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2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边选择题1
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这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边选择题1，共39页。
2021中考数学真题知识点分类汇编-四边选择题1
一．多边形内角与外角（共3小题）
1．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2021•台湾）如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（ ）
A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
3．（2021•福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
4．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
三．平行四边形的性质（共7小题）
5．（2021•滨州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
6．（2021•遵义）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
7．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
8．（2021•宜宾）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
9．（2021•威海）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
10．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
11．（2021•贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
四．菱形的性质（共11小题）
12．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（ ）
A．4 B． C．6 D．8
13．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝（ ）
A．25 B．24 C．13 D．12
14．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
15．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
16．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021•德阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
18．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
19．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
20．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
21．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
22．（2021•海南）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
五．菱形的判定（共1小题）
23．（2021•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
六．菱形的判定与性质（共1小题）
24．（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
七．矩形的性质（共4小题）
25．（2021•西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
26．（2021•深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
27．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
28．（2021•台湾）如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
八．矩形的判定（共2小题）
29．（2021•河池）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
30．（2021•无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
九．正方形的性质（共6小题）
31．（2021•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
32．（2021•绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
33．（2021•河池）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
34．（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
35．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．（2021•张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（ ）
A． B． C． D．
一十．正方形的判定（共1小题）
37．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
一十一．梯形（共1小题）
38．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（ ）
A．6m B．8m C．4m D．8m
一十二．四边形综合题（共2小题）
39．（2021•东营）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
40．（2021•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
参考答案与试题解析
一．多边形内角与外角（共3小题）
1．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：B．
2．（2021•台湾）如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（ ）
A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
【解答】解：如图，连结BD，
∵∠1＝∠ABD+∠ADB，∠3＝∠DBC+∠BDC，
∴∠1+∠3＝∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠ADC，
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3＜360°．
故选：A．
3．（2021•福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
4．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
三．平行四边形的性质（共7小题）
5．（2021•滨州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠DEB＝120°，
故选：C．
6．（2021•遵义）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
【解答】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
7．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵四边形ABFC是平行四边形，
∴BE＝EC．
∵OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE＝AB，OE∥AB．
∴．
∴．
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴FC＝AB，FB＝AC．
在△ABC和△FCB中，
，
∴△ABC≌△FCB（SSS）．
∴S△ABC＝S△FCB＝＝24．
∴＝＝4．
故选：C．
8．（2021•宜宾）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；
C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；
D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（2021•威海）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∠D＝∠ABC，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABF+∠FAB，
∴∠ABF＝∠FAB，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AD＝3，AB＝CD＝2．
根据勾股定理，得
AC＝＝，
∴矩形ABEC的面积为：AB•AC＝2×＝2．
故选：B．
10．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【解答】解：∵平行四边形ABFC的面积为48，
∴，
∵平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE＝FC，OE∥FC∥AB，
∴＝，
∴，
∵BF∥AC，
∴BF∥AO，
∴△BFG∽△AOG，
∴，
∵OE∥AB，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
11．（2021•贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
四．菱形的性质（共11小题）
12．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝4+4，
∴AO+AO＝4+4，
∴AO＝4，
∴AD＝8，
故选：D．
13．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝（ ）
A．25 B．24 C．13 D．12
【解答】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∵正方形ABCD的面积为13，
∴AD2＝13＝a2+b2①，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
∴a2﹣2ab+b2＝1②，
①﹣②得：2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
故选：A．
14．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝2+2，
∴AO+AO＝2+2，
∴AO＝2，
∴AD＝4，
故选：A．
15．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【解答】解：∵四边形ABCD的面积为13，
∴c2＝13＝a2+b2，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴2ab＝12，
∴（a+b）2＝25，
故选：D．
16．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
17．（2021•德阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CE＝CD＝AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
18．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
【解答】解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC＝AC，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∴CD＝2EF＝11，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴菱形ABCD的周长＝4×11＝44，
故选：D．
19．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
20．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【解答】解：如图，连接DE，
在△DPE中，DP+PE＞DE，
∴当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin∠ABD＝，
∴＝，
∴DE＝3，
故选：A．
21．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
22．（2021•海南）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝＝ab＝3．
故选：B．
五．菱形的判定（共1小题）
23．（2021•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
24．（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝＝＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝＝，
∴，
∴EO＝，
∴AE＝，
∴＝＝，
方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB，可求解．
故选：D．
七．矩形的性质（共4小题）
25．（2021•西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝BO＝2，
故选：A．
26．（2021•深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
tan∠GFB＝tan∠EDC＝＝，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE＝，
CF＝EF﹣EC＝﹣1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1，
∴BF＝+1，
∵tanF＝tan∠EDC＝，
∴GB＝BF＝，
∴S四边形GBEM＝．故④正确，
故选：B．
27．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①矩形OABC中，
∵B（4，2），
∴OA＝4，OC＝2，
由勾股定理得：OB＝＝2，
当y＝2时，2＝，
∴x＝1，
∴D（1，2），
∴CD＝1，
由勾股定理得：OD＝＝，
∴sin∠DOC＝＝＝，
cos∠BOC＝＝，
∴sin∠DOC＝cos∠BOC，
故①正确；
②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），
把（4，2）代入得：4k＝2，
∴k＝，
∴y＝x，
当x＝时，x＝±2，
∴E（2，1），
∴E是OB的中点，
∴OE＝BE，
故②正确；
③当x＝4时，y＝，
∴F（4，），
∴BF＝2﹣＝，
∴S△BEF＝×（4﹣2）＝，
S△DOE＝﹣﹣
＝4﹣1﹣
＝，
∴S△DOE＝S△BEF，
故③正确；
④由勾股定理得：DF＝＝，
∵OD＝，
∴＝，
即OD：DF＝2：3．
故④正确；
其中正确的结论有①②③④，共4个．
故选：A．
28．（2021•台湾）如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝CB．
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴S△ABD＝S△CDB＝＝＝10；
∵S△BED＝S△ADE+S△ABD＝24，
∴S△ADE＝S△BDE﹣S△ABD＝24﹣10＝14．
故选：C．
八．矩形的判定（共2小题）
29．（2021•河池）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
30．（2021•无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCF＝CD•h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．
九．正方形的性质（共6小题）
31．（2021•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
故选：D．
32．（2021•绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，
Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE，
设CE＝x，则DE＝2x，
根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，
即32+x2＝（2x）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CE＝，
∵DE⊥CF，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴BF＝CE＝．
故选：C．
33．（2021•河池）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，如图，
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∴四边形CMNB为矩形，
∴MN＝BC＝4，CM＝BN，
∵BF⊥EF，
∴∠EFB＝∠FNB＝90°，
∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM，
∴∠FBN＝∠EFM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝NB，
在△MEF与△NFB中，
，
∴△MFE≌△NBF（ASA），
∴ME＝FN，
设ME＝FN＝x，则MC＝MF＝BN＝1+x，
∵MN＝MF+FN＝4，
∴1+x+x＝4，
∴x＝，
∴FN＝，
∵四边形ABCD为正方形，MN⊥AB，
∴∠NAF＝∠NFA＝45°，
∴FN＝AN，
∴AF＝＝FN＝，
故选：B．
34．（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
【解答】解：∵四边形PBEF为正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四边形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故选：B．
35．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
36．（2021•张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设正方形面积S＝1，则正方形边长为1，
∴内切圆直径d＝1，r＝，
∴S圆＝πr2＝π，
根据圆的对称性得：黑色部分面积S1＝S圆＝π，
∴S1：S＝＝，
故选：A．
一十．正方形的判定（共1小题）
37．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
一十一．梯形（共1小题）
38．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（ ）
A．6m B．8m C．4m D．8m
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE中，
AE＝ABsin45°＝4，
在Rt△DCF中，
∵∠DCB＝30°，
∴DF＝CD，
∴CD＝2DF＝2×4＝8，
故选：B．
一十二．四边形综合题（共2小题）
39．（2021•东营）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：
∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，
∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴▱BHFG是菱形，故④正确，
故选：B．
40．（2021•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是BD中点，
∵点F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，OF＝BE，
∵CE＝4，OF＝6，
∴GF＝CE＝2，故①正确；
BE＝2OF＝12，
∵正方形ABCD中，
∴△DBC是等腰直角三角形，
而OF∥BE，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴OD＝OG，故②正确；
∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，
∴DC＝8，∠DCE＝90°，
Rt△DCE中，
tan∠CDE＝＝＝，故③正确，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴CF＝DF＝DE，
∴∠DCF＝∠FDC≠45°，
∵∠ACD＝∠BDC＝45°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；
Rt△DCE中，DE＝＝4，
∴CF＝DE＝2，
∵△CDE的面积为CE•DC＝×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积为8，
设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，
∴•x×2＝8，解得x＝，
∴点D到CF的距离为，故⑤正确；
∴正确的有①②③⑤，
故选：C．
2021中考数学真题知识点分类汇编-四边选择题1
一．多边形内角与外角（共3小题）
1．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2021•台湾）如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（ ）
A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
3．（2021•福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
4．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
三．平行四边形的性质（共7小题）
5．（2021•滨州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
6．（2021•遵义）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
7．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
8．（2021•宜宾）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
9．（2021•威海）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
10．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
11．（2021•贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
四．菱形的性质（共11小题）
12．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（ ）
A．4 B． C．6 D．8
13．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝（ ）
A．25 B．24 C．13 D．12
14．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
15．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
16．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021•德阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
18．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
19．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
20．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
21．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
22．（2021•海南）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
五．菱形的判定（共1小题）
23．（2021•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
六．菱形的判定与性质（共1小题）
24．（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
七．矩形的性质（共4小题）
25．（2021•西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
26．（2021•深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
27．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
28．（2021•台湾）如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
八．矩形的判定（共2小题）
29．（2021•河池）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
30．（2021•无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
九．正方形的性质（共6小题）
31．（2021•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
32．（2021•绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
33．（2021•河池）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
34．（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
35．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．（2021•张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（ ）
A． B． C． D．
一十．正方形的判定（共1小题）
37．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
一十一．梯形（共1小题）
38．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（ ）
A．6m B．8m C．4m D．8m
一十二．四边形综合题（共2小题）
39．（2021•东营）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
40．（2021•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
参考答案与试题解析
一．多边形内角与外角（共3小题）
1．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：B．
2．（2021•台湾）如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（ ）
A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
【解答】解：如图，连结BD，
∵∠1＝∠ABD+∠ADB，∠3＝∠DBC+∠BDC，
∴∠1+∠3＝∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠ADC，
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3＜360°．
故选：A．
3．（2021•福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
4．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
三．平行四边形的性质（共7小题）
5．（2021•滨州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠DEB＝120°，
故选：C．
6．（2021•遵义）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
【解答】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
7．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵四边形ABFC是平行四边形，
∴BE＝EC．
∵OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE＝AB，OE∥AB．
∴．
∴．
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴FC＝AB，FB＝AC．
在△ABC和△FCB中，
，
∴△ABC≌△FCB（SSS）．
∴S△ABC＝S△FCB＝＝24．
∴＝＝4．
故选：C．
8．（2021•宜宾）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；
C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；
D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（2021•威海）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∠D＝∠ABC，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABF+∠FAB，
∴∠ABF＝∠FAB，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AD＝3，AB＝CD＝2．
根据勾股定理，得
AC＝＝，
∴矩形ABEC的面积为：AB•AC＝2×＝2．
故选：B．
10．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【解答】解：∵平行四边形ABFC的面积为48，
∴，
∵平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE＝FC，OE∥FC∥AB，
∴＝，
∴，
∵BF∥AC，
∴BF∥AO，
∴△BFG∽△AOG，
∴，
∵OE∥AB，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
11．（2021•贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
四．菱形的性质（共11小题）
12．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝4+4，
∴AO+AO＝4+4，
∴AO＝4，
∴AD＝8，
故选：D．
13．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝（ ）
A．25 B．24 C．13 D．12
【解答】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∵正方形ABCD的面积为13，
∴AD2＝13＝a2+b2①，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
∴a2﹣2ab+b2＝1②，
①﹣②得：2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
故选：A．
14．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝2+2，
∴AO+AO＝2+2，
∴AO＝2，
∴AD＝4，
故选：A．
15．（2021•兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【解答】解：∵四边形ABCD的面积为13，
∴c2＝13＝a2+b2，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴2ab＝12，
∴（a+b）2＝25，
故选：D．
16．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
17．（2021•德阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CE＝CD＝AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
18．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
【解答】解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC＝AC，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∴CD＝2EF＝11，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴菱形ABCD的周长＝4×11＝44，
故选：D．
19．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
20．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【解答】解：如图，连接DE，
在△DPE中，DP+PE＞DE，
∴当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin∠ABD＝，
∴＝，
∴DE＝3，
故选：A．
21．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
22．（2021•海南）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝＝ab＝3．
故选：B．
五．菱形的判定（共1小题）
23．（2021•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
24．（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝＝＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝＝，
∴，
∴EO＝，
∴AE＝，
∴＝＝，
方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB，可求解．
故选：D．
七．矩形的性质（共4小题）
25．（2021•西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝BO＝2，
故选：A．
26．（2021•深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
tan∠GFB＝tan∠EDC＝＝，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE＝，
CF＝EF﹣EC＝﹣1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1，
∴BF＝+1，
∵tanF＝tan∠EDC＝，
∴GB＝BF＝，
∴S四边形GBEM＝．故④正确，
故选：B．
27．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①矩形OABC中，
∵B（4，2），
∴OA＝4，OC＝2，
由勾股定理得：OB＝＝2，
当y＝2时，2＝，
∴x＝1，
∴D（1，2），
∴CD＝1，
由勾股定理得：OD＝＝，
∴sin∠DOC＝＝＝，
cos∠BOC＝＝，
∴sin∠DOC＝cos∠BOC，
故①正确；
②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），
把（4，2）代入得：4k＝2，
∴k＝，
∴y＝x，
当x＝时，x＝±2，
∴E（2，1），
∴E是OB的中点，
∴OE＝BE，
故②正确；
③当x＝4时，y＝，
∴F（4，），
∴BF＝2﹣＝，
∴S△BEF＝×（4﹣2）＝，
S△DOE＝﹣﹣
＝4﹣1﹣
＝，
∴S△DOE＝S△BEF，
故③正确；
④由勾股定理得：DF＝＝，
∵OD＝，
∴＝，
即OD：DF＝2：3．
故④正确；
其中正确的结论有①②③④，共4个．
故选：A．
28．（2021•台湾）如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝CB．
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴S△ABD＝S△CDB＝＝＝10；
∵S△BED＝S△ADE+S△ABD＝24，
∴S△ADE＝S△BDE﹣S△ABD＝24﹣10＝14．
故选：C．
八．矩形的判定（共2小题）
29．（2021•河池）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
30．（2021•无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCF＝CD•h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．
九．正方形的性质（共6小题）
31．（2021•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
故选：D．
32．（2021•绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，
Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE，
设CE＝x，则DE＝2x，
根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，
即32+x2＝（2x）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CE＝，
∵DE⊥CF，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴BF＝CE＝．
故选：C．
33．（2021•河池）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，如图，
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∴四边形CMNB为矩形，
∴MN＝BC＝4，CM＝BN，
∵BF⊥EF，
∴∠EFB＝∠FNB＝90°，
∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM，
∴∠FBN＝∠EFM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝NB，
在△MEF与△NFB中，
，
∴△MFE≌△NBF（ASA），
∴ME＝FN，
设ME＝FN＝x，则MC＝MF＝BN＝1+x，
∵MN＝MF+FN＝4，
∴1+x+x＝4，
∴x＝，
∴FN＝，
∵四边形ABCD为正方形，MN⊥AB，
∴∠NAF＝∠NFA＝45°，
∴FN＝AN，
∴AF＝＝FN＝，
故选：B．
34．（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
【解答】解：∵四边形PBEF为正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四边形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故选：B．
35．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
36．（2021•张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设正方形面积S＝1，则正方形边长为1，
∴内切圆直径d＝1，r＝，
∴S圆＝πr2＝π，
根据圆的对称性得：黑色部分面积S1＝S圆＝π，
∴S1：S＝＝，
故选：A．
一十．正方形的判定（共1小题）
37．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
一十一．梯形（共1小题）
38．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（ ）
A．6m B．8m C．4m D．8m
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE中，
AE＝ABsin45°＝4，
在Rt△DCF中，
∵∠DCB＝30°，
∴DF＝CD，
∴CD＝2DF＝2×4＝8，
故选：B．
一十二．四边形综合题（共2小题）
39．（2021•东营）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：
∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，
∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴▱BHFG是菱形，故④正确，
故选：B．
40．（2021•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是BD中点，
∵点F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，OF＝BE，
∵CE＝4，OF＝6，
∴GF＝CE＝2，故①正确；
BE＝2OF＝12，
∵正方形ABCD中，
∴△DBC是等腰直角三角形，
而OF∥BE，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴OD＝OG，故②正确；
∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，
∴DC＝8，∠DCE＝90°，
Rt△DCE中，
tan∠CDE＝＝＝，故③正确，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴CF＝DF＝DE，
∴∠DCF＝∠FDC≠45°，
∵∠ACD＝∠BDC＝45°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；
Rt△DCE中，DE＝＝4，
∴CF＝DE＝2，
∵△CDE的面积为CE•DC＝×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积为8，
设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，
∴•x×2＝8，解得x＝，
∴点D到CF的距离为，故⑤正确；
∴正确的有①②③⑤，
故选：C．
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