初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定教案

平行四边形的对角线性质

教学目标：

1．理解平行四边形中心对称的特征，把握平行四边形对角线相互平分的性质．

2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简洁的证明题．

3．培育同学的推理论证力量和规律思维力量．

重点、难点

4．重点：平行四边形对角线相互平分的性质，以及性质的应用．

5．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

6．难点的突破方法：

（1）本节课的主要内容是平行四边形的性质3，它是通过旋转平行四边形，得到平行四边形是中心对称图形和对角线相互平分的性质．这一节综合性较强，教学中要留意引导同学．要留意让同学巩固基础学问和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华．

（2）教学时要讲明线段相互平分的意义和表示方法．如图，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC与BD相互平分，则有OA＝OC，OB＝OD．

（3）在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．

在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．

（4）平行四边形的面积等于它的底和高的积，即＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必需是a边与其对边的距离，即对应的高，如图（1）．要避开同学发生如图（2）的错误．为了区分，有时也可以把高记成、，表明它们所对应的底是a或AB．

（5）学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平行四边形有哪些性质．可以按边、角、对角线进行总结．通过复习总结，使同学把握这些学问，也培育同学随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的力量．

例题的意图分析

    本节课支配了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以依据同学的实际状况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，生疏它的性质对解答简单问题是很有挂念的．

例2是教材P94的例2，这是复习巩固学校学过的平行四边形面积计算．这个例题比学校计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要留意使同学把握其方法．

教学过程

一、课堂引入

1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是）．

②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．  

边：平行四边形的对边相等．

2．【探究】：

请同学在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观看它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发觉平行四边形的什么性质吗？

结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

         （2）平行四边形的对角线相互平分．

二、例习题分析

例1（补充）　 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

证明：在 ABCD中，AB∥CD，

∴　∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又  OA＝OC(平行四边形的对角线相互平分)，

∴  △AOE≌△COF（ASA）．

∴　OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．

∵  ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．

∴  AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．

※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

解略

例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线相互平分可求得OA的长，依据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积学校学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算

解略（参看教材P94）．

三、随堂练习

1．在平行四边形中，周长等于48，

①    已知一边长12，求各边的长

②    已知AB=2BC，求各边的长

③    已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．

3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__   ___．

四、课后练习

1．推断对错

（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．   （    ）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．   （    ）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．               （    ）

（4）平行四边形是轴对称图形．                           （    ）

2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__    ______．

3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是       ．

4．公园有一片绿地，它的外形是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．