贵州师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题(含答案)

这是一份贵州师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、集合,,则( )
A.B.C.D.
2、人的体重指数BMI的计算公式：BMI=体重÷身高2（体重的单位为kg,身高的单位为m）,其判定标准如下表：
某中学生的身高为170cm,在一次体检中,医生告诉他体重属于正常,则他的体重可能是( )
A.50kgB.68kgC.70kgD.81kg
3、在中,已知,则p是q的______条件( )
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4、函数的定义域为( )
A.B.C.D.
5、在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则( )
A.B.C.D.
6、已知数列满足,则( )
A.58B.73C.34D.33
7、已知,则的概率为( )
A.B.C.D.
8、已知,则的值是( )
A.B.C.D.
9、已知圆,过点作圆M的一条切线,切点为N,则切点N到直线PM的距离为( )
A.B.C.D.
10、已知O是坐标原点,P是抛物线上一点,焦点为F,且,则( )
A.B.C.D.
11、已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
12、已知为R上的奇函数,满足,且当时,,则( )
A.-4B.-3C.4D.3
二、填空题
13、已知向量,且,则__________.
14、某学校的学生由小学部,初中部,高中部构成,其中小学部与初中部共有700人,该校领导采用分层抽样的方法抽取12名学生进行家访,由于领导公务繁忙,只记得高中部抽取了5名学生,问该校高中部有_____________名学生.
15、已知,是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P足,则的面积是____________.
16、函数的部分图像如图所示,则___________.
三、解答题
17、已知数列为单调递增的等差数列,其中,且,,成等比数列,是数列的前n项和.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
18、为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛.现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图.
请大家完成下面问题：
（1）求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；
（2）若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率.
19、小强5次考试的数学与物理成绩（满分100分）如下表,由散点图可知,小强的数学成绩x与物理成绩y之间线性相关.
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)利用（1）中的回归方程,小强第6次考试数学成绩是78分,请估计小强的物理分数.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,
20、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.
(1)求B;
(2)若,BM为AC边中线,求BM的最大值.
21、如图1,在中,,,E、F分别是AC与AB边的中点.将沿EF折起,使得二面角的大小为60°,连接AC与AB,得到四棱锥（如图2）,G为AB的中点.
(1)证明平面ACE;
(2)求直线FG与平面AEF所成角的大小.
22、设离心率为的椭圆的左右焦点分别为,过作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,且满足.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设E的右顶点为A,若过点A作两条相互垂直的直线与椭圆相交,且另一个交点分别为M,N,直线MN是否过定点？若过,求出该点坐标,若不过,说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：由,得,
所以,,
所以
故选：B.
2、答案：B
解析：若体重为,则,即,
所以只有B符合要求.
故选：B.
3、答案：C
解析：若,则成立;
在中,,得及正弦定理,
即,所以成立.
所以“”是“”的充要条件,即p是q的充要条件.
故选：C.
4、答案：D
解析：由题设,,即,可得.
所以函数定义域为.
故选：D.
5、答案：B
解析：由题设及余弦定理可得：,又,
所以.
故选：B.
6、答案：A
解析：由题设,,,,.
故选：A.
7、答案：C
解析：由且,可得,
所以的概率为.
故选：C.
8、答案：C
解析：由题设,,可得或（舍）,
又,则.
故选：C.
9、答案：B
解析：由题设,且半径,故,
又N是切点,则,若切点N到直线PM的距离为,
所以,故.
故选：B.
10、答案：A
解析：由,得,解得,所以,
设,则由抛物线的定义知,,
又,
所以,解得,
因为点是抛物线上一点,
所以,解得,所以,
所以.
故选：A.
11、答案：B
解析：因为正四面体的棱长为2,所以底面三角形的高,
棱锥的高为,
设外接球半径为R,
则,解得.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
12、答案：A
解析：因为奇函数满足,
所以,即
所以函数的周期为8,
所以.
故选：A.
13、答案：
解析：由题设,,解得,
所以.
故答案为：.
14、答案：500
解析：设该校高中部有x名学生,则,解得.
故答案为：500.
15、答案：2
解析：不妨假设P在左支上,则,又,
所以,而,则,
所以,故,
综上,的面积是.
故答案为：2.
16、答案：
解析：由图可知,,解得,
所以.
因为函数的图象经过点,
所以,即,解得,
由,得,
当时,,
所以函数的解析式为,
所以
.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）设数列的公差为,因为,,成等比数列,,所以,即,解得,所以.
（2）因为,所以.
故数列的前n项和.
18、答案：（1）平均数为分，中位数为分
（2）
解析：（1）由题意得，可得，
所以，平均数为分，
由，，
则中位数位于，
若中位数为x，则，可得分.
（2）由（1）知：与的样本比例为5∶2，
所以7个个体有5个取自，2个取自，
若中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，
则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，
其中两人至少来一人自为{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11种情况；
所以抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率为.
19、答案：(1);
(2)69.
解析：（1）由题设,,,
,,
所以,则,故线性回归方程为.
（2）由（1）,令,则物理分数为分.
20、答案：(1);
(2).
解析：（1）由题设及正弦定理有,又,即,
又,则.
（2）由（1）及知：外接圆O的半径,
如下图示,
由图知：要使BM最大,只需B,O,M共线且B,M在O两侧,
所以.
21、答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）取AC中点D,连接GD,ED,由G为AB的中点,则且,
因为E、F分别是AC与AB边的中点,则且,
所以且,即EFGD为平行四边形,故,
又面ACE,面ACE,则面ACE.
（2）由题设,,,,则面ACE,即是二面角的平面角,
所以,又,则是等边三角形,
又面EFBC,则面面EFBC,
若O是EC中点,连接OA,所以,
在面EFBC作,则面ACE,OA、面ACE,则、,
综上,OA、EC、Oy两两垂直,故可构建如下图示的空间直角坐标系,
由图1知,,则,,,,
所以,,,
若是面AEF的一个法向量,则,令,故,
所以,即直线FG与面AEF所成角的正弦值为,
所以直线FG与面AEF所成角为.
22、答案：(1);
(2)过定点.
解析：（1）由题设,则过作x轴的垂线与椭圆交点纵坐标为,
所以,又,,可得,,
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知：,
若直线MN的斜率不存在时,可设直线AM为,直线AN为,
联立椭圆与直线AM有,则,故,同理得,
所以,此时直线MN过点.
若直线MN的斜率存在时,直线MN为,
联立椭圆方程有,则,,
所以,
由,即,即,
所以,则或,
当时,直线为,过点,不合题设;
当时,直线为,过点;
综上,直线MN过定点.
BMI
18.5以下
18.5——23.9
24——29.9
30以上
等级
偏瘦
正常
超标
重度超标
数学成绩x
67
68
70
72
73
物理成绩y
64
63
66
65
67