3.故选A.

12.函数f(x)=x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)

A.20          B.18         C.3         D.0

【答案解析】答案为：A

解析：对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，

等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t.

∵f(x)=x3－3x－1，∴f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x＋1)，

∵x∈[－3,2]，

∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，

∴f(x)max=f(2)=f(－1)=1，f(x)min=f(－3)=－19，

∴f(x)max－f(x)min=20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20.故选A.

二 、填空题

13.已知函数y=f(x)=x3＋3ax2＋3bx＋c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x＋2y＋5=0，则f(x)的极大值与极小值之差为________.

【答案解析】答案为：4

解析：因为y′=3x2＋6ax＋3b，

⇒

所以y′=3x2－6x，令3x2－6x=0，则x=0或x=2.

所以f(x)极大值－f(x)极小值=f(0)－f(2)=4.

14.已知函数f(x)=x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________.

【答案解析】答案为：(－∞，－3)∪(6，＋∞)

解析：因为f′(x)=3x2＋2mx＋(m＋6)，所以Δ=4m2－4×3(m＋6)＞0，

解得m＞6或m＜－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).

15.若函数f(x)=x3－3x在区间(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是________.

【答案解析】答案为：[－2,1)

解析：若f′(x)=3x2－3=0，则x=±1，且x=1为函数的极小值点，x=－1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a＜1＜6－a2且f(a)=a3－3a≥f(1)=－2.解a＜1＜6－a2，得－＜a＜1.不等式a3－3a≥f(1)=－2，即a3－3a＋2≥0，a3－1－3(a－1)≥0，(a－1)(a2＋a－2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0，即a≥－2，故实数a的取值范围为[－2,1).

16.已知函数f(x)=aln x＋x2(a＞0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，

都有＞2恒成立，则a的取值范围是________.

【答案解析】答案为：a≥1.

解析：因为x1≠x2，所以表示函数f(x)图象上任意两点的连线的斜率，

若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，

则f′(x)=x＋≥2(a＞0)对任意正实数x恒成立，

又x＋≥2 ，所以2 ≥2，所以a≥1.