2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边形解答题2

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边形解答题2，共70页。试卷主要包含了已知，问题，，且∠AEB＝∠CFD＝90°等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学真题知识点分类汇编-四边形解答题2

一．平行四边形的性质（共4小题）
1．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）连接AC和BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

2．（2021•宿迁）在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，　 　（填写序号）．
求证：BE＝DF．

3．（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．

4．（2021•绍兴）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

二．平行四边形的判定（共1小题）
5．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 　 　；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

三．平行四边形的判定与性质（共4小题）
6．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．

7．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

8．（2021•扬州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．

9．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．

四．菱形的性质（共2小题）
10．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．

11．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

五．菱形的判定（共1小题）
12．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

六．菱形的判定与性质（共2小题）
13．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

14．（2021•随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形．

七．矩形的性质（共6小题）
15．（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．

16．（2021•新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．

17．（2021•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．

18．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

19．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长；
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．

20．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

八．矩形的判定（共1小题）
21．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

九．矩形的判定与性质（共1小题）
22．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）求AD的长．

一十．正方形的性质（共1小题）
23．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

一十一．四边形综合题（共18小题）
24．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．

25．（2021•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．

26．（2021•山西）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
27．（2021•陕西）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

28．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 　 　，＝　 　；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：＝；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．

29．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

30．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

31．（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．

32．（2021•嘉峪关）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
33．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

34．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

35．（2021•江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　 　；

类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　 　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．

36．（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．
（1）若EF⊥BD，求DF的长；
（2）若PE⊥BD，求DF的长；
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．

37．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．

[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　 　块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　 　（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
38．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

39．（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

40．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．

41．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；

（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为　 　，点G所经过的路径长为　 　．

参考答案与试题解析
一．平行四边形的性质（共4小题）
1．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）连接AC和BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝BC，
∴∠D＝∠FCE；
∵E为DC中点，
∴ED＝EC，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴BC＝CF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴△ABG∽△CEG，
∴，，
∵DE＝CE，
∴AB＝2CE，
∴＝2，＝4，
∵△GEC的面积为2，
∴S△BGC＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8，
∴S△ABC＝S△BGC+S△ABG＝4+8＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝24．
2．（2021•宿迁）在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，　②　（填写序号）．
求证：BE＝DF．

【解答】解：选②，如图，连接BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BE＝DF．

故选择：②（答案不唯一）．
3．（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF．
4．（2021•绍兴）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

【解答】解：（1）①如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图2所示：

∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
（2）分三种情况：
①如图3所示：

同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如图4所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如图5所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2；
综上所述，的值为或或2．
二．平行四边形的判定（共1小题）
5．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 　AE＝CF　；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
三．平行四边形的判定与性质（共4小题）
6．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵cosB＝＝，BE＝5，
∴BF＝BE＝×5＝4，
∴EF＝＝＝3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
7．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
8．（2021•扬州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．

【解答】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD＝，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2，
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．
9．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．

【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
设AE＝3a，则BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，
解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴＝，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x+4，
∴32＝x（x+4），
解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），
即EF＝﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．
四．菱形的性质（共2小题）
10．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．

【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM＝CN，
∴AB﹣AM＝BC﹣CN，
即BM＝BN．
11．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF．
五．菱形的判定（共1小题）
12．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
六．菱形的判定与性质（共2小题）
13．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

【解答】解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝，
∴AB＝BG＝．
14．（2021•随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，连接BD，交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
七．矩形的性质（共6小题）
15．（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．

【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
16．（2021•新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF＝AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形．
17．（2021•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
又∵DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB∥EF，
∴∠ABD＝∠F，
∴tan∠ABD＝tanF＝，
∴，
又∵BF＝2，
∴BG＝．
18．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS），
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
19．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长；
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．

【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，
∴AE＝DE＝AD＝，
∴tanα＝＝．
20．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF．
八．矩形的判定（共1小题）
21．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
九．矩形的判定与性质（共1小题）
22．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）求AD的长．

【解答】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，
∴BD＝AC，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝4．
一十．正方形的性质（共1小题）
23．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝，
故四边形BEDF的周长为8．
一十一．四边形综合题（共18小题）
24．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．

【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，

∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE；
（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，

∵AE＝6，
∴AF＝6，
∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，
∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，
∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．
25．（2021•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．

【解答】（1）证明：如图1中，

在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∵BE＝BC，
∴四边形BEFC是正方形．

（2）①证明：如图2中，

∵∠GCK＝∠DCH＝90°，
∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，
∴∠KGC＝∠CDF′，
∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，
∴△CGB′≌△CDF′（AAS），
∴CG＝CD．

②解：设正方形的边长为a，
∵KB′∥CF′，
∴△B′KO∽△F′CO，
∴＝＝，
∴B′K＝B′C＝a，
在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，
∴a2+（a）2＝32，
∴a＝，
由＝，可得B′K＝KE′＝a，
∵KE′∥CF′
∴△DKE′∽△DCF′，
∴＝＝＝，
∴DE′＝E′F′＝a，
∴PE′＝2a，
∴PK＝a，
∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，
∴△PKD≌△GKC（AAS），
∴GK＝PK，
∴PG＝2PK＝5a，
∴PG＝5a＝6．

（3）解：如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．

∵CF′∥GP，RB′∥BM，
∴△GBM∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，
∴tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，
设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝x，
∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，
∵CB′∥HE′，
∴△RB′C∽△RF′H，
∴＝＝＝，
∴CH＝RH，B′F′＝RF′，
∴CR＝2CH＝2x，
∴S△CF′R＝2S△CF′H，
∵CB′∥HE′，
∴△GB′C∽△GE′H，
∴＝＝＝，
∴＝＝
∴GB＝2（﹣1）x，
∵△GBM∽△CRF′，
∴＝（）2＝[]2＝，
∵S△CRF′＝2S△CHF′，
∴＝．
26．（2021•山西）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【解答】解：（1）结论：EF＝BF．
理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FH∥AD，
∴DE∥FH∥CB，
∵DF＝CF，
∴＝＝1，
∴EH＝HB，
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF＝BF．
解法二：分别延长AD，BF相交于点M，类似于倍长中线法，直角三角形斜边中线性质解决问题．

（2）结论：AG＝BG．
理由：如图②中，连接CC′．

∵△BFC′是由△BFC翻折得到，
∴BF⊥CC′，FC＝FC′，
∵DF＝FC，
∴DF＝FC＝FC′，
∴∠CC′D＝90°，
∴CC′⊥GD，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF＝BG，
∵AB＝CD，DF＝CD，
∴BG＝AB，
∴AG＝GB．

（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．

∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，
∴DJ＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2，AB∥CD，
∴AJ＝＝＝2，
∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，
∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，
∴四边形DJBH是矩形，
∴BH＝DJ＝4，
∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，
∵tanA＝＝＝2，
设AT＝x，则MT＝2x，
∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，
∴MT＝TB＝2x，
∴3x＝5，
∴x＝，
∴MT＝，
∵tanA＝tanA′＝＝2，
∴NH＝2，
∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，
∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．
27．（2021•陕西）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠ADH＝∠BAD＝45°，
在Rt△ADH中，AD＝6，
∴AH＝AD•sin∠BAD＝6×sin45°＝3，
∵点E是AD的中点，
∴DE＝AD＝3，
同理EG＝，
∵DF＝5，
∴FC＝CD﹣DF＝3，
∴S四边形ABFE＝S▱ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝8×3﹣×5×﹣×3×3＝；

（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，
∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，
设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，
∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，
∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM
＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）
＝4（x﹣350）2+470000，
∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），
AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．


28．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 　ED＝BD　，＝　　；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：＝；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝30°，△ACD是等边三角形，
∴∠DCB＝30°，
∵∠CDE＝α＝90°，
∴tan∠CGD＝tan60°＝＝，
∴＝．
∵线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，
∴ED＝CD＝BD，
故答案为：ED＝BD；．
（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，

∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD是等边三角形，AC＝2，
∴FC＝CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，
∴NG＝m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴AB＝4，BC＝2，
∴BN＝CN＝，
∴BG＝﹣m，
∵∠ADC＝60°，∠CDG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝30°+，
∴∠EBG＝，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM＝，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝＝．
29．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．

（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．

∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．

（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝π．
故答案为：π．
30．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

【解答】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF，B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH＝∠FAD，
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝（∠BAF+∠FAD）＝∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAH＝∠BAD＝45°，
∵∠HGA＝90°，
∴GA＝GH；
（2）解：如图1，连接DH，DF，交AH于点N，
由（1）可知AF＝AD，∠FAH＝∠DAH，

∴AH⊥DF，FN＝DN，
∴DH＝HF，∠FNH＝∠DNH＝90°，
又∵∠GHA＝45°，
∴∠NFH＝45°＝∠NDH＝∠DHN，
∴∠DHF＝90°，
∴DH的长为点D到直线BH的距离，
由（1）知AE2＝AB2+BE2，
∴AE＝＝＝，
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AEB＝∠ABG，
又∠AGB＝∠ABE＝90°，
∴△AEB∽△ABG，
∴，，
∴AG＝＝，BG＝，
由（1）知GF＝BG，AG＝GH，
∴GF＝，GH＝，
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．
即点D到直线BH的距离为；
方法二：
连接BD，

由折叠可知AE⊥BF，
则△ABE≌△BCM，
∴BE＝CM＝1，
∴DM＝2，
∴，
同方法一可知AE＝BM＝，
∴点D到直线BH的距离为＝；

（3）不变．
理由如下：
方法一：连接BD，如图2，

在Rt△HDF中，，
在Rt△BCD中，＝sin45°＝，
∴，
∵∠BDF+∠CDF＝45°，∠FDC+∠CDH＝45°，
∴∠BDF＝∠CDH，
∴△BDF∽△CDH，
∴∠CHD＝∠BFD，
∵∠DFH＝45°，
∴∠BFD＝135°＝∠CHD，
∵∠BHD＝90°，
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二：
∵∠BCD＝90°，∠BHD＝90°，
∴点B，C，H，D四点共圆，
∴∠BHC＝∠BDC＝45°，
∴∠BHC的度数不变．
31．（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．

【解答】解:(1)过点E作EM⊥AC于点M,

∴∠AME＝∠EMC＝90°,
∵四边形ABCD是边长为1的正方形,DE＝,
∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1﹣＝,
∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD＝,AC＝,
∴CM＝AC﹣AM＝﹣＝,
∴tan∠ACE＝＝＝；
(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,
∴GH∥AB,
∴△DHG∽△DAF,
∴,
∴,
∴y＝x﹣xy,
∴y＝(0＜x≤1)；
(3)当∠ADF＝∠ACE时,EG⊥AC,
理由如下:
∵tan∠ADF＝tan∠ACE＝,
∴,
∴x＝,y＝,
∴HA＝GH＝,
∴EH＝AD﹣DE﹣AH＝,
∴EG＝＝＝,
∴EG＝EM,
又∵EM⊥AC,
∴点G与点M重合,
∴EG⊥AC．
32．（2021•嘉峪关）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；

（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵DE＝AF，
∴BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
类比迁移：解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
33．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BDE＝∠ADE，
∴DE平分∠ADB．
（2）如图2，∵FB＝FC，
∴∠EBD＝∠GCD；
∵∠BDE＝∠CDG＝60°，
∴△BDE∽△CDG，
∴；
∵△EAD≌△CAD，
∴DE＝CD＝3，
∵DG＝2，
∴BD＝＝＝.
（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，
∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCF，
即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴，∠DEC＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝2，
∴CE＝＝＝4；
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠EAD＝∠DAC（公共角），
∴△EAD∽△DAC，
∴＝，
∴AC＝2AD，AD＝2AE，
∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．



34．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）如图2，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．
∵∠DCG＝90°，CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，
∴MH＝DH•tan45°＝DH；
∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，
∴AD＝＝，
∴＝tan∠CAD＝＝，
∴AH＝3MH＝3DH，
∴3DH+DH＝3；
∴MH＝DH＝，
∵＝sin∠CAD＝＝，
∴AM＝MH＝×＝．
（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．
∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；
由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠BEC+∠CEF＝180°，
∴点B、E、F在同一条直线上，
∴∠AEB＝90°，
∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，
∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；
如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．
∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠BFC＝∠AEC，
∵∠CFE＝∠CED＝45°，
∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，
∴点B、F、E在同一条直线上；
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵AE2+BE2＝AB2，
∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝1+或AD＝1﹣（不符合题意，舍去）．
综上所述，AD的长为﹣1或1+．




35．（2021•江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　∠DCE′　；

类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　AD2+DE2＝AE2　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．

【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，
故答案为：∠DCE′．
（2）解：如图2中，


∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD2+DE2＝AE2．

（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．

∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点
∴点O是△ADC的外心，
∴∠AOC＝2∠ADC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，
∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝90°．

②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．

∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT＝∠ACB，＝，
∴＝，∠DCB＝∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴＝，
∵＝2，
∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，
∴BD＝AT，
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m，
∴AT＝＝＝，
∴BD＝．
36．（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．
（1）若EF⊥BD，求DF的长；
（2）若PE⊥BD，求DF的长；
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．

【解答】解：（1）∵点D、点P关于直线EF的对称，EF⊥BD，
∴点P在BD上，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝4，∠ADB＝30°．
∴AD＝4，
∵点E是边AD的中点，
∴DE＝2，
∵EF⊥BD，
∴DF＝3；
（2）①如图2，

∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．
∴∠PED＝60°，
由对称可得，EF平分∠PED，
∴∠DEF＝∠PEF＝30°，
∴△DEF是等腰三角形，
∴DF＝EF，
∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．DE＝2，
∴QE＝，
∵∠PEF＝30°，
∴EF＝2，
∴DF＝EF＝2；
②如图3，

∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．
∴∠PED＝120°，
由对称可得，PF＝DF，EP＝ED，EF平分∠PED，
∴∠DEF＝∠PEF＝120°，
∴∠EFD＝30°，
∴△DEF是等腰三角形，
∵PE⊥BD，
∴QD＝QF＝DF，
∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．DE＝2，
∴QE＝，QD＝3
∴DF＝2QD＝6；
∴DF的长为2或6；
（3）①由（2）得，当∠DQE＝90°时，DF＝2，
当∠DEQ＝90°时，如图4，

∵EF平分∠PED，
∴∠DEF＝45°，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a，则FM＝a，DM＝a，
∴a+a＝2，
∴a＝3﹣，DF＝6﹣2，
∴2＜DF＜6﹣2．
②由（2）得，当∠DQE＝90°时，DF＝6，
当∠DEQ＝90°时，如图5，

∵EF平分∠PED，
∴∠1＝∠2＝45°，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a，则FM＝a，DM＝2+a，
∴2+a＝a，
∴a＝3+，DF＝6+2，
∴6＜DF＜6+2．
综上，2＜DF＜6﹣2或6＜DF＜6+2．
37．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．

[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　2　块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　2n+4　（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【解答】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
故答案为：2；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；归纳得：4+2n（即2n+4）；
∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 2n+4块；
故答案为：2n+4；
（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，
∴用2021﹣1＝2020块，
再由题意得：2n+4＝2020，
解得：n＝1008，
∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块．
38．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中点M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
∴＝x＝1+．



39．（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D'在一条线上，
∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，
∴，
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴BC＝．
[探究2]D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，

∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DBA（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．
证明：如图3，连接AM，

∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴AN2＝PN•DN，
∴MN2＝PN•DN．
40．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．

【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
②解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，
由①知，△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴＝＝，
设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，
∴AE＝＝＝4a，
∵＝，∠EAF＝∠ABC，
∴△AEF∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝×＝；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠ANC，
∴∠ANC＝∠CAM，
同理：∠AMC＝∠NAC，
∴△MAC∽△ANC，
∴＝，
△AMN是等腰三角形有三种情况：
①当AM＝AN时，如图2所示：
∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，
∴△ANC≌△MAC（ASA），
∴CN＝AC＝2，
∵AB∥CN，
∴△CEN∽△BEA，
∴＝＝＝，
∵BC＝AB＝4，
∴CE＝BC＝；
②当NA＝NM时，如图3所示：
则∠NMA＝∠NAM，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CN＝2AC＝4＝AB，
∴△CEN≌△BEA（AAS），
∴CE＝BE＝BC＝2；
③当MA＝MN时，如图4所示：
则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝＝2，
∴CN＝AC＝1，
∵△CEN∽△BEA，
∴＝＝，
∴CE＝BC＝；
综上所述，当CE为或2或时，△AMN是等腰三角形．




41．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；

（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为　　，点G所经过的路径长为　π　．
【解答】解：（1）如图，∵△ABC和△BEF是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠CBE＝∠CBF+∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴CF＝AE＝1；
（2）如图2，连接CF，

由（1）△ABE≌△CBF，
∴CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCF＝∠ABC，
∴CF∥AB，
又点E在点C处时，CF＝AC，
点E在A处时，点F与点C重合．
∴点F运动的路径长＝AC＝3．
（3）如图3，取BC的中点H，连接HN，

∴BH＝BC，
∴BH＝AB，
∵CD⊥AB，
∴BD＝AB，
∴BH＝BD，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，
∴∠DBM+∠MBH＝∠HBN+∠MBH，
∴∠DBM＝∠HBN，
∴△DBM≌△HBN（SAS），
∴HN＝DM，∠BHN＝∠BDM＝90°，
∴NH⊥BC，
又点M在C处时，HN＝CD＝，
点M在D处时，点N与点H重合．
∴点N所经过的路径的长＝CD＝；
（4）如图，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，

∴MF＝BM＝BN＝AB，
点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；
∵∠ABC＝∠FBH＝90°，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，即∠ABF＝∠CBH，
∴△MBF≌△NBH（SAS），
∴NH＝MF＝BM＝BN，
∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；
∴当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；
当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合；
连接CH，OG，

由上证明可得，NH＝NB＝NC，
∴∠BHC＝90°，
∴点C，G，H三点共线，
∴∠AGC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴OG是Rt△AGC斜边中线，
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；
∴点H所经过的路径长＝＝π；
点G所经过的路径长＝＝．
故答案为：，．