北师数学·必修第1册 综合测试6 试卷

这是一份北师数学·必修第1册 综合测试6 试卷，共11页。

第六章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是(　D　)
A．总体是指这箱2 500件包装食品
B．个体是一件包装食品
C．样本是按2%抽取的50件包装食品
D．样本量是50
[解析]　总体是指这箱2 500件包装食品的质量，故A项错误；个体是一件包装食品的质量，故B项错误；样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，故C项错误；样本量是50，故D正确．故选D．
2．下列两个抽样：
①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查．
则应采用的抽样方法依次为(　C　)
A．简单随机抽样；简单随机抽样 B．分层随机抽样；分层随机抽样
C．分层随机抽样；简单随机抽样 D．简单随机抽样；分层随机抽样
[解析]　①中商店的规模不同，所以应采用分层随机抽样；②中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样．
3．甲、乙两组各八名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)如下：
甲：9,16,25,18,24，x,27,24．
乙：8,17，y,13,24,28,20,22．
已知甲组数据的25%分位数为14，乙组数据的平均数为18.5，则x，y的值分别为(　A　)
A．12,16 B．12,18
C．14,16 D．14,18
[解析]　将甲组剩余7个数据从小到大排列：9,16,18,24,24,25,27，因为8×25%＝2，所以14×2＝16＋x，所以x＝12．因为18.5＝(8＋17＋y＋13＋24＋28＋20＋22)，所以y＝16．
4．某校高一年级共有600名学生，期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．据此估计数学成绩不低于80分的学生人数为(　C　)

A．480 B．450
C．150 D．120
[解析]　由频率分布直方图可知，数学成绩不低于80分的学生人数为600×10×(0.015＋0.01)＝150．
5．某校高三年级共有学生1 500人，在某次数学测验后，学校为分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层随机抽样的方法，成绩在120分以上的抽取100人，90分～120分的抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是(　B　)
A．600 B．450
C．300 D．150
[解析]　样本容量为500 ，按分层随机抽样的方法，120分以上抽取100人，90分～120分抽取250人，
∴该次测验中90分以下抽取的人数是500－ 100－ 250＝ 150，则该次测验中90分以下的人数是1 500×＝450．
6．(丙卷(全国卷Ⅲ))某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图(如图)．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃．下面叙述不正确的是(　D　)

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
[解析]　由图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差大于5 ℃，而一月的平均温差小于5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10 ℃，基本相同，故C正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，所以D不正确．
7．(2021·广东高一期末)某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为(　B　)

A．640 B．520
C．280 D．240
[解析]　由频率分布直方图，得初赛成绩大于90分的频率为1－(0.002 5＋0.007 5＋0.007 5)×20＝0.65．所以获得复赛资格的人数为0.65×800＝520．故选B．
8．(2021·广东省汕头市模拟)如图是1990～2017年我国劳动年龄(15～64岁)人口数量及其占总人口比重情况：

根据图表信息，下列统计结论不正确的是(　B　)
A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B．2010年后我国劳动年龄人口数量开始呈现负增长态势
C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%
[解析]　A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为4 000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的，正确．B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，错误．C选项，从图上看，2013年的小长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，正确．D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大的年份为2011年，大于74%，最小为1992年，小于67%，极差超过6%，正确．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　BD　)
A．57.2 B．62.8
C．63.6 D．3.6
[解析]　当一组数据中的每个数同时加上一个数后，平均数相应增加，但方差不变，可知新数据的平均数为62.8，方差为3.6．故选BD．
10．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分如下．
甲运动员得分：18,20,35,33,47,41．
乙运动员得分：17,19,19,26,27,29．
则下列四个结论中，正确的是(　ABC　)
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
[解析]　对于A，极差是数据中最大值与最小值的差，由题中的数据可得甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为29－17＝12，故甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲运动员的得分从小到大排列为18,20,33,35,41,47，处于中间的数是33,35，所以甲运动员得分的中位数是34，同理求得乙运动员的得分的中位数是22.5，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，甲运动员得分的平均值为×(18＋20＋35＋33＋47＋41)≈32.33，乙运动员得分的平均值为×(17＋19＋19＋26＋27＋29)≈22.83，因此甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值，故C正确；对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定．可以算出甲的方差为s＝×[(18－32.33)2＋(20－32.33)2＋…＋(41－32.33)2]≈109，同理得出乙的方差为s≈21，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．
11．一组数据2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的平均值为7，方差为4，记3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3xn＋2的平均值为a，方差为b，则(　BD　)
A．a＝7 B．a＝11
C．b＝12 D．b＝9
[解析]　因为2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的平均值为7，方差为4，所以x1，x2，x3，…，xn的平均值为(7－1)÷2＝3，方差为4÷22＝1，所以3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3xn＋2的平均值a＝3×3＋2＝11，方差b＝32×1＝9．
12．下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．

根据该折线图可知，该地区2006年～2018年(　AD　)
A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大
[解析]　A项，由折线图知该地区财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势．故A项正确；B项，因为折线图中该地区财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的曲线倾斜程度不同，所以财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度不同．故B项错误；C项，由折线图知该地区在2006～2018年的财政预算内收入的增长量低于城乡居民储蓄年末余额的增长量，所以财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量．故C项错误；D项，由折线图知该地区城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大．故D项正确．故选AD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12．
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：
甲__众数__，乙__平均数__，丙__中位数__．
[解析]　甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数＝＝8；丙：该组数据的中位数是＝8．
14．(2021·黑龙江哈尔滨三中高二期末)某同学4次三级跳远成绩(单位：米)分别为x，y,11,9，已知这4次成绩的平均数为10，标准差为，则xy的值为__97__．
[解析]　数据x，y,11,9的平均数为10，标准差为，则

化简得所以xy＝97．
15．如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为__40__．

[解析]　前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×＝0.25，设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40．
16．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分，却误记为60分，学生乙实际得分是70分，却误记为90分，更正后的平均分数为__70__，方差是__67__．
[解析]　设更正前甲、乙的成绩依次为a1，a2，其余同学的成绩依次为a3，a4，…，a50，
则a1＋a2＋…＋a50＝50×70，即60＋90＋a3＋…＋a50＝50×70，(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(a50－70)2＝50×75，
即102＋202＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2＝50×75．
更正后平均分数为＝×(80＋70＋a3＋…＋a50)＝70，
更正后方差为s2＝×[(80－70)2＋(70－70)2＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2]＝×[100＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2]＝×[100＋50×75－102－202]＝67．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．
[解析]　由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，
所以＝5，解得x＝6．
设这组数据的平均数为，方差为s2，
由题意得
＝×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，
s2＝×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝．
18．(本小题满分12分)某学校高二学生有500人，其中男生320人，女生180人．为获得该校高二学生身高(单位：cm)的信息，按照分层随机抽样的原则抽取了25个样本，通过计算得到男生身高样本平均数为173.5 cm，方差为17，女生身高样本平均数为163.83 cm，方差为30.03．
(1)求样本中男生、女生的人数；
(2)用样本估计总体的思想估计该校高二学生身高的平均数和方差．
[解析]　(1)样本中男生的人数为25×＝16，女生的人数为25－16＝9．
(2)记男生身高的平均数为男，方差为s，女生身高的平均数为女，方差为s．因为男生所占的权重为ω男＝0.64，女生所占的权重为ω女＝0.36，
所以估计该校高二学生身高的平均数总＝ω男男＋ω女女≈170.02(cm)．
该校高二学生身高的方差为s＝ω男[s＋(男－总)2]＋ω女[s＋(女－总)2]≈43.24．
19．(本小题满分12分)我们国家正处于轻度老龄化阶段，“老有所依”也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人约有66万．为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，制作成如图所示的统计图．

(1)若采用分层随机抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
(2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比．
[解析]　(1)整理数据如下表：
健康情况
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80岁及以上人数
20
45
20
15
80岁以下人数
200
225
50
25
从图表中知，
80岁及以上老人应抽取8×＝3(人)，
80岁以下老人应抽取8×＝5(人)．
(2)在600人中80岁及以上老人所占比为＝，用样本估计总体，80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为××100%＝2.75%．
20．(本小题满分12分)某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分；
(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶2
4∶5
[解析]　(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005．
(2)这100名学生化学成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．
(3)数学成绩在[50,60)的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60,70)的人数为100×0.4×＝20，
数学成绩在[70,80)的人数为100×0.3×＝20，
数学成绩在[80,90)的人数为100×0.2×＝25．
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为100－5－20－20－25＝30．
21．(本小题满分12分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名前来就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)．．．，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若采用分层随机抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生中抽取10人，则从评分在[60,80)内的师生中应抽取多少人？
(3)学校规定：若师生对食堂服务质量的评分低于75分，则食堂将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均数，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
[解析]　(1)由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)×10＝1，解得a＝0.006．
(2)由频率分布直方图可知，评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生人数之比为(0.004＋0.006)∶(0.022＋0.028)∶(0.022＋0.018)＝1∶5∶4，所以从评分在[60,80)内的师生中应抽取10×＝5(人)．
(3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均数为＝45×0.004×10＋55×0.006×10＋65×0.022×10＋75×0.028×10＋85×0.022×10＋95×0.018×10＝76.2(分)．
因为76.2＞75，所以食堂不需要进行内部整顿．
22．(本小题满分12分)在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．
(1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点．从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；
0　6　5　1　2　9　1　6　9　3　5　8　0　5　7　7　0
9　5　1　5　1　2　6　8　7　8　5　8　5　5　4　8　7
6　6　4　7　5　4　7　3　3　2　0　8　1　1　1　2　4
4　9　5　9　2　6　3　1　6　2　9　5　6　2　4　2　9
4　8　2　6　9　9　6　1　6　5　5　3　5　8　3　7　7
8　8　0　7　0　4　2　1　0　5　0　6　7　4　2　3　2
1　7　5　5　8　5　7　4　9　4　4　4　6　7　1　6　9
4　1　4　6　5　5　2　6　8　7　5　8　7　5　9　3　6
2　2　4　1　2　6　7　8　6　3　0　6　5　5　1　3　0
8　2　7　0　1　5　0　1　5　2　9　3　9　3　9　4　3
(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
[解析]　(1)根据题意，读出的编号依次是：512,916(超界)，935(超界)，805,770,951(超界)，512(重复)，687,858,554,876,647,547,332．
将有效的编号从小到大排列，得
332,512.547,554,647,687,770,805,858,876，
所以中位数为×(647＋687)＝667．
(2)记样本中8个A题目的成绩分别为x1，x2，…，x8,2个B题目的成绩分别为y1，y2．
方法1：由题意可知i＝8×7＝56，(xi－7)2＝8×4＝32，
i＝16，(yi－8)2＝2×1＝2，
故样本平均数为＝×(i＋i)＝×(56＋16)＝7.2；
样本方差为
s2＝×[(xi－7.2)2＋(yi－7.2)2]
＝×{(xi－7)－0.2]2＋(yi－8)＋0.8]2}
＝×[(xi－7)2－0.4(xi－7)＋8×0.22＋(yi－8)2＋1.6(yi－8)＋2×0.82]
＝(32－0＋0.32＋2＋0＋1.28)
＝3.56．
方法2：平均数＝×7＋×8＝7.2
样本方差S2＝[(A－)2＋4]＋[(B－)2＋1]
＝[(7－7.2)2＋4]＋[(8－7.2)2＋1]
＝×(0.04＋4)＋×(0.64＋1)
＝3.56
∴平均数为7.2，方差为3.56；
所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．